Scheda di revisione: Les vecteurs dans le plan.

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées vecteur 2D en français
2. Repère orthonormé plan
3. Lecture coordonnées vecteur
4. Construction vecteur coordonnées
5. Calcul coordonnées vecteur
6. Norme vecteur 2D

📖 1. Coordonnées vecteur 2D en français

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormal (définition) : Un repère (O,i,j) dans le plan où i et j sont perpendiculaires et n’ont pas la même norme. Cela garantit que les vecteurs de base sont orthogonaux mais pas nécessairement de même longueur, permettant une décomposition unique des vecteurs dans cette base.
• Repère orthonormé (définition) : Un repère (O,i,j) dans le plan où i et j sont perpendiculaires. La différence avec le repère orthonormal est que dans ce dernier, i et j ont la même norme, ce qui simplifie la lecture et la construction des coordonnées.
• Coordonnées d’un vecteur (propriété) : Dans un repère orthonormé (O,i,j), tout vecteur u peut se décomposer de façon unique sous la forme u = xi + yj, où (x,y) sont ses coordonnées dans cette base.
• Calcul des coordonnées d’un vecteur (propriété) : Si A(xA, yA) et B(xB, yB) sont deux points, alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA).
• Norme d’un vecteur (définition) : La norme |u| d’un vecteur u = (x,y) dans un repère (O,i,j) est donnée par |u| = √(x² + y²). Elle correspond à la distance entre l’origine du vecteur et son point d’application.
• Construction d’un vecteur à partir de ses coordonnées (méthode) : À partir de ses coordonnées (x,y) dans un repère orthonormé, on peut représenter le vecteur u en partant d’un point A(xA, yA) en traçant le déplacement horizontal x et vertical y.

📝 Points essentiels

• La décomposition d’un vecteur u dans un repère orthonormé (O,i,j) s’écrit u = xi + yj, avec (x,y) ses coordonnées.
• La lecture des coordonnées d’un vecteur se fait en déterminant ses déplacements horizontaux et verticaux exprimés avec les vecteurs de la base.
• La différence entre coordonnées d’un point et d’un vecteur réside dans leur signification : un point indique une position, un vecteur un déplacement.
• La formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est (xB - xA, yB - yA).
• La norme d’un vecteur, |u| = √(x² + y²), correspond à la distance entre l’origine du vecteur et son extrémité.

💡 À retenir

Un vecteur dans un plan peut être représenté par ses coordonnées dans un repère orthonormé, permettant une décomposition unique et un calcul simple de sa norme.

📖 2. Repère orthonormé plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété : Coordonnées d’un vecteur
  Dans un repère orthonormé (O,i,j), tout vecteur u se décompose de manière unique en u = xi + yj, où x et y sont deux nombres réels.
  (Source : contenu fourni)

• Couple de coordonnées (x,y)
  Représente les coordonnées du vecteur u dans la base orthonormée (i,j). Ce couple indique le déplacement horizontal (x) et vertical (y) pour représenter le vecteur.
  (Source : contenu fourni)

• Définition : vecteur
  Un vecteur u dans un repère orthonormé est caractérisé par ses coordonnées (x,y) qui indiquent son déplacement horizontal et vertical à partir de l’origine O.
  (Source : contenu fourni)

• Méthode de lecture des coordonnées
  Pour déterminer les coordonnées d’un vecteur u, on mesure son déplacement horizontal et vertical en exprimant ces déplacements avec les vecteurs de la base (i,j). La lecture s’effectue en donnant le déplacement horizontal puis vertical.
  (Source : contenu fourni)

• Calcul des coordonnées d’un vecteur
  Si A(xA, yA) et B(xB, yB) sont deux points, alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA).
  (Source : contenu fourni)

• Calcul de la norme d’un vecteur
  La norme |u| d’un vecteur u(x,y) dans un repère (O,i,j) est donnée par |u| = √(x² + y²), correspondant à la distance entre l’origine et le point représentatif du vecteur.
  (Source : contenu fourni)

📝 Points essentiels

• La décomposition d’un vecteur u = xi + yj est unique dans un repère orthonormé (O,i,j).
• Le couple (x,y) est la représentation précise du vecteur dans la base orthonormée, permettant de lire ses coordonnées et de le construire graphiquement.
• La méthode de lecture consiste à mesurer le déplacement horizontal (x) puis vertical (y), en utilisant les vecteurs de la base.
• Pour calculer les coordonnées d’un vecteur à partir de deux points A et B, on utilise la formule (xB - xA, yB - yA).
• La norme du vecteur, |u| = √(x² + y²), correspond à la distance entre l’origine et le point du vecteur dans le plan.

💡 À retenir

Dans un repère orthonormé, tout vecteur se décompose de façon unique en coordonnées (x,y), ce qui facilite sa lecture, sa construction et ses calculs, notamment la norme.

📖 3. Lecture coordonnées vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode pour lire les coordonnées d’un vecteur : consiste à déterminer le déplacement horizontal et vertical d’un vecteur en utilisant la base du repère (i,j). Il s’agit d’identifier la composante horizontale (x) et verticale (y) du vecteur, exprimées avec les vecteurs de la base.

• Différence entre coordonnées d’un point et d’un vecteur : un point caractérise une position unique dans le plan, avec ses coordonnées indiquant sa localisation par rapport à l’origine du repère. Un vecteur, en revanche, mesure un déplacement (horizontal puis vertical) et peut avoir plusieurs représentations dans le plan, car il n’est pas lié à une position fixe mais à une direction et une norme.

• Coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé (O,i,j) : tout vecteur u peut se décomposer de façon unique sous la forme u = xi + yj, où x et y sont des nombres réels représentant ses composantes horizontale et verticale.

• Calcul des coordonnées d’un vecteur : pour deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), les coordonnées du vecteur AB sont (xB - xA, yB - yA). Ces valeurs indiquent le déplacement horizontal (xB - xA) et vertical (yB - yA) pour aller de A à B.

• Construire un vecteur à partir de ses coordonnées : dans un repère orthonormé (O,i,j), représenter un vecteur u (x, y) en prenant comme origine un point A(xA, yA), puis en traçant le vecteur allant de A à un point B(xA + x, yA + y).

• Calcul de la norme d’un vecteur : dans un repère (O,i,j), la norme |u| d’un vecteur u(x, y) est donnée par la formule |u| = √(x² + y²), correspondant à la distance entre l’origine du vecteur et sa pointe.

📝 Points essentiels

• La méthode pour lire un vecteur consiste à déterminer ses composantes horizontale et verticale en utilisant la base du repère (i,j). Cela permet de connaître précisément le déplacement associé au vecteur.

• La différence fondamentale entre coordonnées d’un point et d’un vecteur réside dans leur nature : un point indique une position fixe dans le plan, tandis qu’un vecteur représente un déplacement, pouvant être représenté par plusieurs vecteurs différents dans le plan.

• La décomposition d’un vecteur u dans un repère orthonormé (O,i,j) est unique et s’écrit u = xi + yj, avec x et y ses coordonnées.

• Pour calculer les coordonnées d’un vecteur à partir de deux points, on soustrait les coordonnées du point de départ de celles du point d’arrivée : (xB - xA, yB - yA).

• La norme d’un vecteur, donnée par |u| = √(x² + y²), correspond à la longueur du vecteur, c’est-à-dire la distance entre son origine et sa pointe.

💡 À retenir

La lecture des coordonnées d’un vecteur consiste à identifier ses composantes horizontale et verticale à partir de ses points de départ et d’arrivée, permettant ainsi de quantifier son déplacement dans le plan.

📖 4. Construction vecteur coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode pour construire un vecteur à partir de ses coordonnées dans un repère orthonormé (O,i,j) avec un point origine donné :
  Pour représenter un vecteur u (x, y) à partir d’un point A(x_A, y_A), on construit un vecteur dont l’origine est A et dont les coordonnées sont (x, y). La construction consiste à déplacer le point A selon le vecteur u : le point B, tel que AB = u, aura pour coordonnées B(x_A + x, y_A + y).

• Exemple de construction :
  Si u(3, 2) est le vecteur à partir du point A(-8, -5), alors le point B, représentant le vecteur u à partir de A, aura pour coordonnées :
  B(x_B, y_B) = (x_A + 3, y_A + 2) = (-8 + 3, -5 + 2) = (-5, -3).
  Le vecteur u est alors représenté par le déplacement de A à B.

• Distinguer un vecteur d’un point :
  Un vecteur mesure un déplacement et peut avoir plusieurs représentants dans un même repère. En revanche, un point est caractérisé par ses coordonnées qui indiquent sa position précise par rapport à l’origine du repère. La construction du vecteur à partir de ses coordonnées consiste à partir d’un point origine et à le déplacer selon ces coordonnées.

📝 Points essentiels

• La méthode consiste à prendre un point de départ (origine) A(x_A, y_A) et à ajouter les coordonnées du vecteur u(x, y) pour obtenir le point d’arrivée B(x_B, y_B).
• La représentation du vecteur u dans le plan, à partir de A, est obtenue en traçant le segment [AB], où B(x_A + x, y_A + y).
• La construction est indépendante du nombre de représentants du vecteur, puisqu’elle repose uniquement sur ses coordonnées.
• La démarche est essentielle pour représenter graphiquement un vecteur à partir de ses coordonnées dans un repère orthonormé (O,i,j).
• Exemple pratique : pour u(3, 2) et A(-8, -5), le point B est obtenu par B(-8+3, -5+2) = (-5, -3).

💡 À retenir

Pour construire un vecteur à partir de ses coordonnées dans un repère orthonormé, il suffit d’ajouter ces coordonnées au point origine, ce qui permet de localiser graphiquement le vecteur dans le plan.

📖 5. Calcul coordonnées vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Dans un repère orthonormé (O,i,j), tout vecteur u peut s’écrire de manière unique sous la forme u = xi + yj, où (x, y) sont ses coordonnées. (Source : propriété 1.2)

• Calcul des coordonnées d’un vecteur : Si deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), alors le vecteur AB a pour coordonnées (xB - xA, yB - yA). (Source : propriété 1.4)

• Propriété du déplacement horizontal puis vertical : Les coordonnées du vecteur AB correspondent au déplacement horizontal (xB - xA) puis vertical (yB - yA) pour aller de A à B. (Source : remarque)

• Démonstration par le parallélogramme et le milieu : La formule (xB - xA, yB - yA) résulte de la propriété que le milieu du segment [AB] est le même que celui du parallélogramme formé par les vecteurs, assurant que ces coordonnées représentent le déplacement de A à B. (Source : propriété 1.4)

📝 Points essentiels

• La décomposition d’un vecteur u dans un repère orthonormé (O,i,j) est unique et s’écrit u = xi + yj, avec (x, y) ses coordonnées. Cela permet de représenter graphiquement le vecteur par son déplacement horizontal et vertical.

• Pour calculer les coordonnées du vecteur AB à partir de deux points A(xA, yA) et B(xB, yB), il suffit de faire (xB - xA, yB - yA). Cette formule est dérivée du fait que le déplacement horizontal est xB - xA, et le déplacement vertical est yB - yA.

• La norme d’un vecteur u = (x, y) est donnée par |u| = √(x² + y²), ce qui correspond à la distance entre les points A et B dans le plan.

• La démonstration de la formule des coordonnées repose sur la propriété que le point milieu du segment [AB] est lié à la décomposition du vecteur, en utilisant la propriété du parallélogramme et du milieu (voir propriété 1.4).

💡 À retenir

Les coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé se calculent en soustrayant les coordonnées des points de départ et d’arrivée, ce qui correspond à un déplacement horizontal puis vertical.

📖 6. Norme vecteur 2D

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : Dans un repère (O,i,j), la norme d’un vecteur u(x, y) est donnée par |u| = √(x² + y²).
  (source : contenu source)

• Lien entre norme du vecteur et distance entre deux points : La norme d’un vecteur u(x, y) correspond à la distance entre l’origine du repère et le point représentatif du vecteur. De même, la norme du vecteur AB(xB - xA, yB - yA) est la distance entre les points A et B.
  (source : contenu source)

• Coordonnées d’un vecteur : Dans un repère orthonormé (O,i,j), un vecteur u se décompose de manière unique en u = xi + yj, où x et y sont ses coordonnées.
  (source : contenu source)

• Calcul de la norme : La formule |u| = √(x² + y²) permet de déterminer la longueur du vecteur à partir de ses coordonnées.
  (source : contenu source)

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur u(x, y) dans un repère orthonormé (O,i,j) est calculée par la formule |u| = √(x² + y²), ce qui correspond à la distance euclidienne entre l’origine et le point (x, y).
• La norme du vecteur est directement liée à la distance entre deux points : si u est le vecteur reliant A(xA, yA) à B(xB, yB), alors |u| = √((xB - xA)² + (yB - yA)²).
• La décomposition d’un vecteur en coordonnées (x, y) dans un repère orthonormé (O,i,j) est unique, permettant de représenter graphiquement et de calculer ses propriétés.
• La formule |u| = √(x² + y²) est essentielle pour déterminer la longueur d’un vecteur, qui correspond aussi à la distance entre deux points dans le plan.
• La norme est une mesure de la "taille" ou "longueur" du vecteur, indépendante de sa direction.

💡 À retenir

La norme d’un vecteur dans un plan est donnée par la formule √(x² + y²), et elle représente la distance entre l’origine du repère et le point correspondant au vecteur, ou entre deux points si le vecteur relie ces deux points.

📊 Tableaux de Synthèse

Notion / Concept	Définition / Propriété	Méthode / Construction	Auteur / Référence
Repère orthonormé	Base (O,i,j) avec i ⊥ j, même norme	Décomposition unique d’un vecteur u = xi + yj	Contenu fourni
Coordonnées d’un vecteur	Couple (x,y) dans un repère orthonormé	Définir x = déplacement horizontal, y = déplacement vertical	Contenu fourni
Calcul des coordonnées	(xB - xA, yB - yA) pour points A, B	Soustraction des coordonnées	Contenu fourni
Norme d’un vecteur		u	= √(x² + y²)
Construction d’un vecteur	À partir de coordonnées (x,y)	Partir d’un point A(xA,yA), tracer un déplacement (x,y)	Contenu fourni

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre repère orthonormé et orthogonal : dans l’orthogonal, seule la perpendicularité est assurée, pas la norme égale.
2. Confusion entre coordonnées d’un point et d’un vecteur : un point indique une position, un vecteur un déplacement.
3. Oublier que la norme |u| = √(x² + y²) représente la distance, pas une coordonnée.
4. Utiliser la même notation pour points et vecteurs sans distinction claire.
5. Ne pas respecter le sens du déplacement lors de la construction graphique d’un vecteur.
6. Erreur dans le calcul des coordonnées : inverser la soustraction (xA - xB au lieu de xB - xA).
7. Confondre la décomposition d’un vecteur dans une base orthonormée et dans une base non orthonormée.

✅ Checklist Examen

1. Connaître la définition d’un repère orthonormé et ses propriétés (Contenu fourni).
2. Savoir décomposer un vecteur en coordonnées (x,y) dans un repère orthonormé.
3. Maîtriser la méthode pour lire les coordonnées d’un vecteur à partir de points A et B.
4. Savoir calculer la norme d’un vecteur avec |u| = √(x² + y²).
5. Être capable de construire graphiquement un vecteur à partir de ses coordonnées dans un repère orthonormé.
6. Connaître la différence entre coordonnées d’un point et d’un vecteur.
7. Savoir déterminer les coordonnées d’un vecteur entre deux points.
8. Connaître la formule pour calculer les coordonnées d’un vecteur à partir de deux points.
9. Maîtriser la méthode pour représenter un vecteur à partir de ses coordonnées en partant d’un point donné.
10. Savoir utiliser la norme pour déterminer la longueur d’un vecteur.
11. Connaître la différence entre repère orthogonal et repère orthonormé.
12. Réaliser une décomposition unique d’un vecteur dans un repère orthonormé.