Revision sheet: Introduction aux fonctions convexes et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Convexité et concavité par la courbe
2. Principe de récurrence pour une propriété
3. Montrer une égalité par récurrence
4. Théorèmes de minoration et majoration
5. Fonction logarithme népérien : définition et dérivée
6. Propriétés algébriques et variations du logarithme
7. Représentation paramétrique des droites de l’espace

📖 1. Convexité et concavité par la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur un intervalle si, entre deux points de sa courbe, le segment reliant ces points reste au-dessus de la courbe.
• Fonction concave : Une fonction est concave sur un intervalle si, entre deux points de sa courbe, le segment reliant ces points reste au-dessous de la courbe.
• Courbe représentative : La courbe représentative d’une fonction est l’ensemble des points de coordonnées $(x,f(x)) dans un repère.
• Tangente à la courbe : La tangente à la courbe d’une fonction dérivable en $a$ est la droite passant par $(a,f(a))$ et de pente $f'(a)$.

📝 Points essentiels

• Sur un intervalle $I$, $f$ est convexe si et seulement si sa courbe est entièrement au-dessus de toutes ses tangentes.
• Sur un intervalle $I$, $f$ est concave si et seulement si sa courbe est entièrement au-dessous de toutes ses tangentes.
• Si $f$ est croissante et convexe, alors elle augmente « de plus en plus vite » et les pentes des tangentes augmentent quand l’abscisse augmente.
• Si $f$ est croissante et concave, alors elle augmente « de moins en moins vite » et les pentes des tangentes diminuent quand l’abscisse augmente.
• Exemples : $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto e^x$ sont convexes sur $\mathbb{R}$, tandis que $x\mapsto \sqrt{x}$ est concave sur $]0,+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Convexe = « au-dessus » (comme un bol vers le haut) ; Concave = « au-dessous » (comme une cuillère vers le bas).

📖 2. Principe de récurrence pour une propriété

🔑 Notions clés & Définitions

• Initialisation : L’étape d’initialisation vérifie que la propriété est vraie au rang de départ choisi.
• Hérédité : L’étape d’hérédité montre que si la propriété est vraie à un rang n, alors elle est vraie au rang n+1.
• Hypothèse de récurrence : L’hypothèse de récurrence est l’affirmation supposée vraie pour un entier n afin de prouver la propriété au rang n+1.
• Conclusion par récurrence : La conclusion combine initialisation et hérédité pour établir la propriété pour tous les entiers n ≥ n0.

📝 Points essentiels

• Le principe s’applique quand on veut prouver qu’une propriété dépendant de n est vraie pour tout n ≥ n0.
• On commence par l’initialisation : vérifier la propriété pour n = n0.
• On poursuit par l’hérédité : supposer la propriété vraie au rang n (n ≥ n0) puis prouver qu’elle l’est au rang n+1.
• On termine par la conclusion : comme c’est vrai au rang n0 et héréditaire, la propriété est vraie pour tout n ≥ n0.
• Pour une égalité, on suppose l’égalité vraie au rang n puis on utilise la relation de récurrence pour obtenir l’égalité au rang n+1.

💡 Astuce mémo

Initialisation = vrai au départ ; Hérédité = vrai passe au suivant ; Conclusion = vrai pour tous les rangs suivants.

📖 3. Montrer une égalité par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Méthode de preuve qui établit qu’une propriété vraie à un rang initial reste vraie au rang suivant, donc vraie pour tous les rangs à partir de ce point.
• Initialisation : Étape où l’on vérifie directement que la propriété est vraie pour le rang de départ choisi.
• Hérédité : Étape où l’on suppose la propriété vraie à un rang n et où l’on démontre qu’elle devient vraie au rang n+1.
• Conclusion par récurrence : Étape où l’on combine initialisation et hérédité pour conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel concerné.

📝 Points essentiels

• On définit une propriété Pn portant sur le rang n, par exemple une égalité reliant un terme un à une expression en n.
• On vérifie Pn au rang initial (souvent n=0 ou n=n0) en remplaçant dans l’égalité et en calculant.
• Pour l’hérédité, on suppose Pn vraie, puis on utilise la relation de récurrence de la suite pour exprimer un+1.
• On transforme l’expression obtenue pour un+1 afin de retomber exactement sur la forme attendue de Pn+1.
• Une fois initialisation et hérédité établies, le principe de récurrence garantit l’égalité pour tout n ≥ n0.

💡 Astuce mémo

Initialisation = vérifier P0 ; Hérédité = Pn ⇒ Pn+1 ; Conclusion = donc Pn pour tout n.

📖 4. Théorèmes de minoration et majoration

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite +∞ : Une suite a pour limite +∞ lorsque, à partir d’un certain rang, tous ses termes dépassent tout réel A>0.
• Limite −∞ : Une suite a pour limite −∞ lorsque, à partir d’un certain rang, tous ses termes sont inférieurs à tout réel A<0.
• Théorème de minoration : Un théorème qui permet de conclure que la limite d’une suite est +∞ si elle est minorée par une autre suite tendant vers +∞.
• Théorème de majoration : Un théorème qui permet de conclure que la limite d’une suite est −∞ si elle est majorée par une autre suite tendant vers −∞.

📝 Points essentiels

• Si à partir d’un certain rang on a $u_n\ge v_n$ et si $\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty$, alors $\lim_{n\to+\infty} u_n=+\infty$.
• Si à partir d’un certain rang on a $u_n\le v_n$ et si $\lim_{n\to+\infty} v_n=-\infty$, alors $\lim_{n\to+\infty} u_n=-\infty$.
• Pour appliquer la minoration/majoration, il suffit d’établir l’inégalité entre suites à partir d’un rang $n_0$ (pas forcément dès $n=0$).
• Si $v_n\ge n^2$ et que $\lim_{n\to+\infty} n^2=+\infty$, alors $\lim_{n\to+\infty} v_n=+\infty$ (exemple typique de minoration).
• Le théorème des gendarmes s’utilise quand on encadre $u_n$ par deux suites $v_n\le u_n\le w_n$ avec $v_n$ et $w_n$ ayant des limites finies ou égales à $\pm\infty$.

💡 Astuce mémo

Minoration = on pousse vers le haut (≥) ; Majoration = on pousse vers le bas (≤).

📖 5. Fonction logarithme népérien : définition et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la fonction $\ln$ définie sur $]0; +\infty[$ qui permet de transformer des produits en sommes et des puissances en produits.
• Dérivée de $\ln(x)$ : La dérivée de $\ln(x)$ sur $]0; +\infty[$ est la fonction $\dfrac{1}{x}$.
• Dérivée de $x\ln(x)$ : La dérivée de $x\ln(x)$ s’obtient en dérivant le produit de $x$ et $\ln(x)$.

📝 Points essentiels

• Pour $x>0$, on a $\dfrac{d}{dx}\big(\ln(x)\big)=\dfrac{1}{x}$.
• Pour $x>0$, on a $\dfrac{d}{dx}\big(x\ln(x)\big)=\ln(x)+1$.
• Pour $f(x)=x\ln(x)-x$ (avec $x>0$), on obtient $f'(x)=\ln(x)$.
• Pour $f(x)=2+3\ln(x)$ (avec $x>0$), on a $f'(x)=\dfrac{3}{x}$, donc la tangente au point d’abscisse $1$ est $y=3x-1$.
• Pour dériver $x\ln(x)$, on utilise la formule du produit : dériver $x$ et garder $\ln(x)$, puis dériver $\ln(x)$ et garder $x$.

💡 Astuce mémo

Produit $x\ln(x)$ : dérive $x$ → $\ln(x)$, dérive $\ln(x)$ → $x\cdot\frac1x=1$, donc $\ln(x)+1$.

📖 6. Propriétés algébriques et variations du logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien est la fonction $\ln$ définie sur $]0; +\infty[$ qui associe à $a>0$ l’unique réel $x$ tel que $e^x=a$.
• Fonction réciproque : Deux fonctions sont réciproques quand l’une annule l’autre, c’est-à-dire que $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln(a)}=a$ sur leurs domaines.
• Relation fonctionnelle : Une relation fonctionnelle du logarithme relie $\ln$ de produits, quotients et puissances à des opérations algébriques sur les valeurs de $\ln$.
• Variations du logarithme : Les variations du logarithme décrivent comment $\ln(x)$ évolue quand $x$ augmente, grâce au signe de sa dérivée.

📝 Points essentiels

• Pour $a>0$, $e^{\ln(a)}=a$ et pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\ln(e^x)=x$.
• Pour $a,b>0$, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
• Pour $a,b>0$, $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.
• Pour $a>0$ et $n\in\mathbb{N}$, $\ln(a^n)=n\,\ln(a)$.
• Pour $x>0$, $\ln'(x)=\frac{1}{x}$, donc $\ln$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
• Pour $x\to 0^+$, $\ln(x)\to -\infty$ et pour $x\to +\infty$, $\ln(x)\to +\infty$.

💡 Astuce mémo

Produit→somme : $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ ; quotient→différence : $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ ; puissance→multiplication : $\ln(a^n)=n\ln(a)$.

📖 7. Représentation paramétrique des droites de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul porté par une droite, obtenu comme vecteur entre deux points distincts de cette droite.
• Paramètre t : Le paramètre t est la variable réelle qui fait varier les coordonnées d’un point M de la droite dans sa représentation paramétrique.
• Représentation paramétrique : La représentation paramétrique décrit la droite comme l’ensemble des points M dont les coordonnées vérifient un système du type x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc.

📝 Points essentiels

• Dans un repère (O;i;j;k), la droite passant par A(xA;yA;zA) et dirigée par u⃗(a;b;c) est donnée par x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc avec t∈ℝ.
• Un point M(x;y;z) appartient à la droite si et seulement si le vecteur A M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ est colinéaire au vecteur directeur u⃗.
• Le paramètre t correspond au réel tel que A M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t u⃗, ce qui entraîne simultanément les trois équations sur x, y et z.
• Une droite admet une infinité de représentations paramétriques car on peut choisir différents vecteurs directeurs (multiples) et différents points de la droite.
• Si u⃗ est directeur, alors tout vecteur k u⃗ (k∈ℝ) est aussi directeur, ce qui modifie la représentation paramétrique sans changer la droite.

💡 Astuce mémo

Colinéarité = même “direction” : M sur la droite ⇔ A M⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = t·u⃗, donc on remplace x,y,z par xA+ta, yA+tb, zA+tc.

📊 Tableaux de synthèse

Convexité vs concavité (critères)

Notion	Critère graphique	Critère dérivé
Convexe	Courbe au-dessus de toutes ses tangentes	f'' positive sur I (équiv.)
Concave	Courbe au-dessous de toutes ses tangentes	f'' négative sur I (équiv.)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “au-dessus de la courbe” (convexe) et “au-dessous de la courbe” (concave) quand on lit la définition par segments ou par tangentes.
2. Croire que f est convexe dès que f' est croissante : ici, la propriété équivalente correcte est f'' ≥ 0 (ou f' croissante, si f est deux fois dérivable).
3. Oublier que le critère f'' change de signe pour un point d’inflexion : un simple zéro de f'' sans changement de signe ne suffit pas.
4. Se tromper sur le domaine de ln : ln est défini sur ]0;+∞[, donc toute équation/inequation avec ln impose des conditions de positivité.
5. Mélanger les formules de dérivation : pour x ln(x), il faut utiliser le produit et obtenir ln(x)+1, pas 1/x.
6. Pour les limites, confondre “limite +∞” et “limite −∞” dans les théorèmes de minoration/majoration : minoration vise +∞, majoration vise −∞.
7. En récurrence, oublier l’hypothèse de récurrence (Pn vraie) et ne pas montrer l’étape d’hérédité vers n+1 avant de conclure pour tous les n ≥ n0.

✅ Checklist Examen

1. Convexité/concavité : savoir utiliser la définition par segments (au-dessus/au-dessous) et la caractérisation “au-dessus/au-dessous de toutes les tangentes” sur un intervalle où f est dérivable.
2. Convexité/concavité : relier les critères équivalents quand f est deux fois dérivable (convexe ⇔ f'' positive ⇔ f' croissante ; concave ⇔ f'' négative ⇔ f' décroissante).
3. Point d’inflexion : déterminer les abscisses où f'' s’annule et vérifier le changement de signe pour conclure.
4. Récurrence (propriété) : écrire clairement initialisation, hérédité (Pn ⇒ Pn+1) puis conclusion pour tout n ≥ n0.
5. Égalité par récurrence : poser Pn sous forme de l’égalité à prouver, vérifier au rang initial, puis transformer u_{n+1} via la relation de récurrence pour retomber sur Pn+1.
6. Inégalité par récurrence : choisir une propriété Hn adaptée (forme “>” ou “≥”), prouver l’initialisation, puis enchaîner les équivalences/implications pour obtenir Hn+1.
7. Minoration/majoration : appliquer correctement les théorèmes (u_n ≥ v_n et v_n → +∞ ⇒ u_n → +∞ ; u_n ≤ v_n et v_n → −∞ ⇒ u_n → −∞) à partir d’un rang n0.
8. Logarithme népérien : maîtriser ln(e^x)=x, e^{ln(a)}=a (a>0), les relations ln(ab), ln(a/b), ln(a^n) et les variations (ln croissante).
9. Dérivée du ln : utiliser (ln x)'=1/x et les dérivées demandées (notamment (x ln x)'=ln x + 1) avec le domaine x>0.
10. Représentation paramétrique d’une droite : savoir écrire x=xA+ta, y=yA+tb, z=zA+tc et vérifier l’appartenance via colinéarité AM⃗⃗ et u⃗.
11. Droites de l’espace : savoir exploiter que deux représentations paramétriques peuvent différer (directeurs multiples, point de la droite) sans changer la droite.