Ficha de revisão: Introduction à l'Intégrale de Riemann

📋 Plan du Cours

1. Intégrale définie en analyse
2. Propriétés de l'intégrale
3. Théorie de Riemann
4. Calcul d'aires par intégration
5. Fonctions continues et bornées
6. Intégrale de fonctions négatives
7. Relation de Chasles
8. Linéarité de l'intégrale
9. Signe et positivité
10. Intégrale nulle et fonction nulle
11. Découpage en sous-intervalles
12. Exemples d'intégration sans primitives

📖 1. Intégrale définie en analyse

🔑 Notions clés & Définitions

• Introduction historique : Les intégrales apparaissent initialement pour calculer des aires et des volumes non élémentaires, en réponse à des besoins pratiques en géométrie et en sciences.
• Lien entre intégration et primitives : Selon Leibniz et Newton (fin du XVIIème siècle), l’intégration peut s’apparenter à l’opération inverse de la dérivation, en utilisant la notion de primitive (fonction dont la dérivée est donnée).
• Notion d’intégrale comme limite de sommes de Riemann : La définition moderne de l’intégrale repose sur la limite, lorsque la subdivision de l’intervalle tend vers zéro, de sommes de Riemann, qui sont des sommes de produits de la valeur de la fonction par la largeur des sous-intervalles.
• Objectifs de la séquence : Définir et établir les propriétés de l’intégrale pour une fonction continue sur un intervalle, en pratique, par la limite de sommes de Riemann, sans recourir à la primitive.
• Intégrale selon Riemann : La limite de la somme des produits de la valeur de la fonction en certains points par la largeur des sous-intervalles, lorsque cette largeur tend vers zéro, constitue l’intégrale définie, représentant l’aire du domaine entre la courbe et l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

• La notion d’intégrale a été introduite pour calculer des aires et des volumes non élémentaires, en réponse à des besoins géométriques et scientifiques.
• Leibniz (fin XVIIème siècle) et Newton ont établi que l’intégration est reliée à la dérivation via la notion de primitives, permettant de relier l’opération d’intégration à celle de dérivation.
• La définition moderne de l’intégrale repose sur la limite de sommes de Riemann : en subdivisant l’intervalle en n parties de largeur ℎ, la somme des produits de la valeur de la fonction en certains points par ℎ tend vers une valeur limite lorsque n tend vers l’infini et ℎ vers zéro.
• La limite de ces sommes, lorsque la subdivision devient infiniment fine, donne l’aire du domaine sous la courbe, si la fonction est continue et positive.
• La variable d’intégration est dite "muette" (notée 𝑥), ce qui signifie que son nom n’affecte pas le résultat de l’intégrale.
• La définition de l’intégrale selon Riemann est formalisée par :
  $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \, \Delta x$ où $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ et $x_k$ appartient à chaque sous-intervalle.

💡 À retenir

L’intégrale définie, née de l’étude des aires, est formalisée par la limite de sommes de Riemann, établissant un lien fondamental avec la primitive, tout en permettant de calculer géométriquement l’aire sous une courbe continue.

📖 2. Propriétés de l'intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de positivité : Si pour tout $x \in [a, b]$, $f(x) \geq 0$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$. Cette propriété découle directement de la définition de l’intégrale de Riemann, où l’intégrale représente l’aire sous la courbe, toujours positive ou nulle si la fonction est positive ou nulle (source : C. Chauvet).

• Inégalité triangulaire pour l’intégrale : Pour toute fonction continue $f$ sur $[a, b]$, on a $\left| \int_a^b f(x) dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| dx$. Cette inégalité, prouvée par la positivité de l’intégrale de la valeur absolue, indique que l’intégrale de la valeur absolue d’une fonction est une majoration de l’intégrale de la fonction elle-même (source : C. Chauvet).

• Inégalité de la moyenne pour une fonction bornée : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et admet des bornes $m \leq f(x) \leq M$, alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b - a)$. Elle exprime que l’intégrale est comprise entre la valeur minimale et maximale de la fonction, multipliée par la longueur de l’intervalle (source : O. Daniel).

• Intégrale d’une fonction constante sur un intervalle : Si $f(x) = k$ pour tout $x \in [a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx = k(b - a)$. La propriété reflète que l’intégrale d’une constante est le produit de cette constante par la longueur de l’intervalle (source : C. Chauvet).

📝 Points essentiels

• La positivité de l’intégrale repose sur la fonction étant positive ou nulle sur l’intervalle, ce qui correspond à une aire positive ou nulle, conformément à la définition géométrique de l’intégrale (source : C. Chauvet).

• La relation d’inégalité triangulaire est fondamentale pour comparer l’intégrale d’une fonction à celle de sa valeur absolue, permettant notamment d’évaluer la magnitude de l’intégrale indépendamment du signe de la fonction (source : C. Chauvet).

• L’inégalité de la moyenne garantit que l’intégrale d’une fonction bornée reste comprise entre ses bornes extrêmes, ce qui est essentiel pour encadrer l’intégrale sans calculs explicites de primitives (source : O. Daniel).

• La propriété de l’intégrale d’une constante facilite le calcul direct d’intégrales simples et sert de référence pour l’intégration de fonctions plus complexes par décomposition (source : C. Chauvet).

💡 À retenir

L’intégrale d’une fonction est toujours positive ou nulle si la fonction est positive, et ses valeurs sont encadrées par ses bornes extrêmes lorsque la fonction est bornée. La propriété de linéarité permet de décomposer l’intégrale en sommes ou en multiples, simplifiant ainsi le calcul sans primitives.

📖 3. Théorie de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de l’intégrale selon Riemann : L’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b] est la limite, lorsque la largeur des sous-intervalles tend vers zéro, des sommes de Riemann formées en multipliant la valeur de la fonction en un point de chaque sous-intervalle par la longueur de celui-ci. Formellement,
  $\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k) \, \Delta x$ où $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ et $x_k = a + k \Delta x$.

• Subdivision de l’intervalle en sous-intervalles égaux : La division de l’intervalle [a, b] en n segments de même longueur $\Delta x = \frac{b - a}{n}$, avec pour points de subdivision $x_k = a + k \Delta x$ pour $k = 0, 1, ..., n$.

• Limite des sommes de Riemann avec largeur de sous-intervalles tendant vers zéro : La limite, lorsque $n \to +\infty$, des sommes de Riemann associées à la subdivision, lorsque la largeur $\Delta x$ devient infiniment petite, permettant de définir l’intégrale comme une aire ou une somme infinie de quantités infinitésimales.

• Variable d’intégration muette : La variable $x$ dans l’expression de l’intégrale est dite "muette" car son choix n’affecte pas le résultat final. La notation $\int_a^b f(x) \, dx$ peut être remplacée par $\int_a^b f(t) \, dt$ ou toute autre lettre, sans changer la valeur de l’intégrale. Elle indique simplement la variable d’intégration.

📝 Points essentiels

• La définition de l’intégrale selon Riemann repose sur la limite des sommes de Riemann, qui sont formées en multipliant la valeur de la fonction en un point choisi dans chaque sous-intervalle par la longueur de celui-ci. La limite de ces sommes, lorsque la subdivision devient infiniment fine ($\Delta x \to 0$), donne la valeur de l’intégrale.

• La subdivision en sous-intervalles égaux facilite la construction des sommes de Riemann, mais l’intégrale peut aussi être définie avec des subdivisions irrégulières, à condition que la largeur maximale des sous-intervalles tende vers zéro.

• La variable d’intégration est "muette" : son nom n’affecte pas le résultat, ce qui permet de changer la lettre dans la notation sans modifier la valeur de l’intégrale.

• La limite des sommes de Riemann existe si la fonction est continue sur [a, b], ce qui garantit l’existence de l’intégrale selon Riemann.

💡 À retenir

L’intégrale de Riemann est définie comme la limite des sommes de Riemann lorsque la largeur des sous-intervalles tend vers zéro, la variable d’intégration étant "muette", ce qui permet de mesurer une aire ou une grandeur accumulée sous une courbe.

📖 4. Calcul d'aires par intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul d’aire par intégration : méthode consistant à déterminer l’aire d’un domaine compris entre une courbe et l’axe des abscisses en utilisant l’intégrale (source : O. DANIEL).
• Interprétation géométrique de l’intégrale : l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle représente l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses, et les droites aux bornes de l’intervalle (source : O. DANIEL).
• Aire d’un domaine simple (trapèze, rectangle) : pour un domaine géométrique simple, l’aire peut être calculée directement par des formules classiques, ou via l’intégrale si le domaine est délimité par une courbe (source : source générale).
• Lien entre intégrale et aire pour fonctions positives : si une fonction continue et positive est intégrée sur un intervalle, l’intégrale correspond à l’aire du domaine entre la courbe et l’axe des abscisses, ce qui justifie l’interprétation géométrique (source : O. DANIEL).
• Intégrale comme limite de sommes d’aires de rectangles : la définition de l’intégrale selon Riemann établit que l’intégrale est la limite, lorsque la subdivision devient infiniment fine, de la somme des aires de rectangles de hauteur f(x) (source : source historique).

📝 Points essentiels

• La méthode de calcul d’aire par intégration repose sur la subdivision de l’intervalle en n segments de longueur h, puis sur la somme des aires des rectangles de hauteur f(x_k) et de largeur h, avec h tendant vers zéro (source : S. Le Méteil).
• La limite de cette somme, lorsque n tend vers l’infini, définit l’intégrale de Riemann, qui représente précisément l’aire du domaine délimité par la courbe et l’axe des abscisses (source : S. Le Méteil).
• Pour une fonction positive continue sur [a, b], l’intégrale est toujours positive et correspond à l’aire du domaine entre la courbe et l’axe des abscisses (source : O. DANIEL).
• La relation de Chasles pour l’intégrale permet de découper l’aire en sous-domaines, puis de recomposer l’aire totale par la somme des intégrales sur chaque sous-intervalle (source : C. Chauvet).
• La linéarité de l’intégrale garantit que l’intégrale d’une somme de fonctions est la somme des intégrales, facilitant le calcul d’aires pour des domaines délimités par plusieurs courbes ou morceaux de courbes (source : O. DANIEL).

💡 À retenir

L’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle représente géométriquement l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses, et les bornes de l’intervalle, ce qui permet de calculer des aires sans recours aux primitives.

📖 5. Fonctions continues et bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypothèse de continuité et bornitude sur un intervalle fermé : Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$, alors elle est bornée sur cet intervalle, c’est-à-dire qu’il existe deux réels $m, M$ tels que pour tout $x \in [a, b]$, $m \leq f(x) \leq M$.
• Lien entre continuité et existence de l’intégrale (référence implicite) : La continuité sur un intervalle fermé garantit l’existence de l’intégrale de Riemann de la fonction sur cet intervalle, comme le souligne le contexte historique de Leibniz et Newton (fin XVIIe siècle).
• Fonctions continues positives, négatives ou de signe quelconque :
  • Si $f$ est continue et $f(x) \geq 0$ pour tout $x \in [a, b]$, alors son intégrale est positive ou nulle, selon la positivité de la fonction (voir propriété de positivité).
  • Si $f$ est continue et $f(x) \leq 0$, alors son intégrale est négative ou nulle.
  • Si $f$ change de signe, on décompose $f$ en deux fonctions $f^+$ et $f^-$ (voir définition ci-dessous).
• Définition des fonctions $f^+$ et $f^-$ :
  • $f^+(x) = \max(f(x), 0)$, la partie positive de $f$.
  • $f^-(x) = \min(f(x), 0)$, la partie négative de $f$.
    Ces décompositions permettent d’établir que $f(x) = f^+(x) + f^-(x)$, où $f^+$ est positive ou nulle, et $f^-$ négative ou nulle, toutes deux continues si $f$ l’est.

📝 Points essentiels

• La continuité sur un intervalle fermé $[a, b]$ implique la bornitude de la fonction (source implicite).
• La théorie de Leibniz et Newton (fin XVIIe siècle) établit que pour une fonction continue sur $[a, b]$, l’intégrale de Riemann existe et correspond à l’aire sous la courbe (voir contexte historique).
• La décomposition $f = f^+ + f^-$ permet de traiter séparément la contribution positive et négative de $f$ à l’intégrale, ce qui est utile pour analyser le signe de l’intégrale (voir définition).
• La propriété de continuité assure que $f^+$ et $f^-$ sont également continues, et donc intégrables sur $[a, b]$.

💡 À retenir

Une fonction continue sur un intervalle fermé est bornée et possède une intégrale de Riemann, et sa décomposition en parties positives et négatives facilite l’analyse du signe de cette intégrale.

📖 6. Intégrale de fonctions négatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction négative : Fonction continue sur un intervalle fermé [a, b] dont la courbe représentative est en dessous de l’axe des abscisses, c’est-à-dire que pour tout x dans [a, b], f(x) ≤ 0. (C. Chauvet)

• Traitement de la fonction négative : L’intégrale d’une fonction négative sur [a, b] est définie comme l’opposé de l’intégrale de sa valeur absolue, soit :
  $\int_a^b f(x) \, dx = - \int_a^b |f(x)| \, dx$
  (C. Chauvet)

• Interprétation géométrique : L’intégrale d’une fonction négative correspond à l’opposé de l’aire du domaine délimité par la courbe de la fonction, l’axe des abscisses, et les droites x = a et x = b. Autrement dit, elle représente l’opposé de l’aire du domaine en dessous de l’axe. (C. Chauvet)

• Exemple d’intégrale affine négative : Pour une fonction affine négative sur [a, b], par exemple $f(x) = -\frac{1}{4}x - 1$, l’intégrale est calculée en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, ce qui donne une valeur négative correspondant à l’opposé de l’aire du domaine. (C. Chauvet)

• Lien avec la fonction symétrique positive : La courbe de la fonction négative f(x) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses de la courbe de la fonction positive |f(x)|. L’intégrale de f(x) est alors l’opposé de l’intégrale de cette fonction symétrique positive. (C. Chauvet)

📝 Points essentiels

• Lorsqu’une fonction est continue et négative sur [a, b], son intégrale est négative, car elle compte l’aire du domaine en dessous de l’axe, mais avec un signe négatif.
• La définition formelle de l’intégrale d’une fonction négative repose sur la valeur absolue :
  $\int_a^b f(x) \, dx = - \int_a^b |f(x)| \, dx$
• La courbe représentative de la fonction négative est symétrique par rapport à celle de la fonction positive |f(x)|, ce qui permet d’interpréter l’intégrale négative comme l’opposé de l’aire du domaine délimité par cette courbe et l’axe des abscisses.
• La méthode de calcul d’une intégrale d’une fonction affine négative peut s’appuyer sur la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, notamment pour simplifier le calcul sans primitives.
• La valeur de l’intégrale d’une fonction négative est toujours inférieure ou égale à zéro, sauf si la fonction est nulle, auquel cas l’intégrale est nulle.

💡 À retenir

L’intégrale d’une fonction négative sur un intervalle est l’opposé de l’aire du domaine délimité par cette fonction et l’axe des abscisses, ce qui permet d’interpréter géométriquement cette intégrale comme une mesure négative de cette aire.

📖 7. Relation de Chasles

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de Chasles (additivité de l’intégrale) : Pour une fonction continue sur un intervalle [a, c], si a ≤ b ≤ c, alors l’intégrale de f sur [a, c] se décompose en la somme des intégrales sur [a, b] et [b, c], c’est-à-dire :

  $\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx$

  Source : C. Chauvet

• Propriété fondamentale de découpage : Lorsqu’on divise un domaine d’intégration en sous-domaines contigus, l’intégrale totale est la somme des intégrales sur chaque sous-domaine, même si les bornes ne sont pas ordonnées dans l’ordre croissant, en tenant compte du signe de la fonction (positive ou négative).

• Additivité sur des sous-intervalles : Si la fonction est continue sur [a, c], alors pour tout point b entre a et c, l’intégrale sur [a, c] est la somme des intégrales sur [a, b] et [b, c], en tenant compte du signe de la fonction si elle change de signe.

📝 Points essentiels

• La relation de Chasles repose sur la propriété d’additivité de l’intégrale, qui découpe un domaine en sous-domaines et additionne leurs aires (ou leurs opposées si la fonction est négative).
• Elle permet de simplifier le calcul d’intégrales complexes en les décomposant en intégrales plus simples sur des sous-intervalles.
• La relation reste valable même si les bornes ne sont pas dans l’ordre croissant, en utilisant la propriété que $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx$ si $a > b$.
• Elle est essentielle pour la démonstration de la linéarité et pour la pratique du découpage en morceaux pour l’intégration sans primitives.

Source : C. Chauvet

💡 À retenir

La relation de Chasles établit que l’intégrale sur un intervalle peut être décomposée en la somme des intégrales sur des sous-intervalles contigus, ce qui facilite le calcul et la compréhension de l’intégrale en tant qu’aire additive.

📖 8. Linéarité de l'intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Additivité (relation de Chasles) : Si 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 𝑐 et que 𝑓 est continue sur [𝑎, 𝑐], alors
  $\int_{a}^{c} 𝑓(x) \, dx = \int_{a}^{b} 𝑓(x) \, dx + \int_{b}^{c} 𝑓(x) \, dx$
  (source : C. Chauvet). Cette propriété permet de découper l’intégrale en sous-domaines et de sommer les résultats.

• Homogénéité (multiplication par une constante) : Pour tout réel λ et toute fonction continue 𝑓 sur [𝑎, 𝑏],
  $\int_{a}^{b} λ 𝑓(x) \, dx = λ \int_{a}^{b} 𝑓(x) \, dx$
  (source : C. Chauvet). La constante factorisée hors de l’intégrale.

• Linéarité (somme de fonctions) : Si 𝑓 et 𝑔 sont continues sur [𝑎, 𝑏], alors
  $\int_{a}^{b} (𝑓(x) + 𝑔(x)) \, dx = \int_{a}^{b} 𝑓(x) \, dx + \int_{a}^{b} 𝑔(x) \, dx$
  (source : C. Chauvet). La propriété de l’intégrale qui permet de décomposer l’intégrale d’une somme en somme d’intégrales.

• Propriété de la constante (pour une fonction constante) : Si 𝑓(x) = 𝑘, une constante, alors
  $\int_{a}^{b} 𝑘 \, dx = 𝑘 (b - a)$
  (source : C. Chauvet). L’intégrale d’une fonction constante sur [𝑎, 𝑏] est le produit de cette constante par la longueur de l’intervalle.

📝 Points essentiels

• La linéarité de l’intégrale repose sur deux propriétés fondamentales : l’additivité (relation de Chasles) et l’homogénéité (multiplication par une constante factorisée hors de l’intégrale).
• La propriété d’additivité permet de décomposer une intégrale sur un grand intervalle en somme d’intégrales sur des sous-intervalles, ce qui facilite le calcul et la compréhension géométrique.
• La multiplication par une constante montre que l’intégrale est une opération linéaire, ce qui est essentiel pour manipuler des expressions intégrales dans les démonstrations et calculs.
• La linéarité est valable même si la fonction change de signe, en ajustant le signe devant la somme selon le cas.
• Ces propriétés sont fondamentales pour la manipulation algébrique des intégrales, notamment dans le contexte de combinaisons linéaires de fonctions.

💡 À retenir

L’intégrale est une opération linéaire, ce qui signifie qu’elle respecte la somme et la multiplication par une constante, permettant de décomposer et de manipuler facilement des expressions intégrales.

📖 9. Signe et positivité

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété de positivité de l’intégrale : Si une fonction $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ et $f(x) \geq 0$ pour tout $x$, alors son intégrale de Riemann est positive ou nulle, c’est-à-dire $\int_a^b f(x) dx \geq 0$. (source : C. Chauvet)

• Signe de l’intégrale selon le signe de la fonction : L’intégrale d’une fonction continue et positive sur $[a, b]$ est positive, celle d’une fonction négative est négative, et si la fonction ne change pas de signe, l’intégrale est de même signe ou nulle. (source : C. Chauvet)

• Exemples et contre-exemples de réciproques : La réciproque de la propriété de positivité n’est pas toujours vraie. Par exemple, une fonction peut avoir une intégrale nulle sans être nulle partout (ex : sinus sur un intervalle symétrique). (source : C. Chauvet)

• Intégrale nulle : Si une fonction $f$ est continue sur $[a, b]$ et $f(x) = 0$ pour tout $x$, alors $\int_a^b f(x) dx = 0$. La réciproque est fausse si la fonction ne change pas de signe mais n’est pas nulle partout (ex : sinus sur un intervalle symétrique). (source : C. Chauvet)

• Signe de l’intégrale d’une fonction de signe quelconque : Pour une fonction continue $f$ de signe quelconque, l’intégrale est la différence entre l’aire du domaine au-dessus de l’axe (fonction positive) et celle en dessous (fonction négative). (source : C. Chauvet)

📝 Points essentiels

• La positivité de l’intégrale est assurée si la fonction est positive sur $[a, b]$. La propriété de positivité (source : C. Chauvet) ne garantit pas la réciproque : une intégrale nulle ne signifie pas nécessairement que la fonction est nulle partout, mais seulement que l’aire positive et négative se compensent.

• La propriété de signe de l’intégrale dépend du signe de la fonction : si $f(x) \geq 0$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$. Si $f(x) \leq 0$, alors l’intégrale est négative ou nulle.

• La relation entre le signe de la fonction et celui de l’intégrale est fondamentale pour l’interprétation géométrique : l’intégrale d’une fonction positive correspond à une aire positive, celle d’une fonction négative à une aire négative (source : C. Chauvet).

• La réciproque de la positivité n’est pas toujours vraie : une intégrale nulle peut résulter d’une fonction non nulle mais symétrique par rapport à l’axe des abscisses, ou d’une fonction changeant de signe.

• La propriété de l’intégrale nulle implique que si une fonction est de signe constant et continue, alors elle est nulle si et seulement si son intégrale est nulle (source : C. Chauvet).

💡 À retenir

L’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle est positive si la fonction est positive, négative si elle est négative, et nulle si la fonction est nulle ou si ses aires positives et négatives se compensent. La relation entre signe de la fonction et signe de l’intégrale est fondamentale, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.

📖 10. Intégrale nulle et fonction nulle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale nulle : Si une fonction continue $f$ de signe constant sur un intervalle $[a, b]$ satisfait $\int_a^b f(x) dx = 0$, alors cette fonction est nécessairement la fonction nulle (c’est-à-dire $f(x) = 0$ pour tout $x \in [a, b]$).
• Fonction nulle : Fonction définie par $f(x) = 0$ pour tout $x$, dont l’intégrale sur tout intervalle est nulle.
• Propriété de signe constant (voir section 6) : Si $f$ est continue et de signe constant, alors son intégrale est positive, négative ou nulle selon le signe de $f$.
• Exemple de fonction non nulle avec intégrale nulle : La fonction sinus $\sin(x)$ sur un intervalle $[a, b]$ où la zone positive et négative s’annulent, donne une intégrale nulle malgré que $\sin(x) \neq 0$ en général.

📝 Points essentiels

• La propriété fondamentale indique que si $f$ est continue, de signe constant, et que $\int_a^b f(x) dx = 0$, alors $f$ doit être la fonction nulle (c’est une conséquence directe de la définition de l’intégrale comme aire).
• La réciproque n’est pas vraie : une fonction peut avoir une intégrale nulle sans être nulle partout, comme par exemple $\sin(x)$ ou une fonction positive sur une partie et négative sur une autre, dont l’aire totale s’annule.
• La propriété de signe constant (voir section 6) garantit que si une fonction ne change pas de signe, alors une intégrale nulle implique que la fonction est nulle partout.
• L’intégrale entre mêmes bornes de la fonction nulle est toujours zéro : $\int_a^a 0 dx = 0$.

💡 À retenir

Une fonction continue de signe constant dont l’intégrale sur un intervalle est nulle doit être la fonction nulle ; cependant, une fonction non nulle peut aussi avoir une intégrale nulle si ses zones positives et négatives s’annulent.

📖 11. Découpage en sous-intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Découpage en sous-intervalles : Partition d’un intervalle fermé [a, b] en n sous-intervalles de même longueur ℎ, où chaque sous-intervalle est défini par ses points de subdivision x_k.
• Points de subdivision x_k : Notation désignant les points qui divisent l’intervalle [a, b] en n parties, avec x_0 = a et x_n = b, et pour tout k : x_k = a + kℎ.
• Sommes de Riemann : Expression de l’aire approximative sous la courbe, représentée par la somme des aires des rectangles de largeur ℎ et de hauteur f(x_k), soit Σ_{k=0}^{n-1} ℎ × f(x_k).
• Expression des sommes comme aire de rectangles : La somme Σ_{k=0}^{n-1} ℎ × f(x_k) correspond à l’aire totale de rectangles dont la base est ℎ et la hauteur f(x_k), approchant l’aire sous la courbe.
• Passage à la limite pour définir l’intégrale : Lorsque n tend vers l’infini, ℎ tend vers zéro, et la somme de Riemann converge vers l’intégrale de la fonction sur [a, b], notée lim_{n→+∞} Σ_{k=0}^{n-1} ℎ × f(x_k).

📝 Points essentiels

• La subdivision en sous-intervalles permet d’approcher l’aire sous une courbe par des rectangles.
• La notation x_k = a + kℎ, avec ℎ = (b - a)/n, formalise la partition de l’intervalle en n parties égales.
• La somme Σ_{k=0}^{n-1} ℎ × f(x_k) est une approximation de l’intégrale, dont la précision augmente avec n.
• La limite lorsque n → +∞ (et ℎ → 0) définit rigoureusement l’intégrale selon Riemann, en passant d’une somme finie à une somme infinie.
• La notion de passage à la limite est essentielle pour établir la définition formelle de l’intégrale comme aire précise sous la courbe, selon Amyotte (source).

💡 À retenir

Le découpage en sous-intervalles et la somme des rectangles permettent de construire l’intégrale comme limite d’aires approximatives, en faisant tendre la largeur des rectangles vers zéro.

📖 12. Exemples d'intégration sans primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégration par approximation géométrique : méthode consistant à estimer l’intégrale en utilisant des aires de figures géométriques simples (trapèzes, triangles) sans rechercher de primitive, en se basant sur la définition de l’intégrale comme aire (source : O. DANIEL, 2025-2026).

• Calcul d’aires géométriques simples : détermination de l’aire de figures telles que triangles ou trapèzes à partir de formules classiques (base × hauteur / 2 pour un triangle, (base1 + base2) / 2 × hauteur pour un trapèze), pour évaluer une intégrale sans primitives.

• Définition géométrique de l’intégrale : l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle est l’aire du domaine délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les bornes, calculée directement par des méthodes géométriques (source : S. Le Méteil, 2025-2026).

📝 Points essentiels

• La méthode consiste à découper l’aire sous la courbe en figures géométriques simples, dont on calcule directement l’aire à l’aide de formules classiques, sans faire appel à une primitive ou à une primitive connue.

• La limite de ces sommes d’aires, lorsque la subdivision devient infiniment fine, donne la valeur de l’intégrale, conformément à la définition géométrique de l’intégrale comme aire (source : O. DANIEL, 2025-2026).

• Par exemple, pour une fonction affine positive, l’intégrale sur un intervalle peut être estimée par l’aire d’un trapèze ou d’un triangle, puis la limite de cette approximation donne l’intégrale exacte.

• La démarche est illustrée par des exemples concrets où l’intégrale est évaluée par la somme des aires de figures géométriques simples, sans utiliser de primitive ou de formule intégrale.

💡 À retenir

L’intégration sans primitives repose sur la décomposition géométrique de l’aire sous la courbe en figures simples, puis sur la limite de ces aires pour obtenir la valeur exacte de l’intégrale, en se basant uniquement sur la définition géométrique et les formules classiques d’aires.

📊 Tableaux de Synthèse

Propriété de l'intégrale	Description	Auteur / Source
Positivité	Si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$	C. Chauvet
Linéarité	$\int_a^b [af(x) + bg(x)] dx = a \int_a^b f(x) dx + b \int_a^b g(x) dx$	Général, fondamental
Inégalité triangulaire	$\left	\int_a^b f(x) dx \right
Encadrement par bornes	Si $m \leq f(x) \leq M$, alors $m(b - a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b - a)$	O. Daniel
Intégrale d’une constante	$\int_a^b k dx = k(b - a)$	C. Chauvet

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre intégrale et primitive : l’intégrale de Riemann ne nécessite pas toujours une primitive explicite pour être calculée.
2. Oublier que la variable d’intégration est "muette" : changer la lettre ne modifie pas le résultat.
3. Confondre intégrale positive et négative : une fonction négative sur l’intervalle donne une intégrale négative.
4. Négliger la condition de continuité pour l’existence de l’intégrale selon Riemann.
5. Confondre somme de Riemann et somme de Darboux : la limite est la même, mais les méthodes de construction diffèrent.
6. Se tromper dans le calcul des bornes ou des subdivisions lors de l’application de la définition.
7. Omettre que l’intégrale d’une fonction constante est le produit de cette constante par la longueur de l’intervalle.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition de l’intégrale selon Riemann : limite des sommes de Riemann avec subdivisions de l’intervalle.
• Savoir que l’intégrale représente l’aire sous la courbe pour une fonction positive.
• Maîtriser la propriété de positivité de l’intégrale si la fonction est positive.
• Connaître la propriété de linéarité de l’intégrale.
• Savoir appliquer l’inégalité triangulaire à l’intégrale.
• Savoir encadrer l’intégrale d’une fonction bornée par ses bornes extrêmes.
• Comprendre que l’intégrale d’une constante est le produit de cette constante par la longueur de l’intervalle.
• Connaître la relation entre intégrale et primitive selon Leibniz et Newton.
• Savoir que la variable d’intégration est "muette" et peut être remplacée sans changer le résultat.
• Être capable de découper un intervalle en sous-intervalles et de calculer une somme de Riemann.
• Savoir que l’intégrale peut être calculée sans primitives pour des fonctions continues et bornées.
• Connaître la définition historique et géométrique de l’intégrale, notamment son lien avec le calcul d’aires et de volumes.
• Vérifier que la fonction est continue sur l’intervalle pour assurer l’existence de l’intégrale selon Riemann.