Quiz: Introduction aux variables aléatoires et à la probabilité — 12 questions

1. Dans une expérience aléatoire, que représente une variable aléatoire ?

A. La probabilité d’un événement particulier

B. Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue

C. La somme des gains obtenus au cours du jeu

D. Un ensemble de toutes les issues possibles

Answer: (B)

Explanation

Une variable aléatoire est bien une fonction définie sur l’univers qui attribue une valeur numérique à chaque issue. L’ensemble de toutes les issues correspond à l’univers, pas à la variable elle-même.

2. Dans un jeu à deux lancers de pièce, à quoi correspond le gain du joueur ?

A. À la somme des gains et pertes sur les réalisations successives

B. À la probabilité de chaque issue

C. Au nombre total d’issues de l’univers

D. À la valeur maximale prise par la variable aléatoire

Answer: (A)

Explanation

Le gain du joueur est défini comme la somme des gains et pertes obtenus au fil des réalisations successives. Il ne s’agit ni d’une probabilité ni d’un simple comptage d’issues.

3. Que désigne la loi de probabilité d’une variable aléatoire ?

A. L’ensemble des issues de l’expérience aléatoire

B. L’écart entre la plus grande et la plus petite valeur

C. La liste des valeurs prises par la variable et leurs probabilités

D. La moyenne des gains sur un très grand nombre d’essais

Answer: (C)

Explanation

La loi de probabilité associe à chaque valeur prise par la variable sa probabilité. L’univers contient les issues, mais la loi décrit les valeurs de la variable aléatoire.

4. Quelle propriété vérifient les probabilités de toutes les valeurs possibles d’une variable aléatoire discrète ?

A. Elles sont toutes identiques

B. Leur somme est égale à 0

C. Leur somme est égale à 1

D. Leur produit est égal à 1

Answer: (C)

Explanation

Pour une variable aléatoire discrète, la somme de toutes les probabilités des valeurs possibles vaut 1. Cela traduit le fait qu’une de ces valeurs doit nécessairement se produire.

5. Comment calcule-t-on l’espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète ?

A. En prenant la valeur la plus fréquente

B. En additionnant toutes les valeurs possibles

C. En calculant la différence entre le maximum et le minimum

D. En faisant une moyenne pondérée par les probabilités

Answer: (D)

Explanation

L’espérance est une moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par sa probabilité puis les produits sont additionnés. Ce n’est pas une simple moyenne arithmétique des valeurs.

6. Que représente l’espérance mathématique dans le contexte d’un jeu répété un très grand nombre de fois ?

A. Le gain obtenu à chaque partie

B. La dispersion des gains autour de la moyenne

C. La probabilité de gagner à chaque lancer

D. La valeur moyenne observée à long terme

Answer: (D)

Explanation

L’espérance correspond à la valeur moyenne observée sur un grand nombre de répétitions. Elle ne décrit pas la dispersion, qui est mesurée par la variance et l’écart-type.

7. Que mesure la variance d’une variable aléatoire ?

A. La probabilité d’obtenir chaque valeur

B. Le nombre de valeurs possibles de la variable

C. La dispersion des valeurs autour de l’espérance

D. La moyenne des valeurs de la variable

Answer: (C)

Explanation

La variance mesure à quel point les valeurs s’éloignent de l’espérance. Plus elle est grande, plus les résultats sont dispersés.

8. Quel lien existe entre l’écart-type et la variance ?

A. L’écart-type est la somme des valeurs de la variable

B. L’écart-type est égal à l’espérance

C. L’écart-type est la racine carrée de la variance

D. L’écart-type est le carré de la variance

Answer: (C)

Explanation

L’écart-type est défini comme la racine carrée de la variance. Il exprime la dispersion dans la même unité que la variable.

9. Quand dit-on qu’un jeu est équitable ?

A. Quand son espérance du gain vaut 0

B. Quand l’écart-type est supérieur à 1

C. Quand sa variance est nulle

D. Quand le joueur gagne plus souvent qu’il ne perd

Answer: (A)

Explanation

Un jeu est équitable lorsque l’espérance du gain est nulle. La variance ne sert pas à qualifier le caractère équitable du jeu.

10. Si l’espérance du gain d’un jeu est négative, comment le jeu est-il interprété pour le joueur ?

A. Comme un jeu équitable

B. Comme un jeu sans risque

C. Comme un jeu défavorable

D. Comme un jeu favorable

Answer: (C)

Explanation

Une espérance négative signifie que le gain moyen est défavorable au joueur. Un jeu favorable correspond au contraire à une espérance positive.

11. Dans un exercice de variable aléatoire, quel est le rôle principal de la calculatrice après le calcul à la main ?

A. Remplacer la construction de la loi de probabilité

B. Confirmer les résultats obtenus pour l’espérance, la variance et l’écart-type

C. Modifier les gains pour rendre le jeu équitable

D. Déterminer directement les issues de l’univers

Answer: (B)

Explanation

La calculatrice sert à vérifier les résultats calculés à la main pour l’espérance, la variance et l’écart-type. Elle ne remplace pas la construction de la loi de probabilité ni l’analyse du jeu.

12. Dans une comparaison de deux actions, sur quel critère faut-il s’appuyer pour choisir l’action la moins volatile ?

A. La plus grande espérance uniquement

B. La plus petite variance ou le plus petit écart-type

C. La somme des gains bruts sur chaque scénario

D. Le plus grand nombre d’issues possibles

Answer: (B)

Explanation

Une action est dite moins volatile lorsqu’elle présente une dispersion plus faible, donc une variance ou un écart-type plus petit. L’espérance indique plutôt le gain moyen, pas la volatilité.