Flashcard: Séries de Fourier sur le cercle — 11 carte

Qu'est-ce que le tore unidimensionnel ?

Le cercle unité S^1 identifié à ℝ/2πℤ.

Tore unidimensionnel

Cercle unité, identique à $$oxed{S^1}$$.

Que vaut l'intégrale d'une fonction 2π-périodique sur un intervalle de longueur 2π ?

Elle est indépendante de la position de l'intervalle.

Espace $$L^p$$

Fonctions mesurables p-périodiques intégrables au p-ième.

Quelle est la formule du produit scalaire dans L²(T) ?

C'est l'intégrale de f(θ) fois la conjugaison de g(θ) sur [-π,π] divisée par 2π.

Norme $$L^p$$

$$ig(rac{1}{2\pi}ig) ext{-norme}.$$

Comment s'exprime le k-ième coefficient de Fourier pour f dans L¹(T) ?

C'est l'intégrale de f(θ) fois e^{-ikθ} sur [-π,π] divisée par 2π.

Inclusion $$C^1(T)$$

Dans $$C^0(T)$$, puis dans $$L^\infty(T)$$.

Fonctions classiques dans $$L^p(T)$$

Continue, intégrable, et bornée.

Propriété intégrale témoin périodicité

L’intégrale sur 2π est invariante par translation.

Histoire convergence Fourier

Résultats clés : Dirichlet, Carleson.