Quiz: Séries numériques — 24 domande

1. Qu’est-ce qu’une série de terme général \(u_n\) ?

A. La suite des sommes partielles \(S_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n\)

B. Le scalaire obtenu uniquement lorsque les termes sont positifs

C. La limite des termes \(u_n\) lorsque \(n\) tend vers l’infini

D. La suite des termes \(u_n\) considérée sans sommation

Answer: (A)

Spiegazione

Une série est définie comme la suite de ses sommes partielles. Sa somme, lorsqu’elle existe, est au contraire un scalaire égal à leur limite.

2. Quand dit-on que la série \(\sum u_n\) converge ?

A. Lorsque la suite des sommes partielles converge

B. Lorsque la somme des valeurs absolues est finie

C. Lorsque la suite des termes \(u_n\) est bornée

D. Lorsque chaque terme \(u_n\) est positif

Answer: (A)

Spiegazione

La convergence d’une série est celle de la suite de ses sommes partielles. La positivité ou la convergence absolue peuvent intervenir dans certains critères, mais ne constituent pas la définition générale.

3. Si les sommes partielles d’une série convergent vers \(L\), que représente \(L\) ?

A. La somme de la série

B. La limite du terme général uniquement

C. Le reste d’ordre zéro de la série

D. Le premier terme de la série

Answer: (A)

Spiegazione

Lorsque la série converge, sa somme est la limite de ses sommes partielles : \(\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{N\to+\infty}S_N=L\).

4. Quelle condition nécessaire doit vérifier le terme général d’une série convergente \(\sum u_n\) ?

A. Il doit être croissant

B. Il doit tendre vers zéro

C. Il doit avoir une limite non nulle

D. Il doit être strictement positif

Answer: (B)

Spiegazione

La convergence d’une série implique nécessairement \(u_n\to0\). Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas à assurer la convergence.

5. Pourquoi la série harmonique \(\sum_{n=1}^{+\infty}1/n\) constitue-t-elle un contre-exemple à la réciproque de la condition nécessaire ?

A. Parce que \(1/n\) ne tend pas vers zéro

B. Parce que ses termes deviennent alternativement positifs et négatifs

C. Parce que \(1/n\) tend vers zéro alors que la série diverge

D. Parce que la série harmonique converge vers zéro

Answer: (C)

Spiegazione

Le terme général \(1/n\) tend bien vers zéro, mais la série harmonique diverge. Ainsi, la condition \(u_n\to0\) est nécessaire sans être suffisante.

6. Une série dont le terme général ne tend pas vers zéro est nécessairement…

A. Télescopique

B. Convergente par comparaison

C. Convergente absolument

D. Divergente grossièrement

Answer: (D)

Spiegazione

Si \(u_n\not\to0\), la condition nécessaire de convergence n’est pas satisfaite : la série diverge grossièrement. Cette situation se distingue de la série harmonique, dont le terme général tend vers zéro.

7. Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent, quelle est la somme de \(\sum(\lambda u_n+\mu v_n)\) ?

A. \(\sum(\lambda u_n)\sum(\mu v_n)\)

B. \(\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n\)

C. \(\lambda\mu\sum u_n\sum v_n\)

D. \(\sum u_n+\sum v_n\), indépendamment de \(\lambda\) et \(\mu\)

Answer: (B)

Spiegazione

La linéarité de la sommation donne \(\sum(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n\), dès lors que les deux séries initiales convergent.

8. Pour une série convergente de somme \(S_\infty\), comment exprime-t-on le reste d’ordre \(N\) ?

A. \(R_N=S_\infty-S_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n\)

B. \(R_N=S_N-S_\infty\)

C. \(R_N=S_\infty+S_N\)

D. \(R_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n\)

Answer: (A)

Spiegazione

Le reste est la différence entre la somme totale et la somme partielle : \(R_N=S_\infty-S_N\). Il correspond aussi à la série des termes situés après l’indice \(N\) et tend vers zéro.

9. Que vaut la série télescopique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty}(u_{n+1}-u_n)\) lorsque \(u_n\) admet une limite ?

A. \(u_{n_0}-\lim_{n\to+\infty}u_n\)

B. \(\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n\)

C. \(\lim_{n\to+\infty}u_n+u_{n_0}\)

D. \(\lim_{n\to+\infty}u_n-u_{n_0}\)

Answer: (D)

Spiegazione

Après compensation des termes successifs dans les sommes partielles, il reste la limite du dernier terme moins le premier : \(\lim_{n\to+\infty}u_n-u_{n_0}\).

10. Pour quelle condition sur le nombre complexe z la série géométrique \(\sum_{n=n_0}^{+\infty} z^n\) converge-t-elle, et quelle est alors sa somme ?

A. Elle converge si \(|z|>1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{z-1}\)

B. Elle converge si \(|z|\leq 1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1+z}\)

C. Elle converge pour tout \(z\) et sa somme vaut \(e^{z^{n_0}}\)

D. Elle converge si \(|z|<1\) et sa somme vaut \(\frac{z^{n_0}}{1-z}\)

Answer: (D)

Spiegazione

La série géométrique converge exactement lorsque \(|z|<1\), et sa somme est \(z^{n_0}/(1-z)\). Pour \(|z|\geq 1\), elle diverge grossièrement.

11. Quelle affirmation distingue correctement la série exponentielle de la série géométrique ?

A. La série exponentielle converge pour tout \(z\in\mathbb C\), tandis que la série géométrique exige \(|z|<1\)

B. Les deux séries convergent uniquement pour les nombres réels positifs

C. Les deux séries convergent uniquement lorsque \(|z|<1\)

D. La série géométrique converge pour tout \(z\), tandis que la série exponentielle exige \(|z|<1\)

Answer: (A)

Spiegazione

La série exponentielle \(\sum z^n/n!\) converge pour tout nombre complexe \(z\), contrairement à la série géométrique, soumise à la condition \(|z|<1\).

12. Pour quelle valeur de \(\alpha\) la série de Riemann \(\sum_{n=1}^{+\infty}1/n^\alpha\) converge-t-elle ?

A. Pour \(\alpha\geq 0\)

B. Pour \(0<\alpha<1\)

C. Pour toute valeur réelle de \(\alpha\)

D. Pour \(\alpha>1\)

Answer: (D)

Spiegazione

La série de Riemann converge si et seulement si \(\alpha>1\). En particulier, le cas limite \(\alpha=1\) diverge.

13. Pourquoi une série à termes positifs converge-t-elle lorsque sa suite de sommes partielles est majorée ?

A. Parce que ses sommes partielles sont décroissantes et minorées

B. Parce que ses sommes partielles sont croissantes et majorées, donc convergentes

C. Parce que toute série à termes positifs converge automatiquement

D. Parce que ses termes deviennent nécessairement nuls après un certain rang

Answer: (B)

Spiegazione

Les sommes partielles d’une série à termes positifs sont croissantes. Si elles sont aussi majorées, elles convergent, ce qui équivaut à la convergence de la série.

14. On sait que \(0\leq u_n\leq v_n\) à partir d’un certain rang et que \(\sum v_n\) converge. Quelle conclusion peut-on tirer ?

A. La série \(\sum u_n\) converge

B. La série \(\sum v_n\) doit être alternée

C. Les deux séries ont nécessairement la même somme

D. La série \(\sum u_n\) diverge vers \(+\infty\)

Answer: (A)

Spiegazione

La convergence de la grande série à termes positifs \(\sum v_n\) entraîne, par comparaison, celle de la petite série \(\sum u_n\). Cela ne signifie pas que leurs sommes sont égales.

15. Si \(0\leq u_n\leq v_n\) à partir d’un certain rang et si \(\sum u_n\) diverge, quelle série diverge nécessairement ?

A. Aucune conclusion ne peut être tirée sur \(\sum v_n\)

B. La série \(\sum v_n\)

C. La série \(\sum (v_n-u_n)\)

D. La série \(\sum u_n^2\)

Answer: (B)

Spiegazione

La divergence de la petite série impose la divergence de la grande série \(\sum v_n\), selon le critère de comparaison par minoration. La conclusion porte donc sur la série majorante.

16. Deux suites positives à partir d’un certain rang vérifient \(u_n\sim v_n\). Quelle relation existe entre les séries correspondantes ?

A. La série \(\sum v_n\) converge toujours, quelle que soit \(u_n\)

B. Les deux séries ont nécessairement des sommes égales

C. La série \(\sum u_n\) converge toujours plus rapidement

D. Les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) ont la même nature

Answer: (D)

Spiegazione

L’équivalence asymptotique de termes positifs permet d’appliquer le critère d’équivalence : les deux séries convergent ou divergent simultanément. Elle n’implique pas l’égalité de leurs sommes.

17. Que signifie la convergence absolue de la série \(\sum u_n\) ?

A. La convergence de la série \(\sum |u_n|\)

B. La convergence de la série \(\sum u_n^2\)

C. La convergence de la série \(\sum u_n\) sans autre condition

D. La positivité de tous les termes \(u_n\)

Answer: (A)

Spiegazione

Une série est absolument convergente lorsque la série formée des valeurs absolues de ses termes, \(\sum |u_n|\), converge. Cette propriété est plus forte que la simple convergence.

18. Quelle implication générale relie la convergence absolue et la convergence d’une série ?

A. Toute série convergente est absolument convergente

B. La convergence absolue concerne uniquement les séries à termes positifs

C. Toute série absolument convergente est convergente

D. Une série absolument convergente diverge si ses termes changent de signe

Answer: (C)

Spiegazione

La convergence de \(\sum |u_n|\) entraîne celle de \(\sum u_n\). La réciproque n’est pas générale, car certaines séries convergent sans converger absolument.

19. On sait que \(v_n\geq0\), que \(u_n=O(v_n)\) et que \(\sum v_n\) converge. Quelle conclusion est correcte ?

A. La série \(\sum |u_n|\) est nécessairement égale à \(\sum v_n\)

B. La série \(\sum u_n\) diverge nécessairement

C. La convergence de \(\sum v_n\) n’apporte aucune information sur \(u_n\)

D. La série \(\sum u_n\) converge absolument

Answer: (D)

Spiegazione

La domination \(u_n=O(v_n)\), avec une série majorante positive convergente, permet de comparer \(|u_n|\) à un multiple de \(v_n\). Ainsi, \(\sum u_n\) converge absolument.

20. Quelle condition supplémentaire, en plus de l’alternance des signes, garantit la convergence d’une série alternée selon le critère correspondant ?

A. Les modules des termes sont décroissants et tendent vers zéro

B. Les signes alternent, sans condition sur les modules

C. Les modules des termes sont croissants et tendent vers zéro

D. Les termes positifs sont tous supérieurs aux termes négatifs

Answer: (A)

Spiegazione

Le critère des séries alternées exige simultanément que la suite des modules soit décroissante et qu’elle tende vers zéro. L’alternance seule ne suffit pas.

21. Une série alternée converge vers une somme dont le premier terme est négatif. Que peut-on en déduire concernant la somme et le reste après le terme d’indice n ?

A. La somme est négative et le reste a le signe de uₙ₊₁

B. La somme est positive et le reste a le signe opposé à uₙ₊₁

C. La somme est nulle et le reste est toujours positif

D. La somme est négative et le reste a toujours le signe opposé à uₙ₊₁

Answer: (A)

Spiegazione

La somme d’une série alternée a le signe de son premier terme. Le reste Rₙ a le signe de son premier terme uₙ₊₁, avec |Rₙ| ≤ |uₙ₊₁|.

22. Sous quelles hypothèses la comparaison série-intégrale permet-elle de comparer la nature de ∑ f(n) à celle des intégrales correspondantes ?

A. Lorsque f est continue, négative et croissante à partir d’un certain rang

B. Lorsque f est périodique et positive à partir d’un certain rang

C. Lorsque f est continue, positive et décroissante à partir d’un certain rang

D. Lorsque f est quelconque mais bornée sur tout intervalle

Answer: (C)

Spiegazione

La comparaison série-intégrale s’applique lorsque f est continue, positive et décroissante sur un intervalle de la forme [n₀,+∞[. Ces hypothèses permettent d’établir les encadrements nécessaires.

23. Pour quelle valeur de α la série de Riemann ∑ 1/n^α converge-t-elle ?

A. Pour α = 1

B. Pour α < 1

C. Pour α ≥ 0

D. Pour α > 1

Answer: (D)

Spiegazione

Le critère de Riemann affirme que ∑ 1/n^α converge si et seulement si α > 1. Ce résultat découle de la comparaison avec l’intégrale de 1/t^α.

24. Pourquoi les intégrales sur les intervalles [k,k+1] permettent-elles d’établir la comparaison série-intégrale pour une fonction positive et décroissante ?

A. Parce que f(k) est inférieur ou égal à f(t), lui-même inférieur ou égal à f(k+1) sur [k,k+1]

B. Parce que l’intégrale de f sur chaque intervalle est toujours égale à f(k)

C. Parce que f(k+1) est inférieur ou égal à f(t), lui-même inférieur ou égal à f(k) sur [k,k+1]

D. Parce que f(t) est constant sur chaque intervalle [k,k+1]

Answer: (C)

Spiegazione

La décroissance de f donne f(k+1) ≤ f(t) ≤ f(k) sur [k,k+1]. En intégrant puis en sommant ces inégalités, on obtient les encadrements reliant la série aux intégrales.