Quiz: Analyse des fonctions quadratiques et suites numériques — 14 questions

1. Quel est le discriminant d’un trinôme $A(x)=ax^2+bx+c$ ?

A. $b^2+4ac$

B. $a^2-4bc$

C. $2ab-c$

D. $b^2-4ac$

Answer: (D)

Explanation

Le discriminant d’un trinôme du second degré est bien $Delta=b^2-4ac$. Il sert à déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation $A(x)=0$.

2. Lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement négatif, que peut-on conclure sur l’équation $A(x)=0$ ?

A. Elle admet une infinité de solutions réelles

B. Elle n’admet aucune solution réelle

C. Elle admet deux solutions réelles distinctes

D. Elle admet une unique solution réelle

Answer: (B)

Explanation

Si $Delta<0$, l’équation n’a aucune solution réelle. De plus, le trinôme garde alors le signe de $a$ sur $R$.

3. Une suite vérifie $u_{n+1}=u_n+5$ pour tout entier naturel $n$. De quel type de suite s’agit-il ?

A. Suite arithmétique de raison 5

B. Suite arithmétique de raison $\tfrac15$

C. Suite géométrique de raison 5

D. Suite géométrique de raison $\tfrac15$

Answer: (A)

Explanation

Une relation de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ définit une suite arithmétique, et la raison est ici $r=5$. Une suite géométrique aurait la forme $u_{n+1}=q\,u_n$.

4. Quelle formule donne le terme général d’une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ ?

A. $u_n=u_0\times n^q$

B. $u_n=u_0+nr$

C. $u_n=u_0\times q^n$

D. $u_n=u_p+(n-p)r$

Answer: (C)

Explanation

Pour une suite géométrique, le terme général s’écrit $u_n=u_0\times q^n$. La formule $u_0+nr$ correspond au contraire à une suite arithmétique.

5. Que représente le nombre dérivé de $f$ en $a$ ?

A. La pente moyenne de la courbe sur tout l’intervalle

B. La limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers 0

C. La valeur de $f(a)$ elle-même

D. Le rapport $f(a+h)-f(a)$ sur $h$ pour un $h$ fixé

Answer: (B)

Explanation

Le nombre dérivé en $a$ est la limite du taux d’accroissement lorsque $h\to 0$. C’est cette limite qui donne la pente de la tangente si elle existe.

6. Si $f$ et $g$ sont dérivables, quelle est la dérivée de $f\cdot g$ ?

A. $f'\,g'$

B. $f'\,g+f\,g'$

C. $f'+g'$

D. $\dfrac{f'}{g'}$

Answer: (B)

Explanation

La règle du produit est $(u\cdot v)'=u'v+uv'$. Les autres propositions correspondent à des erreurs fréquentes de dérivation.

7. Comment calcule-t-on la probabilité de $B$ sachant $A$ lorsque $P(A)\neq 0$ ?

A. $P_A(B)=P(A\cap B)+P(A)$

B. $P_A(B)=P(A)\times P(B)$

C. $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

D. $P_A(B)=\dfrac{P(B)}{P(A\cap B)}$

Answer: (C)

Explanation

La probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ est le rapport $\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ lorsque $P(A)\neq 0$. C’est une réduction du problème en tenant compte de la réalisation de $A$.

8. Deux événements sont indépendants. Quelle égalité est alors vérifiée ?

A. $P(A\cap B)=P(A)+P(B)$

B. $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

C. $P_A(B)=P(A)$

D. $P(A\cup B)=P(A)\times P(B)$

Answer: (B)

Explanation

L’indépendance se traduit par $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$. Dans ce cas, connaître la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.

9. Que permet de conclure le signe de la dérivée $f'(x)$ sur un intervalle ?

A. La symétrie de la courbe par rapport à l’axe des ordonnées

B. La valeur exacte de la fonction en tout point

C. L’existence d’une asymptote verticale

D. Le sens de variation local de la fonction

Answer: (D)

Explanation

Le signe de $f'(x)$ indique si la fonction augmente, diminue ou reste constante sur l’intervalle. C’est l’outil de base pour construire un tableau de variations.

10. Une tangente à la courbe de $f$ est parallèle à la droite $y=3x-2$. Que doit vérifier le point d’abscisse $x_0$ ?

A. $f(x_0)=3$

B. $f'(x_0)=3$

C. $f'(x_0)=-2$

D. $f(x_0)=-2$

Answer: (B)

Explanation

Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur, donc il faut imposer $f'(x_0)=3$. On utilise ensuite $f(x_0)$ pour écrire l’équation de la tangente.

11. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle sur ath]":[?]

A. Elle est définie seulement pour les nombres positifs et vérifie ath]f(1)=0[/math].

B. Elle est dérivable sur ath]\mathbb{R}[/math] et vérifie ath]f'(x)=f(x)[/math] avec ath]f(0)=1[/math].

C. Elle est strictement décroissante sur ath]\mathbb{R}[/math] et vérifie ath]f'(x)=-f(x)[/math].

D. Elle est périodique de période ath]2\pi[/math] et vérifie ath]f'(x)=1[/math].

Answer: (B)

Explanation

La fonction exponentielle est définie par l’égalité entre la fonction et sa dérivée, avec la condition ath]f(0)=1[/math]. Les autres propositions décrivent des comportements qui ne correspondent pas à cette définition.

12. Quelle égalité est toujours vraie pour tous réels ath]x[/math] et ath]y[/math] ?

A. ath]e^{x+y}=e^x e^y[/math]

B. ath]e^{x+y}=e^x+e^y[/math]

C. ath]e^{-x}=e^x[/math]

D. ath]e^{x-y}=e^x+e^y[/math]

Answer: (A)

Explanation

Les exponentielles transforment une somme d’exposants en produit : ath]e^{x+y}=e^x e^y[/math]. Les autres égalités sont fausses, notamment ath]e^{x-y}[/math] qui s’écrit comme un quotient.

13. Quand deux vecteurs sont-ils orthogonaux ?

A. Lorsque l’un est le double de l’autre

B. Lorsque leur produit scalaire est égal à 0

C. Lorsque leurs coordonnées sont toutes positives

D. Lorsque leurs normes sont égales

Answer: (B)

Explanation

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0. Le fait d’avoir les mêmes normes ou d’être proportionnels ne suffit pas.

14. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre ath]\Omega(a\;b)[/math] et de rayon ath]R[/math] ?

A. ath](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/math]

B. ath]x^2+y^2=R^2[/math]

C. ath](x+a)^2+(y+b)^2=R[/math]

D. ath](x-a)+(y-b)=R^2[/math]

Answer: (A)

Explanation

Un cercle de centre ath]\Omega(a\;b)[/math] et de rayon ath]R[/math] a pour équation ath](x-a)^2+(y-b)^2=R^2[/math]. Les autres écritures correspondent soit à un cas particulier, soit à une relation qui n’est pas celle d’un cercle.