Scheda di revisione: Fractions, puissances et fonctions de référence

📋 Plan du Cours

1. Comparer des nombres réels
2. Calculer avec des fractions
3. Convertir et appliquer les fractions
4. Propriétés fondamentales des puissances
5. Combiner les règles de puissances

📖 1. Comparer des nombres réels

★ À maîtriser

📌 Pour deux réels strictement positifs a et b tels que a < b, on a −a > −b, a² < b² et 1/a > 1/b.

Compléments

📌 Pour comparer des carrés de nombres négatifs, le nombre dont la valeur absolue est la plus grande possède le carré le plus grand ; ainsi (−1,075)² < (−1,076)².

💡 Astuce mémo

Positif : le carré conserve l’ordre, l’inverse le renverse ; négatif : le carré compare les distances à zéro.

📖 2. Calculer avec des fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — La différence de deux fractions se calcule en les ramenant au même dénominateur : $\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$.

📌 Une division par une fraction revient à multiplier par son inverse : $a\div\frac{b}{c}=a\times\frac{c}{b}$.

• Pour A = 2/6 − 3/5, on obtient A = −2/15.

• Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux ; ainsi 3/5 × 20/21 = 4/7.

Compléments

📌 Une fraction peut être simplifiée en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

💡 Astuce mémo

Mettre au même dénominateur, calculer, puis simplifier.

📖 3. Convertir et appliquer les fractions

📝 Points essentiels

• Une fraction décimale s’écrit sous forme décimale en utilisant la valeur de position de son dénominateur, par exemple 3/10 + 49/100 = 0,79.

• Pour déterminer la fraction de bouteille bue à midi, on calcule d’abord le reste après le matin, soit 1 − 2/3 = 1/3, puis les deux tiers de ce reste, soit 2/3 × 1/3 = 2/9.

💡 Astuce mémo

Une bouteille entière : boire une fraction du reste revient à multiplier les fractions restantes.

📖 4. Propriétés fondamentales des puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une puissance de puissance, on multiplie les exposants : $(a^m)^n=a^{mn}$.

📐 Formule — Pour un produit de puissances de même exposant, on peut regrouper les bases : $a^n\times b^n=(ab)^n$.

📐 Formule — Pour un quotient de puissances de même base, on soustrait les exposants : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

Compléments

• Pour tout entier non nul n, (3^n)^2 = 3^{2n} et non 3^{n²}.

• Pour a et b réels non nuls, a^6 × b^6 = (ab)^6.

💡 Astuce mémo

Même base : produit ADDITIONNE les exposants, quotient SOUSTRAIT, puissance MULTIPLIE.

📖 5. Combiner les règles de puissances

★ À maîtriser

• Pour a réel non nul et n entier non nul, a^{5n}(a^n)^2 = a^{7n}.

• On a 10^{-10}/10^{18} = 10^{-28}.

Compléments

• On a 5^0 × 1/5^6 = 5^{-6}.

• On a (3^0−3)^3 = (1−3)^3 = −8, et non 3^0.

• On a 6^{-3} × 3^{-3} = 18^{-3}, car les bases se multiplient lorsque les exposants sont égaux.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de calcul des puissances

Situation	Règle	Exemple
Produit, même base	a^m × a^n = a^{m+n}	a^{5n}(a^n)^2 = a^{7n}
Quotient, même base	a^m / a^n = a^{m−n}	10^{-10}/10^{18}=10^{-28}
Puissance de puissance	(a^m)^n = a^{mn}	(3^n)^2=3^{2n}
Produit, même exposant	a^n × b^n = (ab)^n	a^6×b^6=(ab)^6