Elle lui associe un unique nombre appelé son image
Spiegazione
Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre, appelé son image et noté f(x).
7 est l’image de 3 par f
Spiegazione
Dans l’égalité f(3)=7, la valeur obtenue 7 est l’image de 3. Le nombre 3 est, lui, un antécédent de 7.
3
Spiegazione
Puisque f(3)=7, le nombre de départ 3 est un antécédent de 7 par la fonction f.
On remplace x par a, puis on effectue le calcul
Spiegazione
Pour calculer une image, on substitue a à x dans l’expression de la fonction, puis on calcule le résultat. Résoudre une équation correspond plutôt à la recherche d’un antécédent.
4
Spiegazione
Il faut résoudre 2x+3=11, d’où 2x=8 et x=4. Ainsi, 4 est l’antécédent de 11 et 11 est l’image de 4.
Comme l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x))
Spiegazione
La courbe C_f est constituée des points dont l’abscisse est x et dont l’ordonnée est f(x). L’ordonnée dépend donc de l’abscisse choisie.
Partir de 2 sur l’axe des abscisses, rejoindre la courbe, puis lire l’ordonnée
Spiegazione
Pour déterminer une image, on part de l’abscisse 2, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée correspondante.
Partir de 3 sur l’axe des ordonnées, rejoindre horizontalement la courbe, puis lire les abscisses
Spiegazione
Pour rechercher les antécédents de 3, on repère 3 sur l’axe des ordonnées, puis on trace mentalement une horizontale jusqu’à la courbe et on lit les abscisses des points obtenus.
f(x)=ax+b, avec a et b réels
Spiegazione
Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b, où a et b sont des nombres réels. La forme f(x)=ax correspond à une fonction linéaire, cas particulier des fonctions affines.
Il décrit l’évolution de la fonction quand x augmente
Spiegazione
Le coefficient directeur a décrit l’évolution de la fonction lorsque x augmente et l’inclinaison de la droite. C’est b qui donne l’ordonnée à l’origine.
(0;-4)
Spiegazione
Dans une fonction affine, b=f(0) et la droite coupe l’axe des ordonnées en (0;b). Ici, f(0)=-4, donc le point est (0;-4).
Le terme constant est nul
Spiegazione
Une fonction linéaire s’écrit f(x)=ax, ce qui revient à avoir b=0 dans la forme affine f(x)=ax+b. Elle passe donc par l’origine.
Elle est croissante
Spiegazione
Pour une fonction affine, un coefficient directeur positif implique une fonction croissante. Ici, a=2>0.
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
Spiegazione
Le taux de variation entre a et b est le quotient de la variation des images par la variation des antécédents : \frac{f(b)-f(a)}{b-a}, avec a≠b.
2
Spiegazione
On calcule \frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{11-5}{3}=2. Pour une fonction affine, ce résultat correspond aussi au coefficient directeur.
f(x)=x^2, dont la courbe est une parabole
Spiegazione
La fonction carré est définie par f(x)=x² et sa représentation graphique est une parabole. La fonction 1/x est la fonction inverse, dont la courbe est une hyperbole.
x² est toujours positif ou nul
Spiegazione
Le carré d’un nombre réel vérifie toujours x²≥0, même lorsque x est négatif. Il est nul uniquement lorsque x=0.
Elle est décroissante sur ]-∞;0] puis croissante sur [0;+∞[
Spiegazione
La fonction carré décroît jusqu’à x=0, où elle atteint son minimum 0, puis elle croît à partir de 0. Ces variations s’étudient séparément sur les deux intervalles.
Sur ℝ\{0}
Spiegazione
La fonction inverse est définie par 1/x, et x ne peut pas être nul puisque la division par zéro n’est pas définie. Son domaine est donc ℝ\{0}.
Chercher les antécédents de k par f
Spiegazione
Résoudre f(x)=k consiste à trouver les nombres x dont l’image par f est k, c’est-à-dire les antécédents de k. Calculer f(k) revient au contraire à chercher l’image de k.
Les abscisses des intersections de C_f avec y=k
Spiegazione
Les solutions sont les abscisses des points d’intersection entre la courbe C_f et la droite horizontale d’équation y=k. Leur ordonnée commune vaut k.
Retenir les abscisses où la courbe est au-dessus de y=k
Spiegazione
L’inégalité f(x)>k est vérifiée lorsque les points de la courbe ont une ordonnée supérieure à k, donc lorsque la courbe se situe au-dessus de la droite y=k.
L’abscisse d’un point où C_f coupe ou touche l’axe des abscisses
Spiegazione
Un zéro est un nombre x tel que f(x)=0. Graphiquement, il correspond donc à l’abscisse d’un point où la courbe coupe ou touche l’axe des abscisses.
Étudier notamment le sens de ses variations
Spiegazione
La dérivée est une fonction qui permet notamment d’étudier les variations de la fonction initiale. Il faut distinguer f'(x), fonction dérivée, de f'(a), sa valeur en un point précis.
f'(x)=2x
Spiegazione
La règle de dérivation de la fonction carré donne (x²)'=2x. Ainsi, la dérivée de f(x)=x² est f'(x)=2x.
Elle est décroissante sur x<0 et croissante sur x>0
Spiegazione
Pour f(x)=x², f'(x)=2x est négative si x<0 et positive si x>0. La fonction carré est donc décroissante avant 0, puis croissante après 0.
f'(a)
Spiegazione
Le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a est la valeur de la dérivée en ce point, soit f'(a). La notation f'(x) désigne la fonction dérivée entière.
Résoudre f(x)=a
Spiegazione
Pour trouver un antécédent de a, on cherche la valeur de x telle que son image soit a, ce qui revient à résoudre f(x)=a. Résoudre f(x)=0 sert à trouver un zéro.
Parce que la division par zéro est impossible
Spiegazione
La valeur x=0 est exclue lorsqu’une expression contient 1/x, car elle nécessiterait une division par zéro. Cette restriction concerne la fonction inverse, contrairement à la fonction carré qui accepte x=0.
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Qu'est-ce qu'une fonction en mathématiques ?
Une fonction associe à chaque nombre x un unique nombre appelé son image.
Que représente l'image de 3 si f(3)=7 ?
L'image de 3 est 7 par la fonction f.
Quel est un antécédent de 7 si f(3)=7 ?
3 est un antécédent de 7 par la fonction f.
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