Flashcard: Introduction à la Dérivée et ses Applications — 22 carte

Lecture graphique d'un dérivé

Estimation de la pente de la tangente en un point.

Construction graphique d'une tangente

Tracer une droite touchant la courbe en un seul point, proche de la pente réelle.

Coefficient directeur de la tangente

Pente de la droite tangente, égal à la dérivée en ce point.

Calcul du nombre dérivé

Limite du taux de variation : $oxed{f'(a) = ext{lim}_{h o 0} rac{f(a+h)-f(a)}{h}}$.

Limite de la différence quotient

Valeur vers laquelle tend le taux de variation quand h tend vers 0.

Fonction dérivée de référence

Fonction associée à une fonction dérivable, comme $x^2$ pour $f(x)$.

Exemples de fonctions dérivables

Constante, affine, carré, cube, etc.

Équation de la tangente

$ y = f'(a)(x - a) + f(a)$, avec $f'(a)$ la dérivée en a.

Signe de la dérivée — rôle

Indique si la fonction est croissante ($f' > 0$) ou décroissante ($f' < 0$).

Signe de la dérivée — influence

Croissance si $f' > 0$, décroissance si $f' < 0$.

Sens de variation — lien avec dérivée

Si $f' > 0$, $f$ est croissante; si $f' < 0$, décroissante.

Extremum local — critère dérivée

Si $f'$ change de signe en un point, il y a extremum.

Limite de la dérivée en un point

Valeur que tend $f'(x)$ lorsque $x$ tend vers un point, si elle existe.

Vitesse instantanée

Valeur de la dérivée en un point, pente de la tangente.

Application physique de la dérivée

Vitesse instantanée à un instant donné.

Propriétés de dérivabilité

Continuité, règle de la chaîne, dérivées de fonctions simples.

Calculs de dérivées simples

Utilisation de formules pour fonctions usuelles (constante, puissance, affine).

Règle de dérivation d’une constante

La dérivée d’une constante est zéro.

Règle de dérivation d’une fonction affine

La dérivée d’un $ax + b$ est $a$.

Dérivée de $x^n$

$nx^{n-1}$, pour tout réel $n$.

Relation dérivée et signe

Le signe de $f'$ indique croissance ou décroissance.

Changement de signe de la dérivée

Indique un extremum local si $f'$ change de signe.