Scheda di revisione: Mathématiques Troisième : triangles et cônes

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et radicaux
2. Valeur absolue et intervalles
3. Théorème de Thalès
4. Triangles semblables et rectangle
5. Trigonométrie dans le triangle rectangle
6. Angles et cercles
7. Cône et sections planes
8. Sections de cônes et pyramides
9. Polynômes et factorisation
10. Opérations et relations vectorielles
11. Coordonnées et calcul vectoriel
12. Équations et droites
13. Inéquations et systèmes
14. Applications affines et linéaires
15. Propriétés des applications linéaires
16. Vocabulaire et séries statistiques
17. Représentations statistiques

📖 1. Nombres réels et radicaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : Un nombre représentable sur une droite graduée et appartient à l’ensemble $\mathbb{R}$.
• Racine carrée : Pour tout réel positif $a$, $\sqrt{a}$ est l’unique réel positif dont le carré vaut $a$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $a,b>0$, les radicaux vérifient $\sqrt{ab}=\sqrt a\,\sqrt b$ et $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$.

📐 Formule — Les produits remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📐 Formule — Si $a<b$ et si $a,b$ sont positifs, alors $a^2<b^2$ ; s’ils sont négatifs, alors $a^2>b^2$ ; pour deux réels non nuls de même signe, $a<b$ implique $\frac1a>\frac1b$.

Compléments

• Pour rationaliser un dénominateur contenant un binôme radical, on multiplie le quotient par l’expression conjuguée du dénominateur.

• Un encadrement utilise des bornes décimales pour situer une expression contenant des radicaux entre deux nombres décimaux consécutifs.

📖 2. Valeur absolue et intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : $|x|$ d’un réel $x$ est sa distance à zéro sur la droite graduée.
• Intervalle fermé : $[a;b]$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a\le x\le b$.
• Intervalle semi-ouvert : L’intervalle $[a;b[$ est l’ensemble des réels $x$ tels que $a\le x<b$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distance entre deux réels $a$ et $b$ est $d(a,b)=|a-b|$.

• L’intersection de deux intervalles contient les nombres appartenant aux deux intervalles, tandis que leur réunion contient les nombres appartenant à au moins l’un des deux.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue : distance, intervalle : ensemble

📖 3. Théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle, si une droite passant par deux côtés est parallèle au troisième côté, alors elle partage ces côtés selon des rapports égaux : $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

📐 Formule — Dans une configuration de Thalès, les longueurs correspondantes vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ et permettent de calculer une longueur inconnue.

📌 Si des points sont alignés dans le même ordre et vérifient $\frac{AM}{AB}=\frac{AM'}{AC}$, alors les droites $MM'$ et $BC$ sont parallèles.

Compléments

• Pour construire la quatrième proportionnelle à partir de $x,y,z$, on trace deux demi-droites d’origine commune, on place $x,y$ sur la première et $z$ sur la seconde, puis on utilise une parallèle pour obtenir la longueur $OD$ correspondant à la quatrième proportionnelle.

💡 Astuce mémo

Parallélisme ⇒ rapports proportionnels

📖 4. Triangles semblables et rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles correspondants sont égaux et que leurs côtés correspondants sont proportionnels.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux triangles semblables, le rapport de similitude est constant pour les côtés correspondants, par exemple $\frac{AB}{IJ}=\frac{BC}{JK}=\frac{AC}{IK}$.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, les relations métriques donnent $DE^2=BE\times CE$, $DB^2=BE\times BC$ et $DC^2=BC\times CE$.

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore relie les côtés par $\text{hypoténuse}^2=\text{côté}_1^2+\text{côté}_2^2$.

Compléments

• La hauteur issue de l’angle droit d’un triangle rectangle forme deux triangles rectangles semblables au triangle initial.

📖 5. Trigonométrie dans le triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Rapports trigonométriques : Dans un triangle rectangle, le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente d’un angle sont respectivement les rapports côté adjacent sur hypoténuse, côté opposé sur hypoténuse, côté opposé sur côté adjacent et côté adjacent sur côté opposé.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les rapports trigonométriques vérifient $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ et $\cotan\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.

📐 Formule — Pour un angle aigu $\alpha$ d’un triangle rectangle, $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ et $0<\sin\alpha<1$, $0<\cos\alpha<1$.

Compléments

• Les valeurs remarquables sont $\sin30^\circ=\frac12$, $\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$, $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$, $\tan45^\circ=1$, $\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos60^\circ=\frac12$ et $\tan60^\circ=\sqrt3$.

📐 Formule — Les angles complémentaires vérifient des relations d’échange entre rapports trigonométriques, notamment $\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)$ et $\cos\alpha=\sin(90^\circ-\alpha)$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA

📖 6. Angles et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle inscrit : Un angle dont le sommet appartient au cercle et dont les côtés coupent le cercle en deux autres points.

★ À maîtriser

• La mesure d’un angle inscrit est la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc : $\widehat{AMB}=\frac12\widehat{AOB}$.

• Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, deux angles opposés sont supplémentaires.

Compléments

📌 Si deux angles inscrits interceptent deux arcs de même longueur, alors ces angles inscrits ont la même mesure.

📖 7. Cône et sections planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Cône de révolution : Un solide obtenu par la rotation d’un triangle rectangle autour de l’un de ses côtés de l’angle droit.
• Tronc de cône : La section d’un cône circulaire droit par un plan parallèle à sa base produit un tronc de cône et un cône réduit.

★ À maîtriser

• Pour un cône de rayon de base $r$, de hauteur $h$ et d’apothème $a$, l’aire latérale vaut $\pi ra$, l’aire totale vaut $\pi r(a+r)$ et le volume vaut $\frac13\pi r^2h$.

📐 Formule — Pour un tronc de cône de hauteur $h$, de grands et petit rayons $r$ et $r'$, le volume est $V_t=\frac{\pi h}{3}(r^2+rr'+r'^2)$.

Compléments

• Si $k$ est le rapport de réduction du cône réduit au cône initial, alors le rapport des aires correspondantes vaut $k^2$ et le rapport des volumes vaut $k^3$.

📖 8. Sections de cônes et pyramides

★ À maîtriser

• La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base produit un cône réduit et un tronc de cône.

• Si k est l’échelle de réduction, les rapports de similitude des longueurs, des aires et des volumes sont respectivement $k$, $k^2$ et $k^3$.

📐 Formule — L’aire latérale d’un tronc de cône de hauteur h, de rayons r et r′ et d’apothème at vérifie $A_t=\pi(r+r′)a_t$.

Compléments

📐 Formule — Pour une pyramide sectionnée parallèlement à sa base, le rapport des aires des bases est $\frac{B′}{B}=k^2$ et le rapport des volumes est $\frac{V_r}{V_i}=k^3$.

📖 9. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : La somme de plusieurs monômes.
• Degré d’un polynôme : Le degré le plus élevé de ses monômes.

★ À maîtriser

• Pour calculer avec des polynômes, on développe les produits, on regroupe les termes de même degré, puis on réduit et on ordonne l’expression.

• La factorisation peut utiliser la mise en évidence d’un facteur commun et les produits remarquables.

Compléments

📐 Formule — Les produits remarquables comprennent $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ et $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.

📖 10. Opérations et relations vectorielles

★ À maîtriser

• Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils ont la même direction, et ils sont orthogonaux lorsqu’ils forment un angle droit.

📐 Formule — Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si l’un est un multiple réel de l’autre : $\vec v=k\vec u$.

• Pour multiplier un vecteur par un réel positif, la direction et le sens sont conservés et la longueur est multipliée par la valeur absolue du réel ; un réel négatif inverse le sens.

📐 Formule — Les points A, B et M sont alignés si et seulement s’il existe un réel k tel que $\vec{AM}=k\vec{AB}$.

Compléments

📐 Formule — Si $\vec{AB}=k\vec{CD}$ avec k réel, alors les vecteurs sont colinéaires et les droites qui les portent sont parallèles ou confondues.

💡 Astuce mémo

Même direction : colinéaires ; angle droit : orthogonaux

📖 11. Coordonnées et calcul vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Dans un repère, les coordonnées d’un vecteur sont les coefficients de sa décomposition sur les vecteurs de base.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si A(xA;yA) et B(xB;yB), alors $\vec{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, la distance entre A(xA;yA) et B(xB;yB) vérifie $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

📐 Formule — Deux vecteurs de coordonnées (x;y) et (x′;y′) sont colinéaires si et seulement si $xy′-x′y=0$.

📐 Formule — Deux vecteurs de coordonnées (x;y) et (x′;y′) sont orthogonaux si et seulement si $xx′+yy′=0$.

📖 12. Équations et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : Une équation de la forme $ax+by+c=0$, avec a et b non nuls, est une équation cartésienne d’une droite.
• Équation réduite : D’une droite est $y=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le coefficient directeur de la droite passant par A(xA;yA) et B(xB;yB), avec xA≠xB, est $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

📌 Deux droites non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

📌 Dans un repère orthonormé, deux droites non verticales sont perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs vaut −1.

📖 13. Inéquations et systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Du premier degré est une relation comportant une inconnue du premier degré et une comparaison entre deux expressions.

★ À maîtriser

📌 Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inéquation par un nombre négatif, le sens de l’inégalité est inversé.

• Pour résoudre graphiquement une inéquation à deux inconnues, on trace la droite frontière puis on retient le demi-plan correspondant au signe de l’inéquation.

• Pour résoudre graphiquement un système d’inéquations à deux inconnues, on représente chaque demi-plan solution et on prend leur intersection.

Compléments

• La méthode de substitution d’un système consiste à exprimer une inconnue en fonction de l’autre, remplacer cette expression dans la seconde équation, puis vérifier la solution obtenue.

📖 14. Applications affines et linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Application affine : Une fonction de la forme $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient et b le terme constant.
• Application linéaire : Une fonction de la forme $g(x)=ax$ et son terme constant est nul.

★ À maîtriser

📌 Une application affine est strictement croissante sur R si son coefficient a est positif, strictement décroissante si a est négatif et constante si a est nul.

• Une application linéaire transforme une somme selon $g(u+v)=g(u)+g(v)$ et un produit par un réel selon $g(kv)=kg(v)$.

Compléments

• Pour déterminer une application affine définie par deux valeurs, on utilise les deux conditions données pour former puis résoudre un système portant sur son coefficient et son terme constant.

💡 Astuce mémo

Affine : ax+b ; linéaire : ax

📖 15. Propriétés des applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une fonction de la forme $g(x)=ax$, où $a$ est un réel non nul.

★ À maîtriser

• Pour une application linéaire $g(x)=ax$, on calcule $g(u)=au$, $g(v)=av$ et $g(u+v)=a(u+v)$, puis on constate que $g(u)+g(v)=g(u+v)$.

• Pour une application linéaire $g(x)=ax$ et un réel $k$, on obtient $g(kv)=akv$ et $k\times g(v)=k(av)$, donc $g(kv)=k\times g(v)$.

Compléments

• Avec $x_1=-2$ et $x_2=7$, la condition $g(x_1-2x_2)=-2$ devient $g(-16)=-2$ et permet de déterminer le coefficient de l'application linéaire.

• Si $f$ est linéaire et vérifie $f(1)+f(2)=5$, cette condition permet de déterminer l'application $f$, puis de la représenter graphiquement dans un repère orthonormé.

💡 Astuce mémo

Additionner puis multiplier

📖 16. Vocabulaire et séries statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : L'ensemble sur lequel porte une étude statistique.
• Individu : Chaque élément de la population étudiée.
• Caractère : Ce sur quoi porte une étude statistique et il peut être qualitatif ou quantitatif.
• Effectif d'une modalité : Le nombre d'individus de la population qui représentent cette modalité.
• Effectif total : Le nombre total d'individus d'une population.
• Modalités : Les différentes réponses que le caractère permet d'obtenir.

📝 Points essentiels

• Pour étudier les 70 tailles de T-shirts, les valeurs sont regroupées en classes d'amplitude 5 : [155;160[, [160;165[, [165;170[, [170;175[ et [175;180[.

📖 17. Représentations statistiques

★ À maîtriser

📐 Formule — La fréquence d'une modalité ou d'une classe se calcule par $f=\frac{\text{effectif de la modalité ou de la classe}}{\text{effectif total}}$.

• Dans le regroupement des tailles de T-shirts, les effectifs des classes [155;160[, [160;165[, [165;170[, [170;175[ et [175;180[ sont respectivement 11, 13, 17, 19 et 10, pour un total de 70.

• La classe modale est la classe qui possède l'effectif le plus élevé ; dans le regroupement fourni, il s'agit de [170;175[ avec un effectif de 19.

• Une série statistique peut être représentée par un diagramme semi-circulaire, un diagramme circulaire, un diagramme en bâtons ou un histogramme.

Compléments

• La commande comprend 25 T-shirts verts, 10 jaunes, 15 bleus et 20 rouges, soit 70 T-shirts au total.

• L'étude statistique d'âges demande de construire le tableau des effectifs et des fréquences, de déterminer le mode, de calculer la moyenne et de compter les élèves dont l'âge est inférieur ou égal à 13 ans.

📊 Tableaux de synthèse

Rapports trigonométriques

Rapport	Expression	Côtés utilisés
Sinus	$\sin\alpha=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$	Opposé et hypoténuse
Cosinus	$\cos\alpha=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$	Adjacent et hypoténuse
Tangente	$\tan\alpha=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$	Opposé et adjacent
Cotangente	$\cotan\alpha=\frac{\text{adjacent}}{\text{opposé}}$	Adjacent et opposé

Types de fonctions

Notion	Expression	Terme constant	Variation
Application affine	$f(x)=ax+b$	b	Croissante si a>0, décroissante si a<0, constante si a=0
Application linéaire	$g(x)=ax$	0	Croissante si a>0, décroissante si a<0, constante si a=0