Quiz: Fonctions polynômes du second degré — 12 perguntas

1. Pour vérifier qu’une expression correspond bien à un polynôme du second degré, quelle démarche est la plus appropriée ?

A. Remplacer x par une constante, puis vérifier la valeur obtenue

B. Comparer directement les formes sans développer ni réduire, puis conclure sur le degré

C. Factoriser sans simplifier, puis vérifier que le domaine contient 0

D. Développer et réduire, puis vérifier qu’elle est définie sur ℝ et que le coefficient de x² est non nul

Answer: (D)

Explicação

La reconnaissance passe par le développement et la réduction, puis par la vérification sur ℝ et du coefficient de x² (non nul). Une simple forme factorisée ou une ressemblance visuelle ne suffit pas sans simplification.

2. Quand une fonction est-elle considérée comme une fonction polynôme du second degré ?

A. Lorsqu’elle est définie sur ℝ et s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et a≠0

B. Lorsqu’elle s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels, même si a=0

C. Lorsqu’elle est définie sur ℝ et contient un terme en x², même après simplification

D. Lorsqu’elle s’écrit f(x)=(px+q)² sur ℝ, quelle que soit la valeur de p

Answer: (A)

Explicação

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ et s’écrit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et un coefficient de x² non nul (a≠0). Les autres propositions omettent ou affaiblissent cette condition sur a.

3. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)²+β, à quelle grandeur correspond α ?

A. À l’abscisse du sommet

B. À l’ordonnée du sommet

C. À l’ordonnée de l’origine

D. À la valeur de f(0)

Answer: (A)

Explicação

Dans cette forme, α est l’abscisse du sommet. β correspond à l’ordonnée, et α n’est pas en général égal à f(0).

4. Quelle expression donne correctement α et β à partir de f(x)=ax²+bx+c sous forme canonique ?

A. α=−b/(2a) et β=f(α)

B. α=−2a/b et β=f(−α)

C. α=f(0) et β=a−b

D. α=2a/b et β=f(0)

Answer: (A)

Explicação

La forme canonique impose α=−b/(2a) et β=f(α). En général, β n’est pas f(0) mais l’image au point α.

5. Pour déterminer les antécédents d’un nombre y, que faut-il résoudre ?

A. Résoudre l’équation f(x)=0 pour trouver y

B. Résoudre l’équation f(y)=x pour trouver les valeurs de y

C. Résoudre l’inéquation f(x)≥y pour trouver les images

D. Résoudre l’équation f(x)=y pour trouver les valeurs de x

Answer: (D)

Explicação

Chercher des antécédents de y revient à trouver les x tels que f(x)=y. Une image est f(x) (le résultat), tandis qu’un antécédent est une valeur de x.

6. On sait que f(t)=2(t+1)(3−t). Pour résoudre f(t)=0, quel choix de forme permet de conclure rapidement ?

A. Remplacer t par la valeur de l’ordonnée à l’origine puis résoudre

B. Mettre la fonction sous forme canonique puis résoudre a(t−α)²+β=1

C. Développer complètement pour obtenir un polynôme de degré 2 à résoudre

D. Utiliser la forme factorisée pour résoudre t+1=0 ou 3−t=0

Answer: (D)

Explicação

Avec une forme factorisée, f(t)=0 se traite directement en annulant un facteur : t+1=0 ou 3−t=0. Développer ou passer par la forme canonique n’est pas l’approche la plus directe ici.

7. Si a > 0, comment la fonction du second degré varie-t-elle autour de α et quel extremum obtient-elle au sommet ?

A. Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

B. Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

C. Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

D. Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

Answer: (C)

Explicação

Quand a > 0, la courbe descend jusqu’à x = α puis remonte ; le sommet correspond donc à un minimum en x = α, de valeur β. L’option 2 inverse la nature de l’extrémum (minimum au lieu de maximum).

8. Si a < 0, quelle est la nature de l’extrémum au sommet et sur quels intervalles la fonction est-elle croissante puis décroissante ?

A. Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

B. Elle est décroissante sur ]−∞ ; α] puis croissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

C. Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un minimum égal à β en x = α

D. Elle est croissante sur ]−∞ ; α] puis décroissante sur [α ; +∞[ et admet un maximum égal à β en x = α

Answer: (D)

Explicação

Pour a < 0, la fonction monte jusqu’à x = α puis redescend : le sommet donne donc un maximum de valeur β en x = α. Les options 2 et 4 confondent la variation de part et d’autre de α, et l’option 3 confond minimum et maximum.

9. De quel élément dépend essentiellement le sens des variations d’un polynôme du second degré ?

A. Du signe de b

B. Du signe de son coefficient dominant a

C. Du signe de c

D. De la valeur de β

Answer: (B)

Explicação

Le sens des variations d’un polynôme du second degré est déterminé par le signe du coefficient dominant a. Les autres coefficients (b, c) ne fixent pas à eux seuls cette orientation des variations.

10. Quelle équation décrit la parabole correspondant à un polynôme du second degré f(x) = ax² + bx + c ?

A. y = ax² + bx + c

B. y = ax² + c

C. y = bx + c

D. x = ax² + bx + c

Answer: (A)

Explicação

La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole de l’équation y = ax² + bx + c. Les autres propositions remplacent à tort la variable x ou omettent des termes.

11. Le sommet d’une parabole a pour coordonnées S(α ; β). Quelle expression donne α ?

A. α = −b/(2a)

B. α = 2a/b

C. α = −b/a

D. α = b/(2a)

Answer: (A)

Explicação

On a α = −b/(2a) pour le sommet S(α ; β). Les distracteurs proposés inversent le signe ou modifient le facteur 2, ce qui déplace l’axe de symétrie.

12. Si deux nombres u et v ont la même image par f, où se situe l’axe de symétrie (en utilisant α) ?

A. x = u + v

B. y = (u + v)/2

C. x = (u + v)/2

D. y = u + v

Answer: (C)

Explicação

Si f(u) = f(v), alors l’axe de symétrie est situé à α = (u + v)/2, donc l’équation de l’axe est x = α. Les options en y confondent la variable de l’équation de l’axe (il s’agit de x, pas de y).