C’est un élément de C dont le carré vaut 1
Spiegazione
Dans la construction des complexes, i est l’unité imaginaire et vérifie i²=1. Il permet d’écrire tout complexe sous la forme unique x+iy.
(x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2)
Spiegazione
Le produit complexe se calcule en développant et en utilisant i²=1, ce qui donne (x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2). La somme correspond seulement à l’addition des parties réelles et imaginaires.
Lorsqu’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire
Spiegazione
Deux complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelle et imaginaire coïncident. Le module ou l’argument seuls ne suffisent pas à garantir l’égalité.
λ multiplié par la partie imaginaire de z
Spiegazione
La multiplication par un réel est linéaire sur les parties réelle et imaginaire : Im(λz)=λIm(z). Cela vaut aussi pour la partie réelle.
1/z=(x−iy)/(x²+y²)
Spiegazione
Pour z≠0, on rationalise en multipliant par le conjugué, ce qui donne 1/z=(x−iy)/(x²+y²). Le dénominateur est la somme des carrés, donc toujours positif pour z non nul.
Il en existe exactement deux, opposées
Spiegazione
Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées l’une de l’autre. Le cas de 0 est particulier, car il n’a qu’une racine carrée : lui-même.
x est la partie réelle et y la partie imaginaire
Spiegazione
La forme algébrique s’écrit z=x+iy avec x=Re(z) et y=Im(z). Cette écriture est unique.
|z|²=Re(z)²+Im(z)²
Spiegazione
Le module est défini par |z|=√(x²+y²), donc |z|²=Re(z)²+Im(z)². C’est la distance du point d’affixe z à l’origine.
L’affixe d’un point
Spiegazione
Un complexe est représenté par le point de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le plan complexe, et on parle de son affixe. Cette représentation permet d’interpréter aussi le module comme une distance.
3−2i
Spiegazione
Dans le plan complexe, un point de coordonnées (x,y) a pour affixe x+iy. Ici, cela donne donc 3−2i.
x−iy
Spiegazione
Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire : [0mz̄=x−iy. C’est aussi une involution, car conjuguer deux fois redonne z.
z̄̄=z
Spiegazione
La conjugaison est une involution : appliquer deux fois le conjugué redonne le nombre de départ. Les autres relations ne sont pas vraies en général.
Sa partie imaginaire est nulle
Spiegazione
Un complexe est réel si et seulement si sa partie imaginaire vaut 0. Sur l’axe réel, son argument est 0 ou π modulo 2π selon le signe.
Les complexes de module 1
Spiegazione
U désigne l’ensemble des nombres complexes de module 1, situés sur le cercle trigonométrique. Tout nombre de U s’écrit e^{iθ}.
1
Spiegazione
Par définition, e^{iθ} est un nombre complexe de module 1. Il appartient donc au cercle unité.
Lorsque θ1 et θ2 diffèrent d’un multiple de 2π
Spiegazione
On a e^{iθ1}=e^{iθ2} si et seulement si θ1≡θ2 modulo 2π. L’exponentielle complexe est donc périodique de période 2π.
(e^{iθ}+e^{-iθ})/2
Spiegazione
La formule d’Euler donne cos(θ)=(e^{iθ}+e^{-iθ})/2. La seconde expression proposée correspond à sinus, pas au cosinus.
e^{inθ}
Spiegazione
La formule de Moivre affirme que la puissance n d’un nombre de module 1 multiplie l’angle par n : (e^{iθ})^n=e^{inθ}. C’est la base des calculs de puissances trigonométriques.
r(cos θ+i sin θ) avec r≥0
Spiegazione
La forme trigonométrique est z=r(cos θ+i sin θ), avec r=|z|≥0 et θ un argument. Elle est équivalente à z=re^{iθ}.
r=√(x²+y²)
Spiegazione
Le module correspond à la distance à l’origine, donc r=√(x²+y²). C’est ensuite ce r qui sert dans la forme trigonométrique.
arg(z) est défini modulo 2π, Arg(z) est l’argument principal
Spiegazione
arg(z) désigne un argument quelconque, donc défini à 2π près, tandis que Arg(z) est l’argument principal choisi dans un intervalle de référence. Cette distinction est essentielle dans les calculs.
r^{1/n}e^{i(θ+2kπ)/n}
Spiegazione
Les racines n-ièmes de a sont obtenues en divisant le module par n et en répartissant les arguments par ajouts de 2kπ, soit r^{1/n}e^{i(θ+2kπ)/n}. Cela donne les n solutions distinctes.
z↦ω+e^{iθ}(z−ω)
Spiegazione
Une rotation conserve les distances au centre ω et multiplie le vecteur (z−ω) par e^{iθ}. La formule est donc z↦ω+e^{iθ}(z−ω).
f'(x)=(Re f)'(x)+i(Im f)'(x)
Spiegazione
Pour une fonction complexe dérivable, on dérive séparément la partie réelle et la partie imaginaire, puis on les recolle avec i. Ainsi f'(x)=(Re f)'(x)+i(Im f)'(x).
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Ensemble C — définition ?
Ensemble des nombres complexes, contenant R, avec addition et multiplication.
Unité imaginaire i — propriété ?
i^2=1, permettant d’écrire tout complexe comme x+iy.
Écriture x+iy — rôle ?
Forme algébrique unique d’un complexe.
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