Analyse des fonctions quadratiques et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Second degré
2. Suites numériques
3. Dérivation
4. Probabilités conditionnelles
5. Applications de la dérivation
6. Fonction exponentielle
7. Produit scalaire et cercles

📖 1. Second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\\mathbb{R}$ par $A(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme écrit la fonction comme $A(x)=a(x-\\alpha)^2+\\beta$ où $\\alpha$ donne l’abscisse du sommet et $\\beta$ sa valeur.
• Discriminant : Le discriminant $\\Delta$ d’un trinôme est $\\Delta=b^2-4ac$ et détermine le nombre de solutions de l’équation $A(x)=0$.

📝 Points essentiels

• Si \\Delta<0, l’équation $A(x)=0$ n’a pas de solution réelle et $A(x)$ garde le signe de $a$ sur $\\mathbb{R}$.
• Si $\\Delta=0$, l’équation $A(x)=0$ admet une unique solution réelle $\\alpha=-\\dfrac{b}{2a}$ et $A(x)$ est toujours de signe $a$.
• Si \\Delta>0, l’équation $A(x)=0$ admet deux solutions $x_1=\\dfrac{-b+\\sqrt\\Delta}{2a}$ et $x_2=\\dfrac{-b-\\sqrt\\Delta}{2a}$, et $A(x)$ a le signe de $a$ en dehors de $x_1$ et $x_2$.
• Quand \\Delta>0, on a $x_1+x_2=-\\dfrac{b}{a}$ et $x_1x_2=\\dfrac{c}{a}$, ce qui permet de retrouver une factorisation $A(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

💡 Astuce mémo

\u0394 = b^2 - 4ac : \u221e si \u0394>0 (2 racines), 0 si \u0394=0 (1 racine), \u2192 pas de racine si \u0394<0.

📖 2. Suites numériques