Séries entières : convergence et rayon

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation des séries entières
2. Domaine de convergence
3. Lemme d’Abel
4. Rayon de convergence
5. Convergence selon la valeur de x

📖 1. Définition et notation des séries entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Série entière : Une série entière est une série de fonctions $f_n$ telles que chaque $f_n$ s’écrive sous la forme $f_n(x)=a_nx^n$ sur $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
• Coefficients d’une série entière : Les coefficients $a_n$ sont les nombres complexes qui apparaissent dans l’écriture $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ d’une série entière.
• Notation $\sum a_nx^n$ : La notation $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ sert en pratique à écrire la série de fonctions comme si l’on considérait directement la valeur en $x$.

📝 Points essentiels

• Si $x\in K$, on associe à la série de fonctions $\sum f_n$ la série numérique $\sum_{n\ge0} a_nx^n$.
• Dans cette fiche, $K$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$.
• Quand on manipule la série, on note souvent $\sum_{n\ge0} a_nx^n$ sans distinguer explicitement $f_n$ de sa valeur en $x$.

📖 2. Domaine de convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de convergence : Le domaine de convergence d’une série entière est l’ensemble des $x\in K$ pour lesquels la série $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ converge.
• Somme de la série entière : La somme d’une série entière est la fonction qui associe à chaque $x$ de son domaine la valeur $\sum_{n\ge0}a_nx^n$.

📝 Points essentiels