Scheda di revisione: Fondements et propriétés des espaces vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Espace vectoriel : axiomes et exemples
2. Espace vectoriel produit et structure
3. Sous-espaces vectoriels et stabilité
4. Sous-algèbres et caractérisation
5. Combinaisons linéaires et systèmes
6. Parties génératrices et propriétés
7. Familles libres et liées
8. Bases : existence et méthode pratique
9. Dimension et rang d’une famille
10. Théorèmes de la base incomplète et extraite
11. Inversibilité des matrices et systèmes
12. Somme directe, supplémentarité et Grassmann

📖 1. Espace vectoriel : axiomes et exemples

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Un K-espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire vérifiant les axiomes de groupe commutatif et de compatibilité avec les scalaires.
• Corps de base : Le corps de base d’un espace vectoriel est le corps K dont les éléments servent de scalaires pour multiplier les vecteurs.
• Vecteur nul : Le vecteur nul est l’élément neutre de l’addition dans l’espace vectoriel, noté 0E (ou 0).
• Loi externe : Une loi externe est une opération qui fait agir les scalaires (éléments de K) sur les vecteurs de E, plutôt qu’une loi interne sur E seule.
• Espace vectoriel produit : Un espace vectoriel produit est le produit cartésien de plusieurs K-espaces vectoriels muni d’une addition coordonnée et d’une multiplication scalaire coordonnée.

📝 Points essentiels

• Dans un K-espace vectoriel, (E,+) est un groupe commutatif et l’élément neutre est noté 0E.
• La multiplication par un scalaire est une application K×E→E notée λ·x et elle vérifie 1·x=x, λ·(x+y)=λ·x+λ·y, (λ+μ)·x=λ·x+μ·x, et λ·(μ·x)=(λμ)·x.
• Les scalaires sont les éléments de K qui agissent sur les vecteurs via la loi externe.
• Dans tout espace vectoriel, λ·x=0E équivaut à (λ=0 ou x=0E).
• Dans tout espace vectoriel, l’opposé de x vérifie −x=(−1)·x avec −1 l’opposé de 1 dans K.
• Si E1,…,En sont des K-espaces vectoriels, alors E1×…×En est un K-espace vectoriel avec (x1,…,xn)+(y1,…,yn)=(x1+y1,…,xn+yn) et λ·(x1,…,xn)=(λx1,…,λxn).

💡 Astuce mémo

Axiomes en chaîne : 1·x=x ; distributivité en x : λ·(x+y)=λx+λy ; distributivité en λ : (λ+μ)x=λx+μx ; associativité : λ(μx)=(λμ)x.

📖 2. Espace vectoriel produit et structure

🔑 Notions clés & Définitions

• K-espace vectoriel : Un K-espace vectoriel est un ensemble muni d’une addition et d’une multiplication par un scalaire de K, vérifiant les axiomes usuels des espaces vectoriels.
• Restriction des scalaires : La restriction des scalaires consiste à voir un espace vectoriel sur un corps L comme un espace vectoriel sur un sous-corps K en ne gardant que la multiplication par les scalaires de K.
• K-algèbre : Une K-algèbre est un quadruplet (A,+,·,×) où A est à la fois un K-espace vectoriel et un anneau, avec une compatibilité entre produit de A et multiplication par les scalaires de K.
• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire est un vecteur obtenu comme somme finie de vecteurs de départ pondérés par des scalaires.
• Famille presque nulle : Une famille indexée est presque nulle si tous ses éléments sont nuls sauf un nombre fini d’entre eux.

📝 Points essentiels

• Si E est un L-espace vectoriel et K est un sous-corps de L, alors E est aussi un K-espace vectoriel en restreignant la multiplication scalaire à K.
• Dans une K-algèbre, la compatibilité impose que pour x,y∈A et λ∈K on ait (λ·x)×y = x×(λ·y) = λ·(x×y).
• L’application λ↦λ·1A est un morphisme injectif d’anneaux de K dans A, ce qui permet d’identifier K à une partie de A via λ↦λ·1A.
• Pour une combinaison linéaire finie, l’égalité ∑k=1^n λk xk = ∑k=1^n μk xk n’implique pas λk=μk en général : l’unicité des coefficients n’est pas automatique.
• Une combinaison linéaire d’une famille (xi)i∈I utilise une somme ∑i∈I λi xi avec (λi)i∈I presque nulle, donc la somme est en réalité finie.
• Dans K[X], tout polynôme de degré ≤n s’écrit comme combinaison linéaire de 1,X,…,X^n, et l’écriture ∑k=0^+∞ ak X^k cache toujours une somme finie (car seuls des ak non nuls comptent).

💡 Astuce mémo

Restriction des scalaires : K⊂L ⇒ on « coupe » la liste des scalaires autorisés, mais les opérations restent valables.

📖 3. Sous-espaces vectoriels et stabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : Un sous-ensemble d’un espace vectoriel qui contient le vecteur nul et est stable par combinaison linéaire est un sous-espace vectoriel.
• Ensemble des solutions homogènes : L’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène AX=0 forme un sous-espace vectoriel de l’espace des inconnues.
• Ensemble des solutions non homogènes : L’ensemble des solutions d’un système linéaire non homogène AX=B n’est en général pas un sous-espace vectoriel car il ne contient pas forcément le vecteur nul.
• Intersection de sous-espaces vectoriels : L’intersection de sous-espaces vectoriels d’un même espace vectoriel est encore un sous-espace vectoriel.
• Sous-espace affine : Un sous-espace affine est une partie de la forme x+F où F est un sous-espace vectoriel et x un vecteur de l’espace.

📝 Points essentiels

• Pour montrer qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel, on vérifie souvent qu’il est stable par combinaison linéaire et qu’il contient le vecteur nul.
• Si S={X∈K^p | AX=0}, alors 0∈S et pour X,X'∈S et λ∈K on a λX+X'∈S, donc S est un sous-espace vectoriel de K^p.
• Une droite de R^2 passant par (0,0) et une droite ou un plan de R^3 passant par (0,0,0) sont des sous-espaces vectoriels.
• La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un sous-espace vectoriel en général car elle n’est pas stable par addition.
• L’ensemble des polynômes de degré ≤n, noté K_n[X], est un sous-espace vectoriel de K[X] car deg(λP+Q) ≤ max(deg(P),deg(Q)) ≤ n.
• L’ensemble des polynômes de degré exactement n n’est pas un sous-espace vectoriel car il ne contient pas le polynôme nul (degré(0)=-∞).

💡 Astuce mémo

Homogène → sous-espace (contient 0 et stable par λX+X'), Non homogène → pas forcément (pas de 0).

📖 4. Sous-algèbres et caractérisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Direction d’un sous-espace affine : La direction d’un sous-espace affine est le sous-espace vectoriel parallèle à ce sous-espace affine.
• Égalité de deux sous-espaces affines : Deux sous-espaces affines sont égaux quand ils ont la même direction et qu’ils partagent un point commun.
• Intersection de sous-espaces affines : L’intersection de sous-espaces affines peut être vide, et si elle n’est pas vide elle est un sous-espace affine.
• Sous-espace vectoriel engendré : Le sous-espace vectoriel engendré par une partie est l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels contenant cette partie.
• Vect(X) : Vect(X) désigne le sous-espace vectoriel engendré par X, c’est-à-dire l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X.

📝 Points essentiels

• Si F est un sous-espace affine de direction F et A ∈ F, alors F = A + F.
• Deux sous-espaces affines sont égaux ssi ils ont la même direction et un point commun.
• Une intersection de sous-espaces affines peut être vide, contrairement au cas vectoriel où l’intersection contient toujours 0.
• Si (Fi)i∈I sont des sous-espaces affines et si ⋂i∈I Fi ≠ ∅, alors ⋂i∈I Fi est un sous-espace affine de direction ⋂i∈I Fi.
• Vect(X) est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant X, car c’est l’intersection de tous ceux qui contiennent X.
• Si X = (xi)i∈I, alors Vect(X) est l’ensemble des combinaisons linéaires des (xi)i∈I, avec familles presque nulles.

💡 Astuce mémo

Affine = point + direction ; Intersection non vide ⇒ affine, direction = intersection des directions.

📖 5. Combinaisons linéaires et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur standard : Un vecteur standard est un vecteur de Kn dont toutes les coordonnées sont nulles sauf une qui vaut 1 à une position donnée.
• Famille génératrice : Une famille génératrice d’un espace vectoriel est une famille telle que tout vecteur de l’espace s’écrit comme combinaison linéaire de ses éléments.
• Propriétés des parties génératrices : Les propriétés des parties génératrices décrivent comment modifier une famille génératrice sans perdre le fait d’engendrer tout l’espace.
• Famille libre : Une famille libre est une famille de vecteurs dont les combinaisons linéaires donnant 0 imposent tous les coefficients nuls.
• Famille liée : Une famille liée est une famille de vecteurs qui n’est pas libre, donc où l’un des vecteurs s’exprime comme combinaison linéaire des autres.

📝 Points essentiels

• Les vecteurs (1,0) et (0,1) engendrent R2, et plus généralement les vecteurs (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) engendrent R3.
• Pour ei=(0,…,0,1,0,…,0) (1 en ième position), la famille (e1,…,en) engendre Kn car tout (x1,…,xn) s’écrit x1e1+…+xnen.
• La famille (Ei,j) des matrices élémentaires (un 1 à la position (i,j) et 0 ailleurs) engendre Mn,p(K) et toute matrice A s’écrit A=∑i,j ai,j Ei,j.
• Si X engendre E et X⊂Y, alors Y engendre E.
• Si X engendre E et si x∈X est combinaison linéaire de X{x}, alors X{x} engendre E.
• Si X∪{a} engendre E et si b est combinaison linéaire de X∪{a} avec un coefficient non nul sur a, alors X∪{b} engendre E (remplacement).

💡 Astuce mémo

Générer = Exister pour tout vecteur (décomposition possible) ; Libre = Unicité des coefficients (décomposition unique).

📖 6. Parties génératrices et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille libre : Une famille de vecteurs est dite libre si toute combinaison linéaire presque nulle qui donne 0 force tous les coefficients à être nuls.
• Famille liée : Une famille de vecteurs est dite liée si elle n’est pas libre, c’est-à-dire s’il existe une combinaison linéaire non triviale qui donne 0.
• Inclusion d’une partie libre : Une partie contenue dans une partie libre hérite de la liberté et reste donc libre.
• Ajout d’un vecteur à une famille libre : On peut ajouter un vecteur à une famille libre tant que ce vecteur n’est pas combinaison linéaire des vecteurs déjà présents.
• Base : Une base d’un espace vectoriel est une famille à la fois libre et génératrice, donc chaque vecteur s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire.

📝 Points essentiels

• Une famille est libre si et seulement si l’équation ∑ i∈I λi xi = 0E implique λi = 0 pour tout i∈I.
• Une famille liée équivaut à l’existence d’un vecteur de la famille qui est combinaison linéaire des autres.
• Pour une famille infinie, la liberté se teste via ses sous-familles finies (et il suffit même de vérifier les familles (x0,…,xn)).
• Si Y est libre et X ⊂ Y, alors X est libre (contraposée : si X est liée et X ⊂ Y, alors Y est liée).
• Si X est libre et y n’est pas combinaison linéaire de X, alors X ∪ {y} est libre.
• Dans une base, chaque vecteur x s’écrit comme x = ∑ i∈I xi ei avec une unique famille presque nulle (xi)i∈I.

💡 Astuce mémo

Libre = aucune dépendance ; Liée = au moins un vecteur “fabriqué” par les autres ; Base = libre + génératrice (écriture unique).

📖 7. Familles libres et liées

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille génératrice : Une famille génératrice est une famille de vecteurs dont les combinaisons linéaires engendrent tout l’espace considéré.
• Famille libre : Une famille libre est une famille de vecteurs telle que la seule combinaison linéaire donnant le vecteur nul est la combinaison triviale.
• Famille liée : Une famille liée est une famille de vecteurs qui admet une combinaison linéaire non triviale donnant le vecteur nul.
• Base : Une base est une famille à la fois génératrice et libre, permettant d’exprimer tout vecteur de l’espace de façon unique.
• Coordonnées dans une base : Les coordonnées d’un vecteur dans une base sont les coefficients de la combinaison linéaire qui reconstruit ce vecteur.

📝 Points essentiels

• Une famille est libre si et seulement si l’équation $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n=0$ impose $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=0$.
• Une famille est liée si et seulement s’il existe des coefficients non tous nuls tels que $\lambda_1 v_1+\cdots+\lambda_n v_n=0$.
• Montrer qu’une famille est une base revient à montrer qu’elle est génératrice et libre, ou directement qu’elle donne une écriture unique des éléments.
• Dans l’exemple de $\mathbb R_2[X]$, la base $(X^2+X,\,X^2+1,\,X+1)$ est justifiée par l’unicité des coefficients $(\lambda,\mu,\nu)$ dans $P=\lambda(X^2+X)+\mu(X^2+1)+\nu(X+1)$.
• Dans l’exemple des matrices $F=\{M\in M_2(\mathbb R): M^\top=M+\mathrm{tr}(M)I_2\}$, on obtient $F=\mathrm{Vect}\left(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\right)$ en résolvant les ég

💡 Astuce mémo

Libre = « zéro seulement avec coefficients tous nuls » ; Liée = « zéro avec au moins un coefficient non nul ».

Notion	Condition clé	Conséquence
Libre	$\sum \lambda_i v_i=0 \Rightarrow \lambda_i=0$	Pas de dépendance non triviale
Liée	$\sum \neq

📖 8. Bases : existence et méthode pratique

🔑 Notions clés & Définitions

• Base incomplète : Méthode algorithmique qui complète une famille libre en une base finie en ajoutant des vecteurs tant que la liberté est conservée.
• Base extraite : Résultat qui permet de tirer une base finie à partir d’une famille génératrice de l’espace vectoriel.
• Famille libre : Famille de vecteurs telle que l’unique combinaison linéaire donnant le vecteur nul est la combinaison triviale.
• Famille génératrice : Famille de vecteurs dont les combinaisons linéaires engendrent tout l’espace vectoriel.
• Dimension d’un espace vectoriel : Cardinal commun des bases d’un espace vectoriel de dimension finie, noté dim E.

📝 Points essentiels

• Si E est de dimension finie et que (x1,…,xn) engendre E, alors on peut choisir une base formée de x1,…,xp puis de certains vecteurs parmi xp+1,…,xn.
• Algorithme de base incomplète : on démarre avec B=(x1,…,xp) libre, puis on parcourt k=p+1,…,n en ajoutant xk seulement si B∪{xk} reste libre.
• Si à une étape xk est combinaison linéaire des vecteurs déjà dans B, on ne l’ajoute pas et on continue sans modifier B.
• La famille finale obtenue par la base incomplète est libre par construction, car on n’ajoute jamais un vecteur qui détruit la liberté.
• Pour montrer que la famille finale engendre E, il suffit de prouver que chaque xk est combinaison linéaire des vecteurs de B finale.
• Théorème base incomplète : toute famille libre d’un espace vectoriel de dimension finie se complète en une base finie de E.

💡 Astuce mémo

LIBRE→on ajoute, sinon on ignore : la liberté guide chaque étape.

📖 9. Dimension et rang d’une famille

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension d’un sous-espace vectoriel : La dimension d’un sous-espace vectoriel est la taille maximale d’une famille libre contenue dans ce sous-espace, et elle est finie si le sous-espace l’est.
• Rang d’une famille finie : Le rang d’une famille finie de vecteurs est la dimension du sous-espace engendré par cette famille.
• Vect(x1,…,xn) : Vect(x1,…,xn) désigne l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs x1,…,xn, qui forme un sous-espace vectoriel.
• Famille libre : Une famille de vecteurs est libre si la seule combinaison linéaire donnant le vecteur nul est la combinaison triviale.
• Famille génératrice : Une famille de vecteurs est génératrice d’un espace si tout vecteur de l’espace s’écrit comme combinaison linéaire de cette famille.

📝 Points essentiels

• Pour une famille finie (x1,…,xn), le rang vaut rg(x1,…,xn)=dim(Vect(x1,…,xn)) et on a toujours rg(x1,…,xn)≤n.
• L’égalité rg(x1,…,xn)=n a lieu si et seulement si la famille (x1,…,xn) est libre.
• Le rang d’une famille finie est le plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants présents dans cette famille.
• Dans un K-espace vectoriel de dimension finie n, toute famille libre a au plus n vecteurs et toute famille génératrice en a au moins n.
• Une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n est une base si et seulement si elle est libre, ou si et seulement si elle est génératrice.
• Pour un sous-espace vectoriel F d’un espace E de dimension finie, on a dim F ≤ dim E et l’égalité équivaut à F=E.

💡 Astuce mémo

Rang = dimension du “vect” engendré : rg(x1,…,xn)=dim(Vect(x1,…,xn)) ; donc rg≤nombre de vecteurs, et rg=n ⇔ libre.

📖 10. Théorèmes de la base incomplète et extraite

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension d’un espace vectoriel produit : La dimension d’un produit d’espaces vectoriels de dimension finie est finie et se calcule comme la somme des dimensions.
• Matrice d’une famille de vecteurs : La matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base finie est le tableau de leurs coordonnées dans cette base.
• Matrice des colonnes dans la base canonique : Dans la base canonique, une matrice est obtenue en prenant les colonnes comme vecteurs de la famille.
• Inversibilité et base : Une famille de n vecteurs dans un espace de dimension n est une base exactement quand sa matrice dans une base est inversible.
• Somme de sous-espaces vectoriels : La somme de sous-espaces est l’ensemble des sommes f1+…+fp avec fi dans Fi, et c’est un sous-espace.

📝 Points essentiels

• Si (e1,…,em) est une base de E et (f1,…,fn) une base de F, alors la famille (e1,0F),…,(em,0F),(0E,f1),…,(0E,fn) est une base de E×F.
• On en déduit que dim(E×F)=dim E+dim F, et le résultat s’étend à un nombre fini d’espaces.
• La matrice MatB(X) d’une famille X=(x1,…,xp) dans une base B=(e1,…,en) est la matrice des coordonnées (ai j) de chaque xj dans B.
• Pour x∈E, MatB(x) est simplement la colonne des coordonnées de x dans la base B.
• Si A∈Mn,p(K) a pour colonnes C1,…,Cp, alors A=MatBn(C1,…,Cp) où Bn est la base canonique de Kn.
• Une famille F=(f1,…,fn) de n vecteurs de E est une base de E si et seulement si MatB(F) est inversible, pour une base B de E.

💡 Astuce mémo

Produit : base “côte à côte” (ei avec 0, puis 0 avec fj) ⇒ dimensions qui s’additionnent.

📖 11. Inversibilité des matrices et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme directe : La somme directe est une décomposition où chaque vecteur de F1+…+Fp s’écrit de façon unique comme somme d’éléments provenant des Fi.
• Somme directe de sous-espaces : La somme directe de sous-espaces décrit une situation où l’unicité des décompositions impose une intersection minimale entre les sous-espaces.
• Caractérisation somme directe (F,G) : La caractérisation relie la somme directe de deux sous-espaces à la trivialité de leur intersection.
• Liberté et somme directe : La liberté d’une famille de vecteurs se traduit par une somme directe des sous-espaces engendrés par deux sous-familles issues d’une partition.
• Base adaptée à une somme directe : Une base adaptée est obtenue en concaténant des bases de chaque Fi quand la somme F1⊕…⊕Fp est directe.

📝 Points essentiels

• Définition équivalente : la décomposition d’un vecteur de F1+…+Fp en somme d’éléments de Fi est unique si et seulement si la seule décomposition de 0E est f1=…=fp=0E.
• Pour deux sous-espaces F et G, F⊕G ⇔ F∩G={0E}.
• Attention : pour p≥3, avoir des intersections deux à deux triviales ne suffit pas pour obtenir une somme directe.
• Exemple R2 : Vect(1,0), Vect(0,1) et Vect(1,1) ont des intersections deux à deux triviales, mais ne sont pas en somme directe car (1,0)+(0,1)+(-1,-1)=(0,0).
• Théorème somme directe et liberté : si I=J⊔K, alors (xi)i∈I libre ⇔ (xj)j∈J et (xk)k∈K libres et Vect(xj)j∈J ⊕ Vect(xk)k∈K.
• Dimension : si dim Fi<∞, alors dim(F1+…+Fp)≤∑dim Fi et l’égalité vaut exactement quand F1,…,Fp sont en somme directe.

💡 Astuce mémo

Somme directe = intersection minimale : F⊕G ⇔ F∩G={0} (zéro “partagé” ⇒ zéro “ambigu”).

📖 12. Somme directe, supplémentarité et Grassmann

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme directe : La somme directe de deux sous-espaces est une situation où chaque vecteur de F+G s’écrit de façon unique comme f+g avec f∈F et g∈G.
• Supplémentarité : La supplémentarité de F et G dans E signifie que E s’écrit comme F+G et que cette décomposition est unique.
• Intersection triviale : Une intersection triviale entre F et G signifie que leur intersection ne contient que le vecteur nul de E.
• Formule de Grassmann : La formule de Grassmann relie les dimensions de F, G, F∩G et F+G par dim(F+G)=dim F+dim G−dim(F∩G).
• Caractérisation de la supplémentarité : La caractérisation de la supplémentarité en dimension finie donne un critère équivalent via trois assertions portant sur les dimensions, l’intersection et la somme.

📝 Points essentiels

• Dire que F et G sont en somme directe signifie que tout vecteur de F+G admet au plus une décomposition f+g, et que les vecteurs de E$F+G) n’en ont pas.
• Dire que F et G sont supplémentaires dans E ajoute l’égalité E=F+G, donc tout vecteur de E admet exactement une décomposition f+g.
• On ne dit jamais « le supplémentaire » : seuls E et {0E} ont un unique supplémentaire.
• En dimension finie, tout sous-espace F d’un espace vectoriel E admet au moins un supplémentaire G tel que E=F⊕G.
• Si F et G sont supplémentaires dans E, alors dim E=dim F+dim G et dim G=dim E−dim F.
• Formule de Grassmann : pour F et G de dimension finie, dim(F+G)=dim F+dim G−dim(F∩G).

💡 Astuce mémo

Somme directe = unicité sur F+G ; supplémentarité = unicité + couverture de E (E=F⊕G).

📊 Tableaux de synthèse

Libre vs génératrice vs base

Notion	Condition clé	Conséquence
Famille génératrice	Tout vecteur est combinaison linéaire	Engendre l’espace (Vect(X)=E)
Famille libre	Somme nulle impose tous coefficients nuls	Unicité des coefficients dans les combinaisons
Base	Libre et génératrice	Écriture unique de tout vecteur

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre loi interne et loi externe : la multiplication par un scalaire est une application K×E→E, pas une loi interne sur E.
2. Croire que l’égalité ∑λk xk = ∑μk xk force λk=μk : c’est faux en général (péché d’identification).
3. Penser qu’un ensemble non homogène AX=B est un sous-espace : il ne contient pas forcément le vecteur nul, donc pas stable par combinaison linéaire.
4. Confondre somme et réunion : F+G est un sous-espace, mais F∪G n’est en général pas stable par addition.
5. Croire que des intersections deux à deux triviales suffisent pour une somme directe à p≥3 : il faut l’unicité de la décomposition (ou la définition).
6. Mélanger somme directe et supplémentarité : somme directe = unicité sur F+G, supplémentarité = en plus E=F+G (couverture).
7. Oublier que la liberté d’une famille infinie se teste via ses sous-familles finies (familles presque nulles).

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la définition d’un K-espace vectoriel et écrire les 4 axiomes de la loi externe (1·x, distributivité en x et en λ, associativité).
2. Utiliser les règles de calcul : λ·x=0E ⇔ (λ=0 ou x=0E) et −x=(−1)·x pour montrer des propriétés.
3. Construire et vérifier un espace vectoriel produit E1×…×En : addition coordonnée et multiplication scalaire coordonnée, avec vecteur nul (0E1,…,0En).
4. Définir restriction des scalaires et expliquer comment un L-espace vectoriel devient un K-espace vectoriel si K⊂L.
5. Manipuler les combinaisons linéaires finies et infinies : comprendre “famille presque nulle” et que la somme reste finie.
6. Montrer qu’une partie est un sous-espace vectoriel : vérifier 0E∈F et stabilité par combinaison linéaire (ou λx+y).
7. Identifier les ensembles de solutions : homogène AX=0 donne un sous-espace vectoriel, non homogène AX=B n’en est pas un en général.
8. Définir un sous-espace affine F=x+F et sa direction, puis utiliser : deux affines égales ⇔ même direction et un point commun.
9. Résoudre le cas affine via une solution particulière : si AX=B est compatible, écrire l’ensemble des solutions comme Xpart + (solutions de AX=0).
10. Définir Vect(X) comme intersection de tous les sous-espaces contenant X, et l’exprimer comme ensemble des combinaisons linéaires (familles presque nulles).
11. Définir génératrice, libre et base, puis relier : base ⇔ libre + génératrice et donc écriture unique des coordonnées.
12. En dimension finie : appliquer base incomplète/extraite pour compléter ou extraire une base, puis utiliser dim et rang : rg(x1,…,xn)=dim(Vect(x1,…,xn)) et rg=n ⇔ libre.
13. Travailler avec matrices : définir MatB(X), interpréter l’inversibilité via colonnes/lignes, et conclure “F base ⇔ MatB(F) inversible”.
14. Utiliser somme de sous-espaces et somme directe : F+G est un sous-espace, F⊕G ⇔ F∩G={0E}, et en dimension finie appliquer Grassmann et la caractérisation de la supplémentarité.