Produit scalaire en 3D

1. 📌 L'essentiel

• Le produit scalaire dans l’espace : $\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \|\vec v\| \cos(\theta)$.
• Propriétés : symétrieinéarité, $\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2$, orthogonalité si $\vec u \cdot \vec v=0$.
• Expression dans un repère orthonormé : $\vec u = (x,y,z)$, $\vec v = (x', y', z')$, $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz'$.
• La norme : $\|\vec u\| = \sqrt{\vec u \cdot \vec u}$.
• Vecteur normal à un plan : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
• Projection orthogonale : point du projeté tel que $(AH) \perp d$ ou $(AH) \perp P$.
• Distance point-plan : $\text{distance} = \frac{| \vec{AM} \cdot \vec{n} |}{\|\vec{n}\|}$.
• Deux droites orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
• Identités remarquables : $\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2 \vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$.
• La formule de polarisation : $\vec u \cdot \vec v = \frac{1}{2}(\|\vec u\|^2 + \|\vec v\|^2 - \|\vec u - \vec v\|^2)$.
• La distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.