Flashcard: Fondamentaux de l'Algèbre Linéaire — 24 carte

Espace vectoriel — définition ?

Ensemble avec addition et multiplication par scalaire, vérifiant axiomes.

Famille libre — rôle ?

Aucune combinaison linéaire nulle sauf coefficients nuls.

Famille génératrice — rôle ?

Tout vecteur s'exprime comme combinaison linéaire.

Base — propriété ?

Famille à la fois libre et génératrice.

Dimension — relation ?

Cardinalité de toute base d’un espace de dimension finie.

Sous-espace vectoriel — définition ?

Partie non vide fermée par addition et multiplication scalaire.

Somme directe — condition ?

Intersection réduite à {0} et décomposition unique.

Application linéaire — propriété ?

Respecte addition et multiplication scalaire.

Noyau — rôle ?

Ensemble des vecteurs envoyés sur 0.

Image — rôle ?

Ensemble des images des vecteurs par u.

Théorème de la dimension — formule ?

dim(Ker u) + dim(Im u) = dim(E).

Changement de base — formule ?

Matrice dans nouvelle base = P⁻¹ * matrice * P.

Déterminant — propriété clé ?

Non nul si et seulement si la matrice est inversible.

Valeurs propres — définition ?

λ tel que Av = λv pour v ≠ 0.

Diagonalisation — condition ?

Matrices avec vecteurs propres suffisants et distincts.

Polynôme minimal — rôle ?

Plus petit polynôme annulant la matrice.

Théorème de Cayley-Hamilton — énoncé ?

Une matrice satisfait son polynôme caractéristique.

Décomposition de Jordan — but ?

Représenter une matrice par blocs Jordan.

Systèmes différentiels — résolution ?

Via exponentielle de matrices ou diagonalisation.

Produit scalaire — propriété ?

Bilinéaire, symétrique, positif défini.

Orthonormalisation — méthode ?

Procédé de Gram-Schmidt.

Matrices symétriques — propriété ?

Egale à leur transposée.

Matrices orthogonales — propriété ?

Orthogonale si PᵀP = I.

Coniques — définition ?

Courbes définies par équation quadratique.