Quiz: Fondements et propriétés des espaces vectoriels — 24 domande

1. Qu’exige la structure d’un espace vectoriel sur un corps K pour la multiplication par les scalaires ?

A. Une loi interne sur E uniquement, sans intervention de K

B. Une application E×E→E distributive sur les vecteurs

C. Une application K×E→E compatible avec l’addition et l’élément neutre

D. Une opération définie seulement pour les vecteurs non nuls

Answer: (C)

Spiegazione

La multiplication par un scalaire est une loi externe K×E→E, compatible avec l’addition et les axiomes usuels. Ce n’est pas une loi interne sur E seule.

2. Dans un espace vectoriel, que vaut l’opposé d’un vecteur x ?

A. Le vecteur obtenu en multipliant x par 0

B. Le vecteur nul uniquement si x est nul

C. Le vecteur qui annule x seulement dans certains cas

D. Le vecteur obtenu en multipliant x par −1

Answer: (D)

Spiegazione

L’opposé de x est donné par (−1)·x. Cette relation vaut pour tout vecteur d’un espace vectoriel.

3. Comment sont définies l’addition et la multiplication scalaire dans un produit E1×…×En de K-espaces vectoriels ?

A. En mélangeant les coordonnées par permutation

B. Par addition globale des composantes seulement

C. Coordonnée par coordonnée

D. En appliquant les opérations uniquement à la première coordonnée

Answer: (C)

Spiegazione

Dans un produit d’espaces vectoriels, les opérations se font coordonnée par coordonnée. C’est ce qui permet de conserver la structure d’espace vectoriel.

4. Que signifie la restriction des scalaires d’un L-espace vectoriel à un sous-corps K ?

A. On supprime la multiplication scalaire

B. On garde les mêmes vecteurs en n’autorisant que les scalaires de K

C. On transforme l’espace en anneau

D. On remplace les vecteurs par des scalaires

Answer: (B)

Spiegazione

La restriction des scalaires consiste à considérer le même ensemble avec seulement les scalaires appartenant à K. Les opérations restent valables, mais pour un corps plus petit.

5. Quel critère caractérise un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel ?

A. Être non vide et fermé pour l’addition seulement

B. Contenir le vecteur nul et être stable par combinaison linéaire

C. Être stable uniquement par multiplication scalaire

D. Contenir une base de l’espace ambient

Answer: (B)

Spiegazione

Un sous-espace vectoriel contient 0 et reste stable par combinaison linéaire. Cela suffit pour hériter de la structure vectorielle.

6. Pourquoi l’ensemble des solutions d’un système linéaire non homogène AX=B n’est-il pas en général un sous-espace vectoriel ?

A. Parce qu’il est forcément égal à l’espace entier

B. Parce qu’il ne contient pas forcément le vecteur nul

C. Parce qu’il n’est pas stable par multiplication scalaire

D. Parce qu’il est toujours vide

Answer: (B)

Spiegazione

Un système non homogène ne contient pas forcément la solution nulle, donc l’ensemble des solutions n’est pas en général un sous-espace. Le cas homogène AX=0, lui, en forme un.

7. Quand deux sous-espaces affines sont-ils égaux ?

A. Lorsqu’ils passent tous deux par l’origine

B. Lorsqu’ils ont le même nombre de points

C. Lorsqu’ils ont la même direction et un point commun

D. Lorsqu’ils ont des directions orthogonales

Answer: (C)

Spiegazione

Deux sous-espaces affines sont égaux s’ils ont la même direction et partagent au moins un point. La présence de l’origine n’est pas nécessaire.

8. Que représente Vect(X) pour une partie X d’un espace vectoriel ?

A. L’ensemble de tous les sous-espaces disjoints de X

B. L’ensemble des vecteurs orthogonaux à X

C. Le sous-ensemble de X formé des vecteurs non nuls

D. Le plus petit sous-espace vectoriel contenant X

Answer: (D)

Spiegazione

Vect(X) est le sous-espace engendré par X, donc l’intersection de tous les sous-espaces contenant X. C’est le plus petit sous-espace vectoriel qui contient cette partie.

9. Que désigne une combinaison linéaire de vecteurs ?

A. Une somme de vecteurs sans coefficients

B. Une opération qui conserve seulement les vecteurs de base

C. Une somme infinie de tous les vecteurs d’un espace

D. Une somme finie de vecteurs pondérés par des scalaires

Answer: (D)

Spiegazione

Une combinaison linéaire est une somme finie de vecteurs multipliés par des scalaires. Les coefficients peuvent être nuls, mais la somme reste finie.

10. Que peut-on dire si une famille X engendre un espace E et qu’un vecteur x de X est combinaison linéaire des autres vecteurs de X ?

A. La famille devient libre

B. On peut supprimer x sans perdre le fait d’engendrer E

C. La famille cesse d’être génératrice

D. On doit forcément ajouter un nouveau vecteur

Answer: (B)

Spiegazione

Si un vecteur d’une famille génératrice est combinaison linéaire des autres, il est redondant. On peut donc l’enlever sans perdre la propriété de génération.

11. Que signifie qu’une famille soit génératrice d’un espace vectoriel ?

A. Ses vecteurs sont tous non nuls

B. Ses vecteurs sont deux à deux distincts

C. Elle contient forcément une famille libre maximale

D. Tout vecteur de l’espace s’écrit comme combinaison linéaire de ses éléments

Answer: (D)

Spiegazione

Une famille génératrice permet d’écrire n’importe quel vecteur de l’espace comme combinaison linéaire de ses éléments. C’est la propriété centrale de génération.

12. Que se passe-t-il si une famille X engendre E et si on ajoute à X un vecteur supplémentaire ?

A. Elle cesse d’être génératrice

B. Elle ne change pas de sous-espace engendré

C. La famille reste génératrice

D. Elle devient forcément libre

Answer: (C)

Spiegazione

Ajouter des vecteurs à une famille génératrice ne peut pas faire perdre la propriété de génération. Le sous-espace engendré reste E.

13. Quelle est la définition d’une famille libre ?

A. La seule combinaison linéaire qui donne 0 est la combinaison triviale

B. Un de ses vecteurs est combinaison linéaire des autres

C. Elle engendre nécessairement tout l’espace

D. Toute combinaison linéaire donne 0

Answer: (A)

Spiegazione

Une famille libre n’admet aucune relation linéaire non triviale donnant le vecteur nul. Autrement dit, tous les coefficients doivent être nuls.

14. Que peut-on dire d’une sous-famille d’une famille libre ?

A. Elle contient nécessairement le vecteur nul

B. Elle est encore libre

C. Elle est forcément liée

D. Elle engendre le même espace que la famille entière

Answer: (B)

Spiegazione

Toute sous-famille d’une famille libre est libre. La liberté se transmet par extraction de vecteurs.

15. Quelle propriété caractérise une base d’un espace vectoriel ?

A. Elle est seulement génératrice

B. Elle contient le vecteur nul

C. Elle est seulement libre

D. Elle est à la fois libre et génératrice

Answer: (D)

Spiegazione

Une base est exactement une famille libre et génératrice. C’est ce qui garantit l’existence et l’unicité des coordonnées.

16. Que garantit la méthode de la base incomplète dans un espace vectoriel de dimension finie ?

A. Toute famille génératrice est déjà une base

B. Toute base est unique

C. Toute famille libre peut être complétée en une base

D. Toute famille liée devient libre après ajout de vecteurs

Answer: (C)

Spiegazione

Le théorème de la base incomplète affirme qu’une famille libre finie peut être complétée en une base. On ajoute des vecteurs seulement tant que la liberté est conservée.

17. À quoi est égal le rang d’une famille finie de vecteurs ?

A. Au nombre total de ses vecteurs

B. À la dimension du sous-espace qu’elle engendre

C. Au nombre de vecteurs nuls dans la famille

D. À la dimension de l’espace ambiant

Answer: (B)

Spiegazione

Le rang d’une famille finie est la dimension de son sous-espace engendré. Il est donc toujours inférieur ou égal au nombre de vecteurs de la famille.

18. Quand une famille finie de n vecteurs a-t-elle un rang égal à n ?

A. Seulement lorsqu’elle contient le vecteur nul

B. Exactement lorsqu’elle est libre

C. Exactement lorsqu’elle est génératrice

D. Seulement lorsqu’elle est dans un espace de dimension infinie

Answer: (B)

Spiegazione

Pour une famille finie, le rang vaut n si et seulement si la famille est libre. C’est l’un des critères essentiels reliant rang et indépendance linéaire.

19. Que permet le théorème de la base extraite à partir d’une famille génératrice finie ?

A. De la rendre automatiquement libre sans suppression

B. D’obtenir une famille liée

C. D’en extraire une base

D. D’imposer l’unicité des coefficients pour toute famille

Answer: (C)

Spiegazione

À partir d’une famille génératrice finie, on peut en extraire une base en supprimant les vecteurs redondants. On conserve ainsi la propriété de génération tout en obtenant la liberté.

20. Dans une base incomplète, que fait-on lorsqu’un vecteur ajouté est combinaison linéaire des vecteurs déjà choisis ?

A. On le garde pour augmenter le rang

B. On remplace toute la famille par ce vecteur

C. On abandonne la construction de la base

D. On ne l’ajoute pas

Answer: (D)

Spiegazione

Si le nouveau vecteur est déjà combinaison linéaire des vecteurs présents, l’ajouter détruirait la liberté sans apporter de nouveauté. On l’ignore donc et on poursuit.

21. Quel lien existe entre une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n et l’inversibilité de sa matrice de coordonnées ?

A. La famille est une base si et seulement si la matrice est inversible

B. La famille est libre si et seulement si la matrice est nulle

C. La famille est génératrice si et seulement si la matrice est triangulaire

D. La famille est une base seulement si la matrice est diagonale

Answer: (A)

Spiegazione

Dans un espace de dimension n, une famille de n vecteurs est une base exactement quand sa matrice de coordonnées est inversible. C’est un critère pratique fondamental.

22. Que représente une colonne d’une matrice de coordonnées d’un vecteur dans une base ?

A. Le rang du système homogène

B. Le déterminant de la matrice

C. Les coordonnées de ce vecteur dans cette base

D. La dimension de l’espace vectoriel

Answer: (C)

Spiegazione

La colonne associée à un vecteur dans une base contient ses coordonnées dans cette base. C’est la lecture directe de la matrice de coordonnées.

23. Quand deux sous-espaces F et G sont-ils en somme directe ?

A. Quand F et G ont la même dimension

B. Quand F et G sont tous deux non nuls

C. Quand F∩G={0}

D. Quand F+G=E

Answer: (C)

Spiegazione

Pour deux sous-espaces, la somme est directe exactement lorsque leur intersection est réduite au vecteur nul. Cela garantit l’unicité de la décomposition.

24. Quelle formule relie les dimensions de F, G, F∩G et F+G ?

A. dim(F+G)=dim F+dim G−dim(F∩G)

B. dim(F+G)=dim F−dim G

C. dim(F∩G)=dim F+dim G

D. dim(F+G)=dim F·dim G

Answer: (A)

Spiegazione

C’est la formule de Grassmann : la dimension de la somme tient compte du chevauchement via l’intersection. Elle est valable pour des sous-espaces de dimension finie.