Une liste ordonnée et numérotée de nombres réels
Spiegazione
Une suite numérique est bien une liste ordonnée et numérotée de nombres réels. Une fonction ou une équation de récurrence peut servir à la définir, mais ce n’est pas la définition d’une suite.
(u_n)
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La notation entre parenthèses, comme (u_n), désigne la suite entière. Sans parenthèses, u_n désigne seulement un terme de la suite.
Par une formule directe en fonction de n
Spiegazione
Une suite explicite s’écrit sous la forme u_n = f(n), ce qui permet de calculer directement n’importe quel terme. La définition par récurrence, elle, passe par un terme initial et une relation de passage.
u_{n+1}=f(u_n) avec une valeur initiale
Spiegazione
Une suite définie par récurrence est donnée par une valeur initiale puis par une relation du type u_{n+1}=f(u_n). La formule u_n=f(n) correspond au contraire à une définition explicite.
u_{n+1}-u_n
Spiegazione
On étudie la croissance en regardant le signe de u_{n+1}-u_n. Si cette différence est positive à partir d’un certain rang, la suite est croissante à partir de ce rang.
0<u_{n+1}/u_n≤1
Spiegazione
Si 0 < u_{n+1}/u_n ≤ 1 pour tout n au-delà d’un certain rang, la suite est décroissante à partir de ce rang. Un quotient supérieur à 1 traduit au contraire une croissance dans le cas positif.
Chaque terme est strictement plus grand que le précédent
Spiegazione
Une suite strictement croissante vérifie u_{n+1} > u_n pour tout rang concerné. Ce n’est ni une suite constante ni une suite décroissante.
Si r>0 elle est croissante, si r<0 elle est décroissante, si r=0 elle est constante
Spiegazione
Pour une suite arithmétique, le signe de la raison détermine directement le sens de variation. Une raison positive donne une croissance, une raison négative une décroissance, et une raison nulle une suite constante.
Elle est à la fois majorée et minorée
Spiegazione
Une suite bornée possède à la fois un majorant et un minorant. Être monotone ne suffit pas à conclure qu’elle est bornée.
Parce que le théorème de convergence monotone l’affirme
Spiegazione
Le théorème de convergence monotone dit qu’une suite monotone et bornée converge. Ni la seule monotonie ni la seule bornitude ne suffisent en général.
u_n=u_0+nr
Spiegazione
Pour une suite arithmétique, on ajoute r à chaque étape, d’où u_n = u_0 + nr. La forme u_0q^n correspond à une suite géométrique.
8
Spiegazione
De 3 à 10 inclus, il y a 10 - 3 + 1 = 8 termes. Il faut compter les deux bornes dans le décompte.
u_n=u_0q^n
Spiegazione
Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par q, ce qui donne u_n = u_0q^n. La forme u_0+nr est celle d’une suite arithmétique.
a\,frac{1-r^{m+1}}{1-r}
Spiegazione
La somme géométrique s’écrit sous la forme a(1-r^{m+1})/(1-r) lorsque r≠1. Cette formule permet de calculer rapidement une somme de termes consécutifs.
Une initialisation et une hérédité
Spiegazione
Le principe de récurrence repose sur deux étapes : l’initialisation puis l’hérédité. Si elles sont toutes deux établies, la propriété est vraie pour tous les rangs suivants.
Supposer P(n) vraie pour prouver P(n+1)
Spiegazione
L’hypothèse de récurrence consiste à admettre P(n) vraie pour un rang n donné afin de démontrer P(n+1). C’est l’outil central de l’étape d’hérédité.
Énoncer P(n), initialiser, prouver l’hérédité, conclure
Spiegazione
Une preuve par récurrence suit une structure standard en quatre temps : formulation de P(n), initialisation, hérédité, puis conclusion. Cette organisation évite les sauts logiques.
Que P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie
Spiegazione
L’hérédité consiste précisément à montrer l’implication P(n) ⇒ P(n+1). C’est cette étape qui permet de propager la propriété d’un rang au suivant.
u_n=\sqrt{n}
Spiegazione
L’exemple cité montre par récurrence que u_n = \sqrt{n} pour tout n. L’égalité est obtenue en vérifiant l’initialisation puis en passant de n à n+1.
Une inégalité vraie pour tous les entiers naturels
Spiegazione
Le raisonnement par récurrence sert aussi à établir des inégalités vraies pour tout entier naturel. Il ne s’applique pas directement à une affirmation formulée pour tous les réels.
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Suite numérique — définition ?
Liste ordonnée de nombres réels.
Terme de rang n — rôle ?
Représente le n-ième terme de la suite.
Notation n — signification ?
Indique la position du terme dans la suite.
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