Ficha de revisão: Maîtrise du test du Khi 2 en statistique

📋 Plan du Cours

1. But du test d’adéquation
2. Données et variable statistique
3. Fonction discriminante et règle de décision
4. Méthodologie pratique du test du Khi 2
5. Adéquation à une loi uniforme
6. Adéquation à une loi de Poisson
7. Calcul de la moyenne et variance
8. Justification de l’ajustement par Poisson
9. Test du Khi 2 : hypothèse et effectifs théoriques
10. Regroupement des classes et Khi 2 empirique
11. Degrés de liberté et règle de décision
12. Application à l’adéquation à une loi normale

📖 1. But du test d’adéquation

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d’adéquation : Test statistique qui vérifie si des données observées sont compatibles avec une loi théorique donnée.
• Loi théorique : Modèle probabiliste supposé pour décrire la distribution attendue des observations.
• Compatibilité statistique : Mesure de la cohérence entre les fréquences observées et celles prédites par la loi théorique.
• Hypothèse nulle : Énoncé qui formalise l’idée que la loi théorique décrit correctement la population étudiée.

📝 Points essentiels

• Le but est de tester l’adéquation entre une distribution observée et une loi théorique imposée.
• Le test cherche à décider si l’écart entre observations et attentes est compatible avec le hasard ou trop grand.
• L’hypothèse nulle correspond à l’idée que les données suivent la loi théorique choisie.
• La décision finale s’appuie sur une comparaison entre une statistique calculée à partir des données et une valeur de référence.
• Le test d’adéquation s’inscrit dans une démarche où l’on construit d’abord les attentes théoriques puis on confronte aux effectifs observés.
• Le résultat du test sert à accepter ou rejeter l’hypothèse nulle selon la règle de décision définie dans la méthodologie.

💡 Astuce mémo

Adéquation = « ça colle ? » : on compare ce que l’on observe à ce que la loi théorique prédit.

📖 2. Données et variable statistique

🔑 Notions clés & Définitions

• Donnée statistique : Une donnée statistique est une information observée qui sert à décrire un phénomène mesuré ou compté.
• Variable statistique : Une variable statistique est la grandeur dont les valeurs varient selon les observations d’un ensemble.
• Variable qualitative : Une variable qualitative décrit des catégories (par exemple des types) sans ordre numérique naturel.
• Variable quantitative : Une variable quantitative mesure une quantité et s’exprime par des nombres.
• Tableau de contingence : Un tableau de contingence organise des effectifs croisés pour deux variables, utile pour tester l’indépendance.

📝 Points essentiels

• Une donnée correspond à une observation élémentaire, tandis que la variable regroupe toutes les valeurs possibles prises par cette observation.
• Une variable qualitative se classe en modalités, alors qu’une variable quantitative prend des valeurs numériques.
• Une variable quantitative discrète prend des valeurs isolées (souvent issues de comptages), tandis qu’une variable quantitative continue varie sur un intervalle.
• Pour un test d’indépendance, les données sont des effectifs répartis dans un tableau croisant deux variables.
• Le tableau de contingence permet de comparer les effectifs observés à des effectifs théoriques construits sous l’hypothèse d’indépendance.
• Les effectifs observés servent à calculer un Khi 2 empirique, puis on compare à un Khi 2 théorique pour décider.

💡 Astuce mémo

Quali = catégories, Quanti = nombres ; Contingence = tableau croisé pour l’indépendance.

📖 3. Fonction discriminante et règle de décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du Khi 2 : Test d’hypothèses non paramétrique qui rejette une hypothèse quand l’écart entre données observées et attendues est jugé trop grand.
• Test d’adéquation : Test du Khi 2 qui compare une distribution observée dans un échantillon à une distribution théorique.
• Test d’indépendance : Test du Khi 2 qui vérifie si deux caractères mesurés sur une même population sont indépendants.
• Test d’homogénéité : Test du Khi 2 qui teste si plusieurs échantillons proviennent d’une même population.
• Hypothèse de concordance : Hypothèse formulée pour dire que la distribution observée concorde avec la distribution théorique associée.

📝 Points essentiels

• Le test du Khi 2 sert à rejeter une hypothèse au moyen d’une distance jugée excessive entre deux ensembles d’informations.
• Les tests du Khi 2 sont non paramétriques et s’appuient sur une lecture d’écart critique dans une table de la loi du Khi 2.
• Trois tests du Khi 2 existent : adéquation, indépendance et homogénéité, mais le module ne traite que l’adéquation et l’indépendance.
• Dans un test d’adéquation, l’hypothèse porte sur la loi de probabilité d’une variable X dans la population.
• L’hypothèse est traduite en effectifs théoriques calculés à partir des probabilités associées aux classes d’un découpage des valeurs de X.
• On prélève un échantillon et on calcule, sur les mêmes classes, une distribution empirique de fréquences observées pour comparer aux effectifs théoriques.

💡 Astuce mémo

Khi2 = « écart trop grand » : on compare observé vs théorique, puis on rejette si la statistique dépasse la valeur de table pour le risque fixé.

📖 4. Méthodologie pratique du test du Khi 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse de concordance : L’hypothèse de concordance est la formulation H0 selon laquelle la loi théorique choisie décrit correctement la distribution observée.
• Tableau des effectifs empiriques : Un tableau des effectifs empiriques regroupe les observations de l’échantillon en classes (continu) ou en valeurs (discret) et donne les effectifs observés.
• Tableau des effectifs théoriques : Un tableau des effectifs théoriques associe à chaque classe (continu) ou valeur (discret) la probabilité théorique sous H0 puis l’effectif attendu.
• Fonction discriminante : La fonction discriminante est la statistique qui mesure l’écart entre effectifs observés et effectifs théoriques en les pondérant par l’inverse des effectifs théoriques.

📝 Points essentiels

• On calcule une statistique à partir des écarts entre effectifs observés et attendus, puis on rejette H0 si la valeur calculée dépasse la valeur lue dans la table pour un risque α fixé.
• Pour un échantillon de taille $n$, on construit un tableau empirique en regroupant les données en classes (variable continue) ou en valeurs uniques (variable discrète).
• Sous H0, on calcule les probabilités théoriques de chaque classe (continu) ou de chaque valeur (discret), puis on en déduit les effectifs théoriques correspondants.
• La comparaison se fait via une somme de carrés des écarts entre effectifs observés et théoriques, pondérée par l’inverse des effectifs théoriques.
• La statistique suit une loi du $\chi^2$ si les effectifs théoriques vérifient les conditions usuelles indiquées dans le cours (effectifs tous suffisamment grands).
• La statistique $\chi^2$ n’est pas directement un “écart” unique : elle agrège tous les écarts de toutes les classes/valeurs avec une pondération liée aux effectifs théoriques.

💡 Astuce mémo

Idée clé : $\chi^2$ = “écarts au carré” / “attendus” ; plus l’attendu est petit, plus l’écart pèse.

📖 5. Adéquation à une loi uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Test d’adéquation : Test statistique qui compare la distribution observée des effectifs à celle attendue sous une loi théorique donnée.
• Hypothèse H0 : Hypothèse nulle qui affirme que la distribution observée suit le modèle théorique choisi.
• Khi 2 empirique : Statistique calculée à partir des écarts entre effectifs observés et effectifs théoriques, pondérés par les effectifs théoriques.
• Khi 2 théorique : Valeur seuil lue dans une table de Khi 2, utilisée pour décider si H0 est compatible avec les données.

📝 Points essentiels

• La statistique Khi 2 mesure une distance entre effectifs observés et effectifs théoriques, via une somme pondérée par l’inverse des effectifs théoriques.
• Une grande valeur de Khi 2 indique une non-concordance entre les données et le modèle théorique, donc H0 devient difficile à retenir.
• Le test rejette H0 lorsque Khi 2 empirique dépasse un seuil noté Khi 2 théorique.
• Si certains paramètres de la loi théorique ne sont pas fournis, ils sont estimés à partir de l’échantillon avec des estimateurs sans biais.
• Le nombre de paramètres estimés réduit les degrés de liberté : on utilise k classes et on retire le nombre de paramètres estimés pour obtenir le nombre de degrés de liberté.
• Le tableau théorique se construit avec les mêmes classes que l’observation, en vérifiant que les valeurs observées correspondent bien à la variable aléatoire testée et en ajoutant des classes si nécessaire.

💡 Astuce mémo

Khi 2 = écarts × (1/attendu) : plus l’attendu est petit, plus l’écart pèse lourd, donc gros Khi 2 ⇒ H0 rejetée.

📖 6. Adéquation à une loi de Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Khi 2 empirique : Le Khi 2 empirique mesure l’écart entre effectifs observés et effectifs théoriques sous l’hypothèse testée.
• Khi 2 théorique : Le Khi 2 théorique est la valeur critique lue dans une table de Khi 2 pour un nombre de degrés de liberté et un seuil de risque donnés.
• Degrés de liberté : Les degrés de liberté $ddl$ déterminent la loi de référence du Khi 2 théorique et dépendent du nombre de classes et des contraintes du modèle.
• Seuil de risque $r$ : Le seuil de risque $r$ fixe la probabilité d’erreur de première espèce et détermine la zone de rejet du test Khi 2.

📝 Points essentiels

• Formule du Khi 2 empirique : $\chi^2_{emp}=\sum_{i=1}^{k}\dfrac{(N_i-n_i)^2}{n_i}$ où $N_i$ est l’effectif observé et $n_i$ l’effectif théorique.
• Calcul des effectifs théoriques : on détermine $n_i$ à partir de la loi imposée et des probabilités $p_i$ (souvent $n_i=n\,p_i$).
• Détermination du Khi 2 théorique : on lit $\chi^2_{th}$ dans la table du Khi 2 pour $ddl$ et le seuil $r$ (attention aux notations possibles).
• Règle de décision : si $\chi^2_{emp}<\chi^2_{th}$ alors on accepte $H_0$ au seuil $r$ ; si $\chi^2_{emp}\ge \chi^2_{th}$ alors on refuse $H_0$ au seuil $r$.
• Étapes typiques du test d’adéquation : poser $H_0$, calculer les effectifs théoriques, calculer $\chi^2_{emp}$, obtenir $\chi^2_{th}$, puis comparer.
• Dans l’exemple fourni (uniforme), on obtient $\chi^2_{emp}=12{,}5333$ et $ddl=9$, puis $\chi^2_{th}=\chi^2_{9;0{,}05}$ ; comme $12{,}5333<\chi^2_{th}$, $H_0$ est acceptée au seuil indiqué.

💡 Astuce mémo

Empirique = écart observé vs théorique (somme des carrés / théorique) ; Théorique = valeur critique de table ; Décision = comparer (< accepte, ≥ refuse).

📖 7. Calcul de la moyenne et variance

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne empirique : La moyenne empirique est la valeur moyenne calculée à partir des observations, obtenue en pondérant chaque valeur par son effectif.
• Variance empirique : La variance empirique mesure la dispersion des observations autour de la moyenne, calculée à partir des effectifs et des valeurs.
• Écart-type : L’écart-type est la racine carrée de la variance, exprimant la dispersion dans la même unité que la variable.
• Tableau des effectifs : Un tableau des effectifs regroupe, pour chaque valeur observée, son effectif et les quantités nécessaires au calcul de la moyenne et de la variance.

📝 Points essentiels

• Pour une distribution discrète observée, la moyenne se calcule à partir des valeurs $x_i$ et des effectifs $n_i$ via une moyenne pondérée.
• La variance empirique se calcule à partir des $x_i$, des $n_i$ et de la moyenne, en utilisant les carrés $x_i^2$ (souvent via une colonne $n_i x_i^2$).
• Dans l’exemple (contrats par jour), la somme des effectifs vaut $N=100$ et la somme des $n_i x_i$ vaut $206$, d’où la moyenne $\bar X=206/100=2,06$.
• Dans l’exemple, la variance calculée est $V(X)=1,06$ et l’écart-type vaut $\sqrt{1,06}\approx 1,029563$.
• Pour ajuster une loi de Poisson ensuite, on vérifie que la moyenne et la variance sont pratiquement égales (ici $\bar X\approx 2,06$ et $V(X)\approx 1,06$ selon les calculs présentés).

💡 Astuce mémo

Moyenne = somme pondérée (effectifs×valeurs) / total ; Variance = dispersion autour de la moyenne (utilise aussi $x_i^2$).

📖 8. Justification de l’ajustement par Poisson

🔑 Notions clés & Définitions

• Paramètre r : Le paramètre r est la moyenne $m$ de la loi de Poisson utilisée pour calculer les probabilités théoriques des effectifs.
• Effectifs théoriques : Les effectifs théoriques sont les nombres attendus dans chaque classe, obtenus en multipliant les probabilités de Poisson par l’effectif total.
• Regroupement de classes : Le regroupement de classes consiste à fusionner des modalités dont les effectifs théoriques sont trop faibles pour respecter la condition du test du Khi-deux.
• Khi-deux empirique : Le Khi-deux empirique mesure l’écart entre effectifs observés et effectifs théoriques calculés sous l’hypothèse de Poisson.
• Khi-deux théorique : Le Khi-deux théorique est la valeur critique issue du nombre de degrés de liberté, utilisée pour décider si l’hypothèse Poisson est compatible avec les données.

📝 Points essentiels

• Le paramètre de la loi de Poisson à tester n’est pas fourni : on l’obtient via l’estimation de la moyenne $m$ (valeur de r).
• Les probabilités théoriques se calculent avec la loi de Poisson, puis les effectifs théoriques valent $N_i^{th}=N\,P(X\in\text{classe }i)$.
• Avant le calcul du Khi-deux, on doit regrouper des classes pour que tous les effectifs théoriques soient suffisamment grands (condition du test).
• Dans l’exemple, les cas $X=4$ et $X>4$ ont des effectifs théoriques inférieurs à 5, donc ils sont fusionnés en une classe $X\ge 4$ puis encore regroupés avec $X=3$ pour obtenir une classe $X\ge 3$.
• Le regroupement doit être appliqué à la fois aux effectifs théoriques et aux effectifs empiriques, afin de comparer les mêmes classes.
• Le Khi-deux empirique est calculé à partir de $\sum \frac{(N_i^{obs}-N_i^{th})^2}{N_i^{th}}$ et on obtient ici $\chi^2_{obs}=0{,}2796$.

💡 Astuce mémo

Poisson + Khi-deux = « comparer attendu vs observé » : si un attendu < 5, on fusionne les classes jusqu’à rendre tous les attendus assez grands.

📖 9. Test du Khi 2 : hypothèse et effectifs théoriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du Khi 2 : Test statistique basé sur la comparaison entre effectifs observés et effectifs théoriques sous une hypothèse donnée.
• Hypothèse nulle H0 : Hypothèse à tester, ici l’idée que la variable C suit une loi normale de paramètres inconnus.
• Loi normale : Famille de distributions caractérisée par une moyenne m et un écart-type σ, utilisés pour calculer les effectifs théoriques.
• Effectifs théoriques : Effectifs attendus dans chaque classe, calculés à partir de la loi supposée et des probabilités de classe.
• Seuil de risque 5 % : Niveau de signification a=0,05 qui fixe la règle de décision du test du Khi 2.

📝 Points essentiels

• On teste au seuil a=5 % l’hypothèse H0 : C suit une loi normale, avec moyenne m et écart-type σ à estimer.
• Quand m et σ ne sont pas fournis, on les estime à partir de l’échantillon observé avant de calculer les probabilités de classes.
• La moyenne estimée est obtenue par la moyenne pondérée des centres de classes, ici X̄=3 550 €.
• L’écart-type estimé provient de la variance de l’échantillon, ici S≈372,94 € (et Ŝ≈373 €).
• Les effectifs théoriques s’obtiennent par Ni= n·pi, où n est l’effectif total et pi la probabilité d’être dans la classe sous H0.
• Les probabilités pi sont calculées à partir de la loi normale avec les paramètres estimés, puis multipliées par n=10 800 pour obtenir Ni.

💡 Astuce mémo

H0→Normalité : on estime m et σ, puis on passe par Ni=n·pi (observé vs théorique) pour le Khi 2.

📖 10. Regroupement des classes et Khi 2 empirique

🔑 Notions clés & Définitions

• Regroupement en classes : Méthode qui transforme une variable continue en intervalles, afin de comparer des effectifs observés à des effectifs théoriques.
• Khi 2 empirique : Statistique de test calculée à partir des écarts entre effectifs observés et effectifs théoriques, utilisée pour valider ou rejeter un modèle.
• Effectifs théoriques : Effectifs attendus dans chaque classe, obtenus à partir des paramètres de la loi supposée et de la taille totale de l’échantillon.
• Degrés de liberté : Nombre de degrés de liberté $k$ qui détermine la loi de référence du Khi 2 et donc la valeur critique du test.
• Seuil de test : Niveau de risque  qui fixe la probabilité d’erreur de première espèce et conditionne la valeur critique du Khi 2.

📝 Points essentiels

• On teste la normalité d’une variable (ici le chiffre d’affaires journalier) en supposant une loi $\mathcal N(m, s)$ puis en comparant observé et théorique par classes.
• Les effectifs théoriques s’obtiennent par $N_i=n\,p_i$ où $p_i$ est la probabilité que la variable tombe dans l’intervalle de la classe $i$.
• Le tableau de calcul donne notamment $N_i$ et les effectifs observés $n_i$ pour chaque classe (ex. moins de 3100, 3100 à 3400, etc.).
• Le Khi 2 empirique se calcule à partir des écarts $n_i-N_i$ et de la taille théorique de chaque classe, puis on obtient ici $\chi^2_{obs}=187{,}6$.
• Les degrés de liberté sont $k=5$ dans l’exemple, ce qui fixe la loi de référence du Khi 2.
• La valeur critique est donnée par $\chi^2_{th}=5{,}992$ pour le seuil $\u0005=0{,}05$ (avec $k=5$).

💡 Astuce mémo

Idée clé : $\chi^2$ mesure l’écart total (observé vs théorique) ; si $\chi^2_{obs} > \chi^2_{th}$, on rejette $H_0$.

📖 11. Degrés de liberté et règle de décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de contingence : Tableau croisant les effectifs observés pour les modalités des deux caractères A et B.
• Hypothèse nulle H0 : Hypothèse d’indépendance entre les deux variables aléatoires correspondant aux caractères A et B.
• Effectifs théoriques : Effectifs calculés dans le tableau attendu lorsque H0 (indépendance) est supposée vraie.
• Khi 2 empirique : Statistique calculée à partir des écarts entre effectifs observés et effectifs théoriques.
• Khi 2 théorique : Valeur critique lue dans la table du Khi 2 pour décider si l’écart observé est compatible avec H0.

📝 Points essentiels

• Sous H0, les effectifs théoriques s’obtiennent en combinant les lois marginales des deux caractères A et B.
• Les effectifs théoriques doivent être cohérents avec les marges du tableau empirique (mêmes dernière ligne et dernière colonne).
• Le Khi 2 empirique se calcule en sommant, sur toutes les cases, une contribution basée sur (observé − théorique)² / théorique.
• Le nombre de degrés de liberté dépend du nombre de modalités de A et de B, via la formule indiquée par la table du Khi 2.
• La règle de décision compare le Khi 2 empirique à la valeur critique (Khi 2 théorique) lue pour les degrés de liberté.
• Pour des variables qualitatives, le regroupement des modalités n’est pas possible (ex. situations matrimoniales, couleurs), et la propriété de validité est attendue si n est suffisamment grand.

💡 Astuce mémo

H0 = indépendance ⇒ on fabrique un tableau attendu, puis Khi2 empirique mesure l’écart; on tranche en comparant à la valeur critique du Khi2 théorique.

📖 12. Application à l’adéquation à une loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Khi 2 empirique : Le Khi 2 empirique mesure l’écart entre les effectifs observés et les effectifs théoriques attendus sous l’hypothèse nulle.
• Khi 2 théorique : Le Khi 2 théorique est la valeur lue dans une table pour le seuil de risque et les degrés de liberté, servant de seuil de comparaison.
• Degrés de liberté : Les degrés de liberté $k$ déterminent la ligne de la table du Khi 2 pour obtenir le Khi 2 théorique.
• Table de contingence : Une table de contingence croise deux caractères et fournit les effectifs observés par modalités pour calculer les effectifs théoriques.
• Indépendance des caractères : Deux caractères sont dits indépendants quand les effectifs théoriques se déduisent des marges, sans lien entre les modalités.

📝 Points essentiels

• Le calcul du Khi 2 empirique utilise la somme sur toutes les cases de la forme $(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$, où $O_{ij}$ est observé et $E_{ij}$ théorique.
• Le Khi 2 théorique se lit directement dans la table du Khi 2 à partir des degrés de liberté et du seuil de risque $a$ (ici $a=0{,}05$).
• La règle de décision compare $\chi^2_{obs}$ et $\chi^2_{th}$ : si $\chi^2_{obs} \le \chi^2_{th}$, l’hypothèse est acceptée au seuil $a$.
• Pour l’exemple, la table empirique croise Sexe (Masculin/Féminin) et Ancienneté (moins de 15 ans / 15 ans et plus) avec total $70$.
• Sous l’hypothèse d’indépendance, les effectifs théoriques $E_{ij}$ se calculent à partir des marges (conservation des totaux de lignes et de colonnes).
• Dans l’exemple, les effectifs théoriques sont : moins de 15 ans (26,06 ; 30,94) et 15 ans et plus (5,94 ; 7,06).

💡 Astuce mémo

Khi2 = ÉCART² / ATTENDU ; décision : $\chi^2_{obs}$ vs $\chi^2_{th}$ (table) au seuil $a$.

📊 Tableaux de synthèse

Trois tests du Khi 2 (module)

Test	But	Variable(s) concernée(s)
Adéquation	Comparer globalement la distribution observée à une distribution théorique	Une variable quantitative (caractère quantitatif)
Indépendance	Tester si deux caractères observés sur une même population sont indépendants	Deux caractères (qualitatifs ou quantitatifs) sur la même population
Homogénéité	Tester si des échantillons sont issus d’une même population	Plusieurs échantillons (non traité dans le module)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre H0 du test d’adéquation (concordance avec une loi théorique) et H0 du test d’indépendance (indépendance entre deux caractères).
2. Oublier que la statistique Khi 2 agrège tous les écarts sur toutes les classes/valeurs, pondérés par l’inverse des effectifs théoriques.
3. Construire le tableau théorique avec des classes différentes de celles du tableau empirique (alors que le cours impose de retenir les mêmes classes).
4. Ne pas vérifier que la somme des probabilités théoriques vaut 1 et que les effectifs théoriques correspondent bien à la variable aléatoire testée.
5. En Poisson, ne pas regrouper les classes quand des effectifs théoriques sont trop faibles (condition du test du Khi 2), ou ne pas appliquer le même regroupement aux effectifs empiriques.
6. Lire la règle de décision à l’envers : le cours indique que l’hypothèse est rejetée si la valeur calculée dépasse le seuil de la table (Khi 2 théorique).
7. Pour l’indépendance, croire qu’on peut regrouper des modalités qualitatives (le cours dit que ce regroupement n’est pas possible, et la validité dépend de n suffisamment grand).

✅ Checklist Examen

1. Expliquer le but du test d’adéquation : tester la concordance entre une distribution empirique et une loi théorique, avec un risque fixé à priori.
2. Identifier les éléments du test d’adéquation : hypothèse de concordance H0, classes (continu) ou valeurs (discret), effectifs empiriques et effectifs théoriques.
3. Décrire la fonction discriminante du test d’adéquation : somme pondérée par l’inverse des effectifs théoriques des carrés des écarts entre observé et théorique.
4. Appliquer la méthodologie du test d’adéquation en 5 étapes : H0, tableau théorique (mêmes classes, somme des probabilités = 1, regroupements si besoin), Khi 2 empirique, Khi 2 théorique (ddl), règle de décision.
5. Pour une loi uniforme : calculer les probabilités théoriques par classe/valeur, en déduire les effectifs théoriques, puis comparer Khi 2 observé et Khi 2 théorique au seuil donné.
6. Pour une loi de Poisson : calculer moyenne et variance empiriques, justifier l’ajustement par l’égalité moyenne ≈ variance, puis estimer le paramètre m à partir de l’échantillon.
7. Réaliser le test Poisson avec Khi 2 : calcul des effectifs théoriques via les probabilités de Poisson, regroupement des classes pour satisfaire la condition, puis comparaison à la valeur critique.
8. Pour une loi normale : estimer les paramètres (moyenne et écart-type) à partir des données groupées, calculer les probabilités par classes (centres/intervalle), puis les effectifs théoriques.
9. Pour la normalité : déterminer les degrés de liberté à partir du nombre de classes et des paramètres estimés, lire Khi 2 théorique à partir du seuil, et conclure selon la règle de décision.
10. Expliquer le but du test d’indépendance : comparer un tableau d’effectifs observés à un tableau d’effectifs théoriques calculé sous l’hypothèse d’indépendance.
11. Construire le tableau théorique d’indépendance en conservant les mêmes marges (dernière ligne et dernière colonne) et en utilisant la formule des effectifs théoriques à partir des totaux.
12. Calculer le Khi 2 empirique du test d’indépendance en sommant (observé−théorique)^2/théorique sur toutes les cases, puis décider en comparant à Khi 2 théorique au seuil et aux ddl.