Quiz: Introduction aux fonctions convexes et récurrence — 14 perguntas

1. Quand une fonction dérivable est convexe sur un intervalle, comment se situe sa courbe par rapport à ses tangentes ?

A. Elle est entièrement au-dessus de toutes ses tangentes

B. Elle est entièrement au-dessous de toutes ses tangentes

C. Elle coupe nécessairement toutes ses tangentes

D. Elle admet une tangente unique sur l’intervalle

Answer: (A)

Explicação

Une fonction convexe a une courbe située au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle. La position au-dessous caractérise au contraire la concavité.

2. Quelle fonction est donnée comme exemple de fonction concave sur son domaine ?

A. La fonction racine carrée

B. La fonction identité

C. La fonction carré

D. La fonction exponentielle

Answer: (A)

Explicação

La fonction racine carrée est citée comme concave sur ]0,+∞[. À l’inverse, x² et e^x sont donnés comme convexes.

3. Dans une preuve par récurrence d’une propriété P(n), que doit montrer l’hérédité ?

A. Que P(n) est fausse pour n+1

B. Que P(n) vraie entraîne P(n+1) vraie

C. Que P(n) devient indépendante de n

D. Que P(n) est vraie pour un seul rang

Answer: (B)

Explicação

L’hérédité consiste à supposer P(n) vraie puis à démontrer P(n+1) vraie. C’est l’étape qui permet de propager la propriété d’un rang au suivant.

4. Quelle est la fonction de l’initialisation dans un raisonnement par récurrence ?

A. Prouver que la propriété est fausse au rang suivant

B. Établir uniquement la relation de récurrence

C. Vérifier la propriété au rang de départ choisi

D. Montrer que la propriété est vraie pour tous les entiers d’un coup

Answer: (C)

Explicação

L’initialisation sert à vérifier directement la propriété au premier rang concerné. Sans elle, la récurrence ne permet pas de démarrer.

5. Pour montrer une égalité par récurrence, quelle forme prend généralement l’hypothèse de récurrence ?

A. On suppose l’égalité vraie seulement au rang final

B. On suppose l’égalité vraie au rang n

C. On suppose que la suite est bornée

D. On suppose que la fonction est continue

Answer: (B)

Explicação

On suppose l’égalité vraie au rang n afin de la transformer et d’obtenir le cas n+1. C’est le cœur de l’étape d’hérédité.

6. Quelle étape permet de conclure qu’une égalité est vraie pour tout n au-delà du rang initial ?

A. La seule vérification au rang n+1

B. La combinaison de l’initialisation et de l’hérédité

C. L’étude du signe de la suite

D. Le calcul d’une dérivée

Answer: (B)

Explicação

La conclusion par récurrence repose sur l’initialisation et l’hérédité réunies. Ensemble, elles assurent la validité de l’égalité pour tous les rangs concernés.

7. Si, à partir d’un certain rang, on a u_n ≥ v_n et v_n tend vers +∞, que peut-on conclure ?

A. u_n converge vers une limite finie

B. u_n est forcément décroissante

C. u_n tend vers −∞

D. u_n tend vers +∞

Answer: (D)

Explicação

Le théorème de minoration permet de conclure que u_n tend vers +∞ lorsque u_n est au moins aussi grande qu’une suite tendant vers +∞. L’inégalité va donc vers le haut.

8. Quel encadrement illustre l’utilisation du théorème des gendarmes ?

A. v_n ≤ u_n ≤ w_n avec v_n et w_n de limites connues

B. u_n ≤ v_n avec v_n tendant vers −∞

C. u_n ≥ v_n avec v_n tendant vers +∞

D. u_n = v_n pour tout n

Answer: (A)

Explicação

Le théorème des gendarmes s’applique quand une suite est encadrée par deux suites dont on connaît les limites. Les théorèmes de minoration et de majoration concernent plutôt une seule inégalité.

9. Quelle est la dérivée de la fonction ln(x) sur ]0,+∞[ ?

A. x

B. 1

C. 1/x

D. ln(x)

Answer: (C)

Explicação

Sur son domaine de définition, la dérivée de ln(x) est 1/x. C’est la formule fondamentale à connaître.

10. Quelle est la dérivée de la fonction x ln(x) pour x>0 ?

A. 1/x+1

B. x+ln(x)

C. ln(x)/x

D. ln(x)+1

Answer: (D)

Explicação

On applique la règle du produit : la dérivée de x ln(x) vaut ln(x)+1. C’est un résultat explicitement donné.

11. Quelle identité du logarithme népérien est correcte pour a,b>0 ?

A. ln(ab)=ln(a)+ln(b)

B. ln(a/b)=ln(a)×ln(b)

C. ln(ab)=ln(a)×ln(b)

D. ln(a+b)=ln(a)+ln(b)

Answer: (A)

Explicação

Le logarithme transforme un produit en somme : ln(ab)=ln(a)+ln(b). C’est l’une de ses propriétés algébriques essentielles.

12. Quelle propriété traduit le sens de variation du logarithme népérien sur ]0,+∞[ ?

A. Il est strictement croissant

B. Il est strictement décroissant

C. Il est constant

D. Il oscille entre deux valeurs fixes

Answer: (A)

Explicação

Comme sa dérivée est 1/x, qui est positive sur ]0,+∞[, ln est strictement croissante. Sa limite vaut aussi −∞ en 0+ et +∞ en +∞.

13. Quelle forme décrit une droite de l’espace passant par A(xA;yA;zA) et dirigée par u⃗(a;b;c) ?

A. x=xA+a, y=yA+b, z=zA+c

B. x=ta, y=tb, z=tc

C. x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc

D. x=a+t, y=b+t, z=c+t

Answer: (C)

Explicação

La représentation paramétrique d’une droite s’écrit en ajoutant t fois un vecteur directeur aux coordonnées d’un point de la droite. Les trois coordonnées varient simultanément selon le même paramètre t.

14. Comment vérifier qu’un point M appartient à une droite donnée par une représentation paramétrique ?

A. Montrer que M vérifie une seule des trois équations

B. Montrer que ses coordonnées sont toutes positives

C. Montrer que M est le milieu d’un segment

D. Montrer que le vecteur AM⃗ est colinéaire au vecteur directeur

Answer: (D)

Explicação

Un point appartient à la droite si et seulement si le vecteur reliant le point de départ à M est colinéaire au vecteur directeur. Cela revient à satisfaire les trois équations de la représentation paramétrique.