Nombres complexes et transformations

📋 Plan du Cours

1. Formes et racines complexes
2. Interprétation géométrique
3. Formule de Moivre
4. Équation du second degré complexe
5. Transformations du plan

📖 1. Formes et racines complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : Un nombre complexe s’écrit sous la forme $z=a+ib$, où $a$ et $b$ sont des réels et où $i^2=-1$.
• Forme trigonométrique : Un nombre complexe s’écrit sous la forme $z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, où $\rho=|z|$ est son module et $\theta=\operatorname{Arg}(z)$ est un argument.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour $z=a+ib$, le module vérifie $|z|=\rho=\sqrt{a^2+b^2}$.

📌 Deux nombres complexes $a+ib$ et $a'+ib'$ sont égaux si et seulement si $a=a'$ et $b=b'$.

• Si $Z=R(\cos\alpha+i\sin\alpha)$ est non nul, ses $n$ racines n-ièmes sont $z_k=\sqrt[n]{R}\left(\cos\frac{\alpha+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\alpha+2k\pi}{n}\right)$ pour $0\leq k\leq n-1$.

💡 Astuce mémo

Algébrique → trigonométrique → polaire

📖 2. Interprétation géométrique

• Si les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A$ et $z_B$, alors l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B-z_A$ et l’affixe du milieu de $[AB]$ est $\frac{z_A+z_B}{2}$.