Flashcard: Préparation mathématique à l’ECS — 80 carte

Que doit-on faire avant d'utiliser un objet mathématique ?

Il faut déclarer l'objet mathématique en précisant sa nature.

Comment doit être rédigée une démonstration mathématique ?

Elle doit être rédigée en phrases complètes.

Que ne doit-on pas utiliser comme abréviations dans une démonstration ?

Les quantificateurs et les symboles d’implication et d’équivalence.

Que signifie le quantificateur universel ∀ ?

Il signifie « pour tout ».

Que signifie le quantificateur existentiel ∃ ?

Il signifie « il existe ».

Qu'indique la convergence d'une suite réelle vers zéro ?

Pour tout ε>0, il existe un N tel que pour tout n≥N, |u_n|≤ε.

Quelles sont les deux étapes pour démontrer une propriété par récurrence ?

L'initialisation et l'hérédité.

Que faut-il montrer pour prouver l'hérédité en récurrence ?

Que P_n entraîne P_{n+1}.

Par quoi commence une récurrence sur les entiers naturels non nuls ?

Par la vérification de P_1.

Quelle somme est égale à \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) pour tout entier naturel non nul ?

La somme des carrés de 1^2 à n^2.

Qu'est-ce qu'une récurrence forte ?

Une démonstration de P_{n+1} en supposant vraies toutes P_0 à P_n.

Qu'impose un raisonnement par l'absurde au début ?

La négation de la propriété à établir.

Que montre la preuve de l'irrationalité de √2 sur p et q ?

Que p et q sont tous deux pairs.

Quelle est la première étape d'un raisonnement par analyse-synthèse ?

Déterminer les propriétés nécessaires d'une solution éventuelle.

Quelle est la deuxième étape d'un raisonnement par analyse-synthèse ?

Vérifier quelles solutions candidates satisfont le problème initial.

Comment se décompose toute fonction réelle f ?

En une fonction paire et une fonction impaire de manière unique.

Quelle est la formule de la fonction paire p(x) associée à f ?

p(x) = (f(x) + f(-x)) / 2.

Quelles fonctions dérivables vérifient f(x+y) = f(x) + f(y) ?

Les fonctions linéaires f(x) = ax avec a réel.

Quelle est la formule de la somme des entiers de 1 à n ?

La somme vaut n(n+1)/2.

Quelle formule donne la somme géométrique pour a≠1 ?

La somme est (a^(n+1)-1)/(a-1).

Qu'est-ce qu'une somme télescopique ?

C'est une somme où a_n = b_{n+1} - b_n et la somme vaut b_{n+1} - b_0.

Quelle est la valeur de la somme ∑_{k=1}^n 1/(k(k+1)) ?

Cette somme vaut 1 - 1/(n+1).

Vers quelle valeur tend la somme ∑_{k=1}^n 1/(k(k+1)) quand n→+∞ ?

Elle tend vers 1.

Comment est définie la factorielle pour n≥1 ?

n! = 1 × 2 × ... × n.

Quelle est la valeur conventionnelle de 0! ?

Par convention, 0! = 1.

Quelle formule exprime les coefficients binomiaux ?

Ils sont donnés par n!/(m!(n-m)!).

Quelle est la formule de cos(x+y) en trigonométrie ?

cos(x+y)=cos x cos y - sin x sin y.

Quelle est la formule de sin(x+y) en trigonométrie ?

sin(x+y)=sin x cos y + sin y cos x.

Quelle est la formule de cos(2x) en trigonométrie ?

cos(2x)=2 cos² x - 1 = 1 - 2 sin² x.

Quelle est la formule de sin(2x) en trigonométrie ?

sin(2x)=2 sin x cos x.

Comment s'écrit la forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul ?

z = r e^{iθ} avec r > 0 et θ réel.

Quelle relation lie le module et le conjugué d'un nombre complexe z ?

|z|² = z × conjugué de z.

Que comprend le programme étudié sur les nombres complexes ?

La représentation géométrique et la résolution d'équations du second degré à coefficients réels.

Quelles règles faut-il maîtriser pour manipuler une inégalité ?

Les règles de signe et la factorisation.

Quelle inégalité donne la moyenne géométrique et arithmétique pour x,y≥0 ?

√(xy) ≤ (x+y)/2.

Comment se calcule le discriminant d'un trinôme ax²+bx+c ?

Δ = b² - 4ac.

Que signifie un discriminant nul pour un trinôme ?

Il possède une racine réelle double -b/(2a).

Que signifie un discriminant positif pour un trinôme ?

Il a deux racines réelles distinctes.

Que signifie un discriminant négatif pour un trinôme ?

Il a deux racines complexes conjuguées non réelles.

Quelle relation existe entre les racines x₁,x₂ et les coefficients d'un trinôme ?

x₁+x₂ = -b/a et x₁x₂ = c/a.

Comment est le signe d'un trinôme quand a>0 et Δ>0 ?

Positif hors des racines, négatif entre elles.

Quelle est la somme des racines d'un trinôme $ax^2+bx+c$ ?

La somme est -rac{b}{a}.

Quel est le produit des racines d'un trinôme $ax^2+bx+c$ ?

Le produit est rac{c}{a}.

Que signifie $c/a>0$ pour les racines réelles du trinôme ?

Les racines réelles ont le même signe.

Quel est le signe commun des racines si $c/a>0$ ?

Le signe commun est celui de $-b/a$.

Que déduit-on si $c/a<0$ pour les racines du trinôme ?

Les racines réelles sont de signes opposés.

Que vaut le trinôme si $a>0$ et $riangle>0$ ?

Il est strictement positif sauf en ses racines où il s'annule.

Comment est le trinôme si $a>0$ et $riangle<0$ ?

Il est strictement positif sur tout $extbf{R}$.

Comment se comporte le trinôme si $a>0$ et $riangle=0$ ?

Il est positif partout et s'annule en une racine double.

Quelle est la formule de la dérivée d'une composée g∘f ?

(g∘f)'(x) = g'(f(x)) × f'(x).

Quelle formule donne la dérivée d'un produit uv ?

(uv)' = u'v + uv'.

Quelle formule donne la dérivée d'un quotient u/v ?

(u/v)' = (u'v - uv') / v².

Quelles fonctions usuelles peut-on dériver grâce aux dérivées composées ?

Les polynômes, racine carrée, logarithme, exponentielle et trigonométriques.

Que représente f′(a) lorsque f est dérivable ?

La pente de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a.

Quelle est l'équation de la tangente au graphe de f au point a ?

y = f(a) + f'(a)(x - a).

Quelle formule donne la méthode de Newton pour xₙ+1 ?

xₙ+1 = xₙ - f(xₙ)/f'(xₙ).

Quelle étape suit la détermination du signe de la dérivée d'une fonction ?

On en déduit les variations de la fonction.

Comment utilise-t-on le tableau de variations pour l'équation f(x)=λ ?

Il sert à compter et positionner les solutions de f(x)=λ.

Sur quels intervalles la fonction f(x)=x⁵−5x est-elle strictement croissante ?

Elle est strictement croissante sur ]−∞,−1] et [1,+∞[.

Sur quel intervalle la fonction f(x)=x⁵−5x est-elle strictement décroissante ?

Elle est strictement décroissante sur [−1,1].

Quelle est la formule de la suite de Newton pour la racine carrée de a>0 ?

u_{n+1} = ½ (u_n + a/u_n).

Vers quelle valeur converge la suite de Newton pour la racine carrée ?

Elle converge vers √a.

Quelle est l'inégalité exponentielle fondamentale pour tout réel x ?

e^x ≥ x + 1.

Quand l'égalité e^x = x + 1 est-elle vérifiée ?

Uniquement si x = 0.

Quelles méthodes peut-on utiliser pour calculer une limite à l'infini ?

On peut utiliser opérations sur limites, encadrement, taux de variation, croissances comparées, factorisation, forme exponentielle.

Quelle est la limite de P(x)/Q(x) en +∞ si deg(Q) > deg(P) ?

La limite vaut 0.

Que vaut la limite de P(x)/Q(x) en +∞ si deg(P) = deg(Q) ?

La limite vaut le rapport des coefficients dominants aₚ/b_q.

Que donne la définition de la dérivée en termes de limite ?

Le quotient (f(x)-f(a))/(x-a) tend vers f'(a) quand x tend vers a.

Quelle est la limite de (e^x - 1)/x quand x tend vers 0 ?

Cette limite vaut 1.

Quelle est la limite de sin(x)/x quand x tend vers 0 ?

Cette limite vaut 1.

La fonction sin(1/x) a-t-elle une limite en 0 ?

Non, elle n'a pas de limite en 0.

Quelle est la limite de sin(1/x) quand x tend vers +∞ ?

La limite vaut 0.

Qu'est-ce qu'une primitive F d'une fonction f sur un intervalle ?

F vérifie F′=f sur cet intervalle.

Quelle fonction est une primitive de f si f est continue ?

La fonction x↦∫_a^x f(t) dt est une primitive de f.

Quelle est la primitive de x^α sur R₊* pour α≠−1 ?

C'est (x^(α+1))/(α+1)+C.

Quelle est la primitive de 1/x sur R₊* ?

C'est ln(x)+C.

Comment s'exprime la linéarité de l'intégrale pour f et g ?

∫_a^b (f+g) = ∫_a^b f + ∫_a^b g.

Comment s'exprime la linéarité de l'intégrale pour λ et f ?

∫_a^b λf = λ ∫_a^b f.

Quelle inégalité relie ∫_a^b f(t) dt et ∫_a^b g(t) dt si f(t) ≤ g(t) sur [a,b] ?

Alors ∫_a^b f(t) dt ≤ ∫_a^b g(t) dt.

Quelle est la forme intégrale de l'inégalité triangulaire ?

|∫_a^b f(t) dt| ≤ ∫_a^b |f(t)| dt.