Hoja de repaso: Maîtrise des pourcentages et coefficients

📋 Plan du Cours

1. Hausse et baisse en pourcentage
2. Coefficient multiplicateur
3. Calculer un prix final
4. Retrouver le prix initial
5. Calculer un taux de variation
6. Variations successives

📖 1. Hausse et baisse en pourcentage

🔑 Notions clés & Définitions

• Augmentation de p % : Un prix qui augmente de p % correspond à une multiplication par un facteur supérieur à 1.
• Diminution de p % : Un prix qui diminue de p % correspond à une multiplication par un facteur inférieur à 1.
• Coefficient multiplicateur en pourcentage : Le facteur lié à un pourcentage est obtenu en ajoutant (hausse) ou en retranchant (baisse) p/100 à 1.

📝 Points essentiels

• Augmenter un nombre positif de p % revient à le multiplier par 1 + p/100.
• Diminuer un nombre positif de p % revient à le multiplier par 1 − p/100.
• Pour p = 15, on obtient 1,15 = 1 + 15/100, donnant 50 × 1,15 = 57,5.

💡 Astuce mémo

Hausse = on ajoute p/100, Baisse = on retire p/100, dans le facteur 1 ± p/100.

📖 2. Coefficient multiplicateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient pour hausse : Le coefficient d’une hausse de p % vaut 1 + p/100 et sert de multiplicateur direct sur la valeur initiale.
• Coefficient pour baisse : Le coefficient d’une baisse de p % vaut 1 − p/100 et sert de multiplicateur direct sur la valeur initiale.
• Multiplier valeur par le coefficient : La nouvelle quantité se calcule en multipliant la valeur initiale par le coefficient correspondant au pourcentage.

📝 Points essentiels

• Exemple d’augmentation : 60 % correspond à 1 + 60/100 = 1,6, donc on multiplie par 1,6.
• Exemple de diminution : 20 % correspond à 1 − 20/100 = 0,8, donc on multiplie par 0,8.
• Une fois le coefficient trouvé, le passage ancien → nouveau se fait par multiplication (pas par addition de pourcentages).

💡 Astuce mémo

Le coefficient dit tout : supérieur à 1 si ça monte, inférieur à 1 si ça baisse.

📖 3. Calculer un prix final

🔑 Notions clés & Définitions

• Prix final après hausse : Le prix final après une hausse de p % est le produit du prix initial par 1 + p/100.
• Prix final après baisse : Le prix final après une baisse de p % est le produit du prix initial par 1 − p/100.

📝 Points essentiels

• Pour 50 € avec +15 %, on calcule 50 × 1,15 = 57,5.
• Pour 90 € avec −30 %, on calcule 90 × 0,7 = 63.
• Méthode rapide : passer par le coefficient (1 ± p/100) dès que le pourcentage est donné.

💡 Astuce mémo

Prix final = prix initial × (1 ± p/100).

📖 4. Retrouver le prix initial

🔑 Notions clés & Définitions

• Retour arrière après hausse : Pour retrouver le prix initial après une hausse de p %, on divise le prix final par 1 + p/100.
• Retour arrière après réduction : Pour retrouver le prix initial après une baisse de p %, on divise le prix final par 1 − p/100.

📝 Points essentiels

• Après une hausse de 30 %, on a 1,3 ; donc 60,45 ÷ 1,3 = 46,5.
• Après une réduction de 15 %, on a 0,85 ; donc 242,25 ÷ 0,85 = 285.
• La direction de l’opération s’inverse : hausse → division par le coefficient, réduction → division par le coefficient.

💡 Astuce mémo

Si on connaît le nouveau, on “défait” la variation en divisant par le coefficient.

📖 5. Calculer un taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux après hausse : Le pourcentage d’augmentation se retrouve via le coefficient nouveau/ancien puis la différence avec 1.
• Taux après baisse : Le pourcentage de diminution se retrouve via le coefficient nouveau/ancien puis la différence de 1 avec ce coefficient.

📝 Points essentiels

• Hausse : avec 5 € à 5,21 €, le coefficient vaut 5,21 ÷ 5 = 1,042 puis 1,042 − 1 = 0,042 = 4,2 %.
• Baisse : avec 10 € à 7,80 €, le coefficient vaut 7,80 ÷ 10 = 0,78 puis 1 − 0,78 = 0,22 = 22 %.
• Le taux se lit en pourcentage à partir de la différence entre le coefficient et 1.

💡 Astuce mémo

On cherche le coefficient, puis on compare-le à 1 : écart positif → hausse, écart en retrait → baisse.

📖 6. Variations successives

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient total : Après plusieurs variations successives, le coefficient total est le produit des coefficients de chaque étape.
• Pourcentage total à partir du coefficient : Le pourcentage total se déduit ensuite en calculant 1 − coefficient total (si baisse) ou coefficient total − 1 (si hausse).

📝 Points essentiels

• Deux baisses : −60 % puis −40 % donnent un coefficient 0,4 × 0,6 = 0,24, soit une baisse totale de 1 − 0,24 = 0,76 = 76 %.
• Variations mixtes : −30 % puis −10 % puis +40 % donnent 0,7 × 0,9 × 1,4 = 0,882, donc 1 − 0,882 = 0,118 = 11,8 % de baisse.
• Quand il y a plusieurs étapes, on évite de recalculer en pourcentages : on multiplie les coefficients.

💡 Astuce mémo

Successifs = on multiplie les coefficients, puis on repasse en pourcentage via la différence avec 1.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre addition de p % avec multiplication : une variation de p % se gère par un coefficient 1 ± p/100.
2. Inverser le sens quand on “retrouve” le prix initial : il faut diviser par le coefficient, pas multiplier.
3. Prendre le mauvais signe sur le coefficient : 1 + p/100 pour hausse et 1 − p/100 pour baisse.
4. Calculer le taux de variation avec le mauvais écart : hausse utilise coefficient − 1, baisse utilise 1 − coefficient.
5. Traiter des variations successives comme une somme de pourcentages au lieu de multiplier les coefficients successifs.
6. Utiliser des pourcentages comme des nombres entiers sans convertir en p/100 pour former le coefficient.

✅ Checklist Examen

1. Savoir convertir une hausse de p % en coefficient 1 + p/100 et calculer un nouveau prix par multiplication.
2. Savoir convertir une baisse de p % en coefficient 1 − p/100 et calculer un nouveau prix par multiplication.
3. Calculer un prix final à partir d’un prix initial et d’un pourcentage en utilisant le coefficient.
4. Retrouver un prix initial après une hausse en divisant par 1 + p/100.
5. Retrouver un prix initial après une baisse (réduction) en divisant par 1 − p/100.
6. Calculer le taux d’augmentation à partir de deux prix en trouvant le coefficient puis en faisant coefficient − 1.
7. Calculer le taux de réduction à partir de deux prix en trouvant le coefficient puis en faisant 1 − coefficient.
8. Traiter des variations successives en multipliant les coefficients de chaque étape pour obtenir le coefficient total.
9. Déduire le pourcentage total de variations successives à partir du coefficient total via la différence avec 1.
10. Vérifier le signe (hausse/baisse) du résultat en regardant si le coefficient final est supérieur ou inférieur à 1.