Ficha de revisão: Géométrie complexe : lieux et transformations

📋 Plan du Cours

1. Lignes de niveau et médiatrice
2. Cercle de diamètre et ensembles de points
3. Arguments et demi-droites dans le plan complexe
4. Configurations cocycliques et parallélisme
5. Homothétie, translation et rotation complexes
6. Reconnaître une transformation par son écriture
7. Nature des triangles via rapports complexes
8. Compositions de transformations et écritures complexes
9. Applications rationnelles et ensembles géométriques
10. Équations complexes et triangles équilatéraux
11. Résolution d’équations polynomiales complexes
12. Situations d’évaluation géométrie par complexes

📖 1. Lignes de niveau et médiatrice

🔑 Notions clés & Définitions

• Ligne de niveau : Une ligne de niveau est l’ensemble des points dont une grandeur associée à des affixes reste constante.
• Médiatrice du segment [AB] : La médiatrice du segment [AB] est la droite formée des points équidistants de A et B.
• Cercle de centre A : Un cercle de centre A est l’ensemble des points M tels que la distance AM soit constante.
• Cercle de diamètre [AB] : Le cercle de diamètre [AB] est le cercle dont [AB] est un diamètre, privé de A et B dans la caractérisation donnée.

📝 Points essentiels

• Si $|z-z_A|=r$ avec $r\in\mathbb{R}_+^*$, alors $M$ vérifie $AM=r$ et l’ensemble est le cercle de centre A et de rayon r.
• Si $|z-z_A|=\lambda|z-z_B|$ avec $\lambda\in\mathbb{R}_+^*$, alors $AM=\lambda\,BM$ et on obtient une famille de lieux selon la valeur de $\lambda$.
• Pour $\lambda=1$, l’ensemble des points vérifie $AM=BM$ et c’est la médiatrice du segment [AB].
• Pour $\lambda\neq 1$, l’ensemble est un cercle de diamètre $[G_1G_2]$ avec $G_1=\overline{(A;1),(B;\lambda)}$ et $G_2=\overline{(A;1),(B;-\lambda)}$.
• Si $\arg\left(\dfrac{z_B-z}{z_A-z}\right)\equiv 0\,[\pi]$, alors la droite (AB) privée de A et B est le lieu.
• Si $\arg\left(\dfrac{z_B-z}{z_A-z}\right)\equiv \dfrac{\pi}{2}\,[\pi]$, alors le cercle de diamètre [AB] privé de A et B est le lieu.

💡 Astuce mémo

Équidistance : $\lambda=1$ → médiatrice ; sinon $\lambda\neq1$ → cercle de diamètre $[G_1G_2]$.

📖 2. Cercle de diamètre et ensembles de points

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle de centre A : Ensemble des points M dont l’affixe z vérifie une distance fixe à un point A, soit |z−zA|=r.
• Médiatrice d’un segment : Ensemble des points M équidistants de deux points P et Q, soit |z−zP|=|z−zQ|.
• Cercle de diamètre : Ensemble des points M tels que le produit des distances à deux extrémités A et B vérifie une relation équivalente à une égalité de distances pondérées menant à un cercle de diamètre [HK].
• Argument d’un nombre complexe : Mesure angulaire d’un nombre complexe, définie modulo 2π, utilisée pour décrire des demi-droites.

📝 Points essentiels

• |z−2i|=3 équivaut à AM=3, donc l’ensemble est le cercle de centre A d’affixe 2i et de rayon 3.
• |z−(1−i)|=|z−(−1−3i)| équivaut à PM=QM, donc l’ensemble est la médiatrice du segment [PQ].
• Pour |z−1+i|=|z+1+3i|, on identifie P(1−i) et Q(−1−3i) puis on trace la médiatrice de [PQ].
• |2iz−3+2i|=|z−2| se transforme en 2|z−(−1−3/2 i)|=|z−2|, ce qui conduit à une condition de cercle de diamètre [HK].
• Avec H=bar{(A;1),(B;2)} et K=bar{(A;1),(B;−2)}, on obtient zH=−1 et zK=−4−3i, donc le cercle est de diamètre [HK].
• arg(z−1−i)≡π/6 [2π] équivaut à arg(z−(1+i))≡π/6 [2π], donc M est sur la demi-droite issue de A(1+i) privée de A.

💡 Astuce mémo

Distance→cercle (|z−zA|=r), égalité de distances→médiatrice, argument→demi-droite (arg(z−zA)=θ).

📖 3. Arguments et demi-droites dans le plan complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument d’un nombre complexe : L’argument d’un complexe est une mesure de l’angle, modulo $2\pi$, entre l’axe réel positif et le vecteur associé.
• Demi-droite issue de l’origine : Une demi-droite issue de $O$ est l’ensemble des points dont l’affixe s’écrit comme un réel positif multiplié par un complexe directeur.
• Parallélisme de droites en complexe : Deux droites sont parallèles si le quotient des différences d’affixes correspondantes est un réel non nul.
• Perpendicularité en complexe : Deux droites sont perpendiculaires si le quotient des différences d’affixes correspondantes est un imaginaire pur non nul ou si l’argument vaut $\frac{\pi}{2}$ modulo $\pi$.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre une condition de module du type $|z-a|=|z-b|$, on cherche l’ensemble des points équidistants des points d’affixes $a$ et $b$, donc une médiatrice.
• Pour une condition d’argument du type $\arg\left(\frac{z-a}{z-b}\right)\equiv \theta\,[\pi]$, on impose que les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ aient un angle fixé, ce qui décrit une demi-droite (

💡 Astuce mémo

Module → distance égale (médiatrice), Argument → angle fixé (demi-droite).

📖 4. Configurations cocycliques et parallélisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Rapport de différences d’affixes : Le rapport de deux différences d’affixes encode une information géométrique sur l’orientation et l’angle entre des segments.
• Parallélisme de droites : Deux droites sont parallèles quand elles ont la même direction, ce qui se traduit par un rapport réel non nul de leurs pentes complexes.
• Alignement de points : Trois points sont alignés quand leurs affixes vérifient une relation de colinéarité, détectée par un rapport réel non nul de différences.
• Perpendicularité de droites : Deux droites sont perpendiculaires quand le rapport de leurs pentes complexes est un imaginaire pur non nul.
• Cocyclicité de points : Quatre points sont cocycliques quand leurs affixes satisfont une condition équivalente à l’existence d’un cercle passant par eux.

📝 Points essentiels

• Si $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb R^*$ alors les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
• Si $\dfrac{z_B-z_I}{z_J-z_I}\in\mathbb R^*$ alors les points $J$, $I$ et $B$ sont alignés.
• Si $\dfrac{z_D-z_C}{z_K-z_O}\in i\mathbb R^*$ alors les droites $(OK)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
• Si $\dfrac{z_B-z_D}{z_B-z_J}\in i\mathbb R^*$ alors le triangle $JBD$ est rectangle en $B$.
• Si $\dfrac{z_D-z_C}{z_D-z_A}:\dfrac{z_B-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb R^*$ alors les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont cocycliques.
• Dans le corrigé, on obtient notamment $\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}=-2$ (réel non nul), $\dfrac{z_B-z_I}{z_J-z_I}=-1$ (réel non nul) et $\dfrac{z_D-z_C}{z_K-z_O}=\dfrac{4}{3}i$ (imaginaire pur non nul).

💡 Astuce mémo

Réel non nul ⇒ parallèle/aligné/cocyclique ; imaginaire pur non nul ⇒ perpendiculaire/angle droit.

📖 5. Homothétie, translation et rotation complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture complexe : L’écriture complexe d’une transformation est la relation entre $z$ (affixe du point de départ) et $z'$ (affixe du point image).
• Homothétie : Une homothétie de centre a9 et de rapport $k$ envoie chaque point $M$ sur $M'$ tel que a9M' = ka9M.
• Translation : Une translation de vecteur  d’affixe $b$ envoie chaque point $M$ sur $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'}$ soit égal au vecteur donné.
• Rotation : Une rotation de centre a9 et d’angle $\theta$ envoie chaque point $M$ sur $M'$ en conservant la distance à a9 et en tournant d’angle $\theta$.

📝 Points essentiels

• Homothétie de centre a9 d’affixe $\omega$ et de rapport $k\neq 0$ : $z'-\omega = k(z-\omega)$.
• Homothétie : forme développée $z' = k z + (1-k)\omega$.
• Translation de vecteur d’affixe $b$ : $z' = z + b$.
• Rotation de centre a9 d’affixe $\omega$ et d’angle $\theta$ : $z'-\omega = e^{i\theta}(z-\omega)$.
• Rotation : $e^{i\theta}$ multiplie le vecteur $z-\omega$ (même norme, argument augmenté de $\theta$).
• Exercice (1) : pour a9 d’affixe $-1-i$ et $k=3$, on obtient $z' = 3z + 2 + 2i$.

💡 Astuce mémo

Homothétie : $z'-\omega = k(z-\omega)$ (on “étire” autour de $\omega$) ; Translation : $z'=z+b$ (on “glisse”) ; Rotation : $z'-\omega = e^{i\theta}(z-\omega)$ (on “tourne” via $e^{i\theta}$).

📖 6. Reconnaître une transformation par son écriture

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture complexe affine : Transformation du plan décrite par $z' = az + b$ avec $a\in\mathbb C^*$ et $b\in\mathbb C$.
• Translation : Transformation affine où $a=1$, qui envoie $z$ vers $z+b$.
• Homothétie : Transformation affine où $a\in\mathbb R^*$, $a\neq 1$, qui multiplie les vecteurs par le facteur $a$ autour d’un centre.
• Rotation : Transformation affine où $|a|=1$ et $a\notin\mathbb R$, qui conserve les distances et tourne autour d’un centre.

📝 Points essentiels

• Si $z' = az + b$ avec $a\in\mathbb C^*$, alors $b$ est l’affixe du vecteur de translation quand $a=1$.
• Si $a\in\mathbb R^*$ et $a\neq 1$, alors la transformation est une homothétie de rapport $a$.
• Pour $z' = az + b$ avec $a\neq 1$, le centre a pour affixe $z_0=\dfrac{b}{1-a}$.
• Si $a\in\mathbb C\setminus\mathbb R$ et $|a|=1$, alors la transformation est une rotation d’angle $\operatorname{Arg}(a)$.
• Pour une rotation $z' = az + b$ avec $|a|=1$ et $a\notin\mathbb R$, le centre a pour affixe $z_0=\dfrac{b}{1-a}$ et l’angle vaut $\operatorname{Arg}(a)$.
• Comparaison : $a=1\Rightarrow$ translation ; $a\in\mathbb R^*, a\neq 1\Rightarrow$ homothétie ; $|a|=1, a\notin\mathbb R\Rightarrow$ rotation.

💡 Astuce mémo

Affixe $z' = az + b$ : $a$ dit la nature (1→translation, réel≠1→homothétie, module 1 non réel→rotation) et $z_0=b/(1-a)$ donne le centre.

📖 7. Nature des triangles via rapports complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixes : Les affixes sont les nombres complexes associés aux points du plan, permettant de traduire des géométries par des calculs algébriques.
• Alignement de points : L’alignement de points se vérifie en complexe en montrant que les affixes satisfont une relation traduisant l’existence d’une même droite.
• Triangle rectangle isocèle : Un triangle rectangle isocèle est un triangle ayant un angle droit et deux côtés égaux, ce qui se traduit par une condition sur les rapports d’affixes.
• Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux, caractérisé en complexe par une relation de rotation d’angle $\pi/3$ entre vecteurs.
• Cercle circonscrit : Le cercle circonscrit est le cercle passant par les trois sommets d’un triangle, dont on peut déterminer centre et rayon à partir des affixes.

📝 Points essentiels

• Pour prouver l’alignement, on utilise une condition sur les différences d’affixes (vecteurs) qui force l’existence d’une droite commune aux trois points.
• Si les affixes de $A,B,C$ sont données, la nature du triangle (rectangle isocèle en $A$) se démontre en établissant une relation de perpendicularité et d’égalité de longueurs via des rapports de différences.
• Pour montrer qu’un triangle est équilatéral, on démontre que les vecteurs complexes $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ont un rapport correspondant à une rotation de $\pi/3$ (ou $2\pi/3$) et une même norme.
• Dans l’exercice sur le cercle, on vérifie que les distances algébriques au centre complexe $\Omega$ sont constantes, ce qui prouve l’appartenance des points au même cercle.
• Pour un ensemble de quatre points, l’idée est de calculer le centre complexe et le rayon en imposant l’égalité des distances au centre, puis de conclure à la concyclicité.

💡 Astuce mémo

Alignement : même droite via différences d’affixes ; Rectangle/Équilatéral : rapports de différences donnent angles (perpendiculaire ou $\pi/3$) et égalités de normes ; Cercle : distances à un même centre complexe constantes.

📖 8. Compositions de transformations et écritures complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument d’un nombre complexe : L’argument d’un complexe est une mesure de l’angle orienté entre l’axe réel et le vecteur représentant le nombre sur le plan complexe.
• Affixe : Une affixe est le nombre complexe associé à un point du plan, qui encode sa position via ses parties réelle et imaginaire.
• Écriture complexe d’une transformation : Une écriture complexe décrit une transformation géométrique (rotation, homothétie, translation) par une formule sur les affixes.
• Rotation complexe : Une rotation est une transformation qui envoie chaque point sur un autre point obtenu par un pivot autour d’un centre, avec un angle fixé, traduite en formule sur les affixes.
• Homothétie complexe : Une homothétie est une transformation qui dilate ou contracte les distances à partir d’un centre, traduite par un rapport multiplicatif sur les affixes.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre arg(z+1 z−1)=π/2+2kπ, on impose que le quotient (z+1)/(z−1) soit de module quelconque mais d’argument π/2 modulo 2π.
• L’égalité arg(w)=π/2+2kπ équivaut à w=i·t avec t réel strictement positif ou négatif selon le k, donc w est un multiple réel de i.
• Pour une composée rotation puis homothétie, l’écriture complexe s’obtient en remplaçant successivement l’affixe par l’expression de la première transformation dans celle de la seconde.
• Pour une rotation de centre d’affixe $z_0$ et d’angle $\theta$, l’affixe image $z'$ s’écrit sous la forme $z' = z_0 + e^{i\theta}(z-z_0)$.
• Pour une homothétie de centre d’affixe $\omega$ et de rapport $k$, l’affixe image $z'$ s’écrit $z' = \omega + k(z-\omega)$.
• Dans l’exercice 15, la transformation F est la composée d’une rotation (centre $2i$, angle $\pi/4$) puis d’une homothétie (centre $1+2i$, rapport $3/2$).

💡 Astuce mémo

Argument : « arg = angle » ; rotation : « centre + facteur e^{iθ} » ; homothétie : « centre + rapport·(z-centre) ».

📖 9. Applications rationnelles et ensembles géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Rotation de centre Ω : Transformation du plan complexe qui envoie chaque point sur un autre point obtenu par un pivot autour de Ω d’un angle donné.
• Translation de vecteur w : Transformation du plan complexe qui ajoute à chaque affixe le vecteur d’affixe w pour obtenir l’image correspondante.
• Homothétie de centre C : Transformation du plan complexe qui envoie un point d’affixe z sur un point d’affixe z’ tel que z’−z_C soit multiplié par un rapport donné.
• Rotation de centre A : Rotation du plan complexe autour du point d’affixe z_A, caractérisée par un angle (ici −π/2) et appliquée aux affixes des points.
• Argument d’un quotient complexe : Fonction qui associe à un complexe non nul l’angle modulo 2π de son vecteur dans le plan complexe.

📝 Points essentiels

• Si une équation du type 𝑧 + 8 − 4𝑖 = 0 est donnée, on isole 𝑧 pour obtenir directement sa solution complexe puis on vérifie la condition de réalité.
• Pour la rotation r d’angle π/2 et de centre d’affixe i, l’image de A s’obtient en appliquant le pivot autour de Ω : on travaille avec les différences z−i puis on revient à l’affixe.
• Le point D, antécédent de C par r, est l’image de C par la rotation inverse (angle opposé) autour du même centre Ω.
• Les affixes des points A, B, C et D obtenus par une rotation d’angle π/2 vérifient une relation de concyclicité : on détermine centre et rayon en exploitant les égalités de distances complexes.
• Le quadrilatère ADBC est un trapèze isocèle : on démontre l’égalité des longueurs des côtés non parallèles et l’existence d’une paire de côtés parallèles via les affixes.
• Dans l’exercice 19, résoudre 4z^2−12z+153=0 revient à calculer le discriminant Δ et à donner les deux solutions complexes correspondantes (réelles ou non).

💡 Astuce mémo

Rotation : on pivote les vecteurs z−Ω (pas les points), puis on “recolle” le centre Ω.

📖 10. Équations complexes et triangles équilatéraux

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : L’affixe d’un point est le nombre complexe qui code ses coordonnées dans le repère du plan complexe.
• Symétrie par rapport à (OI) : La symétrie par rapport à la droite (OI) transforme l’affixe en son conjugué selon la convention du repère orthonormé direct.
• Symétrie par rapport à (OJ) : La symétrie par rapport à la droite (OJ) transforme l’affixe en un nombre complexe obtenu par changement de signe de la partie réelle selon le repère.
• Rotation de centre O : Une rotation de centre O et d’angle θ envoie l’affixe z sur z·e^{iθ}.
• Homothétie de centre A : Une homothétie de centre A et de rapport k envoie un point d’affixe z sur A + k(z−A).

📝 Points essentiels

• Si F a pour affixe z_F=1−i, alors l’image par symétrie par rapport à (OI) a pour affixe z=conjugué de z_F.
• Si F a pour affixe z_F=1−i, alors l’image par symétrie par rapport à (OJ) a pour affixe z=−conjugué de z_F.
• Si F a pour affixe z_F=1−i, alors l’image par symétrie par rapport au point O a pour affixe z=−z_F.
• Si F a pour affixe z_F=1−i, alors l’image par symétrie par rapport au point B d’affixe 1+i a pour affixe z=2(1+i)−z_F.
• Pour la rotation r de centre O et d’angle 2π/3, son écriture complexe est z’=z·e^{i2π/3}.
• Si B a pour affixe e^{−i5π/6}, alors l’affixe de C (image de B par r) vaut e^{−iπ/6}.

💡 Astuce mémo

Conjugué pour (OI), signe de la partie réelle pour (OJ), opposé pour O : (OI)→z̄, (OJ)→−z̄, O→−z.

📖 11. Résolution d’équations polynomiales complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Homothétie de centre A : Transformation qui envoie un cercle sur un autre cercle en conservant les directions et en multipliant les distances au centre par un même facteur.
• Rotation d’angle π/2 : Transformation qui associe à chaque point un point tel que l’angle orienté entre les vecteurs soit π/2 et que les distances au centre soient conservées.
• Symétrie centrale de centre J : Transformation qui envoie chaque point sur le point diamétralement opposé par rapport au centre J.
• Transformation fractionnaire z’ = (−iz−2)/(z+1) : Application complexe définie par une formule rationnelle qui exclut les valeurs rendant le dénominateur nul.
• Ellipse (Γ) : Lieu des points dont la relation entre une distance à l’origine et une distance à une droite fixe se traduit par une équation du second degré.

📝 Points essentiels

• Écrire l’homothétie h de centre A qui transforme un cercle (𝒞) en un cercle (𝒞’) revient à déterminer son facteur à partir des images de points du cercle.
• Le centre de (𝒞’) s’obtient en appliquant l’homothétie au centre de (𝒞), puis en calculant son affixe.
• Construire (𝒞’) se fait en utilisant l’homothétie : on choisit au moins deux points de (𝒞), on calcule leurs images, puis on trace le cercle passant par ces images.
• Pour la rotation r d’angle π/2 et de centre d’affixe i, l’écriture complexe s’écrit sous la forme z’ = i z + (constante) après mise en forme avec le centre.
• Justifier que B est l’image de A par r consiste à vérifier que leurs affixes vérifient la relation de la rotation.
• Justifier que D est l’antécédent de A par r revient à résoudre l’équation de la rotation pour z quand z’ correspond à l’affixe de A, puis à identifier le point obtenu avec D.

💡 Astuce mémo

Rotation π/2 : multiplier par i (puis corriger avec le centre) ; Homothétie : centre fixe + facteur multiplicatif sur les distances.

📖 12. Situations d’évaluation géométrie par complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument d’un complexe : L’argument d’un complexe est l’angle (modulo $2\pi$) entre l’axe réel positif et le vecteur associé au complexe.
• Cercle d’affixes de module constant : L’ensemble des points dont l’affixe $z$ vérifie $|z|=R$ est un cercle de centre l’origine et de rayon $R$.
• Barycentre en complexes : Le barycentre de points pondérés a pour affixe la moyenne pondérée des affixes, divisée par la somme des coefficients.
• Équation de cercle en complexes : Une condition du type $|z-a|=R$ décrit un cercle de centre $a$ et de rayon $R$ dans le plan complexe.
• Équation du second degré en complexes : Résoudre une équation en $z$ revient à trouver ses racines complexes, puis à exploiter leurs propriétés géométriques via leurs affixes.

📝 Points essentiels

• Si $z\neq 0$, la condition $\Arg(z)\equiv \frac{\pi}{2}[2\pi]$ décrit une demi-droite issue de l’origine, correspondant aux complexes de la forme $z=it$ avec $t\in\mathbb{R}$ (et $t\neq 0$ si on exclut l’origine).
• La condition $|z|=2$ décrit le cercle de centre $0$ et de rayon $2$.
• L’intersection de la demi-droite $\Arg(z)\equiv \frac{\pi}{2}[2\pi]$ avec le cercle $|z|=2$ donne un unique point, dont l’affixe est $z=2i$.
• Pour le barycentre $G$ de $(A,1)$, $(B,-1)$ et $(C,1)$, l’affixe vaut $g=\dfrac{a-b+c}{1-1+1}=a-b+c$.
• Avec $a=-1+i$, $b=-1-i$ et $c=2i$, on obtient $g=(-1+i)-(-1-i)+2i=2+4i$, donc $G$ a pour affixe $2+4i$.
• Pour l’ensemble $(\Gamma)$ défini par $\|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|=\|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\|$, on peut vérifier que $B$ appartient à $(\Gamma)$,

💡 Astuce mémo

Arg = direction (angle) ; |z| = distance à l’origine (rayon) ; barycentre = moyenne pondérée ; cercle = distance constante ; équation = racines = affixes.

📊 Tableaux de synthèse

Lieux selon une condition complexe

Condition sur z	Ensemble géométrique	Interprétation
|z−zA|=r (r∈ℝ+*)	Cercle de centre A, rayon r	Distance constante
|z−zA|=λ|z−zB| (λ∈ℝ+*)	Médiatrice si λ=1 ; cercle de diamètre [G1G2] si λ≠1	Équidistance pondérée
arg((zB−z)/(zA−z))≡0 [π]	Droite (AB) privée de A et B	Angle nul (alignement)
arg((zB−z)/(zA−z))≡π/2 [π]	Cercle de diamètre [AB] privé de A et B	Angle droit (cercle de diamètre)
arg(z−zA)≡α [2π]	Demi-droite de repère (A,u) privée de A	Direction fixée

Nature d’une transformation affine z’=az+b

Critère sur a	Transformation	Éléments caractéristiques
a=1	Translation	Vecteur d’affixe b
a∈ℝ* et a≠1	Homothétie	Centre d’affixe z0=b/(1−a), rapport a
a∈ℂ\ℝ et |a|=1	Rotation	Centre d’affixe z0=b/(1−a), angle Arg(a)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre |z−zA|=r (cercle) avec |z−zA|=|z−zB| (médiatrice) : le premier fixe une distance à un point, le second impose une égalité de distances à deux points.
2. Prendre λ≠1 pour une médiatrice : dans le cours, |z−zA|=λ|z−zB| donne une médiatrice seulement si λ=1, sinon un cercle de diamètre [G1G2].
3. Mélanger les modules et les arguments : arg(...) fixe une direction/angle (droite ou demi-droite), tandis que |...| fixe une distance (cercle).
4. Oublier les exclusions « privée de A et B » dans les lieux obtenus par arg((zB−z)/(zA−z))≡0 [π] ou ≡π/2 [π].
5. Se tromper de période d’argument : arg(z−zA)≡α [π] ne donne pas la même information que arg(z−zA)≡α [2π] (droite vs demi-droite).
6. Dans z’=az+b, oublier que le centre vaut z0=b/(1−a) dès que a≠1 ; on ne peut pas déduire le centre sans cette formule.
7. Pour les triangles, confondre les conditions de perpendicularité (rapport imaginaire pur) et d’angle π/3 (équilatéral) : les rapports d’affixes ne jouent pas le même rôle selon la valeur imposée.

✅ Checklist Examen

1. Déterminer le lieu de M d’affixe z vérifiant |z−zA|=r et le construire comme cercle de centre A et rayon r.
2. Déterminer le lieu de M vérifiant |z−zA|=λ|z−zB| : médiatrice si λ=1, sinon cercle de diamètre [G1G2] avec G1=bar{(A;1),(B;λ)} et G2=bar{(A;1),(B;−λ)}.
3. Utiliser arg((zB−z)/(zA−z))≡0 [π] pour conclure que M est sur la droite (AB) privée de A et B.
4. Utiliser arg((zB−z)/(zA−z))≡π/2 [π] pour conclure que M est sur le cercle de diamètre [AB] privé de A et B.
5. Transformer une condition d’argument arg(z−zA)≡α [2π] en demi-droite de repère (A,u) privée de A, puis relier α à mes(e1,û).
6. Pour des conditions de module du type |z−a|=|z−b|, identifier les points d’affixes a et b et conclure médiatrice ; pour |z−a|=r, conclure cercle.
7. Reconnaître alignement/parallélisme/perpendicularité/cocyclicité via les rapports de différences d’affixes : réel non nul pour parallèle/aligné/cocyclique, imaginaire pur non nul pour perpendiculaire/angle droit.
8. Reconnaître la nature d’un triangle isocèle/rectangle/équilatéral à partir du rapport (zC−zA)/(zB−zA) : e^{±iα} avec α=π/3 ou π/2 ou i/−i selon le cas.
9. Savoir écrire et exploiter les transformations usuelles : homothétie z’−ω=k(z−ω), translation z’=z+b, rotation z’−ω=e^{iθ}(z−ω).
10. À partir d’une écriture affine z’=az+b, déterminer la nature (translation/homothétie/rotation) et calculer le centre z0=b/(1−a) quand a≠1.
11. Résoudre des équations complexes en lien avec géométrie : interpréter les racines/transformations (rotation π/2, homothétie) pour obtenir des points images/antécédents et conclure à des propriétés (parallélogramme, trapè
12. Démontrer des propriétés géométriques par complexes : parallélogramme via égalité de vecteurs (différences d’affixes), trapèze isocèle via longueurs/rapports, cocyclicité via condition de rapports.
13. Utiliser barycentre et équation de cercle : affixe du barycentre g=(a−b+c)/(1−1+1) et cercle via |z−a|=R, puis construire l’ensemble demandé (demi-droite, cercle, ellipse selon la relation donnée).