Flashcard: Les propriétés fondamentales des fonctions continues — 18 carte

Continuité en un point — définition ?

Limite en a = f(a), limite doit exister et être égale à la valeur.

Continuité sur un intervalle — rôle ?

Permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

Prolongement par continuité — mécanisme ?

Utilise la limite en un point pour étendre la fonction.

Opérations sur fonctions continues — stabilité ?

Somme, produit, quotient (si g ≠ 0) restent continues.

Composition continue — règle ?

f ∈ C(J, R), u ∈ C(I, J) ⇒ f ◦ u ∈ C(I, R).

Théorème valeurs intermédiaires — assertion ?

f continue sur [a, b], prend toutes valeurs entre f(a) et f(b).

Image d’un intervalle — propriété ?

L’image par une fonction continue est un intervalle.

Théorème bornes atteintes — conclusion ?

f atteint ses bornes sur [a, b], extrêmes en x_m et x_M.

Fonctions monotones — implication ?

Continue et strictement monotone ⇒ bijection avec inverse continue.

Continuité en un point — critère ?

Limite en a = f(a), limite doit exister et être finie.

Continuité sur un intervalle — définition ?

Continue en chaque point de l’intervalle.

Prolongement par continuité — exemple ?

sin(x)/x en 0, limite = 1, prolongée par 1.

Opérations sur fonctions continues — exemple ?

f + g, f × g, f / g (g ≠ 0) sont continues.

Composition continue — exemple ?

e^{α ln(x)} continue sur R^+*, composée avec u continue.

Théorème valeurs intermédiaires — utilité ?

Existence d’une solution pour f(x) = y entre f(a) et f(b).

Image d’un intervalle — conséquence ?

f(I) est un intervalle si f est continue.

Théorème bornes atteintes — condition ?

f continue sur [a, b], atteint ses extrêmes.

Fonctions monotones — propriété ?

Continue et strictement monotone ⇒ bijection, inverse continue.