Modèle binomial et valorisation d'options

📋 Plan du Cours

1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein
2. Arbitrage et Probabilités
3. Évolution binomiale d'un actif
4. Calcul de la prime d'option
5. Hedging et Delta
6. Extensions multi-périodes
7. Calcul u et d
8. Options américaines vs européennes
9. Application à la parité call-put

📖 1. Modèle Cox-Ross-Rubinstein

🔑 Notions clés & Définitions

• Arbre binomial (Cox, Ross et Rubinstein, 1979) : Représentation discrète de l'évolution du prix d’un actif sous forme d’un arbre à deux branches à chaque étape, illustrant toutes les trajectoires possibles du sous-jacent.
• Probabilité risque-neutre (q) : Probabilité artificielle calculée pour évaluer le prix de l’option en neutralisant le risque, donnée par $q = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$, où $r$ est le taux sans risque, $u$ et $d$ sont les facteurs de croissance à la hausse et à la baisse.
• Hedging delta (∆) : Quantité d’actifs à détenir pour neutraliser le risque de l’option, calculée par $\Delta = \frac{c_{u} - c_{d}}{S_{0} (u - d)}$, où $c_{u}$ et $c_{d}$ sont les valeurs de l’option dans les états haut et bas.
• Valeur de l’option en période t (c0) : Prix actuel de l’option, obtenu par la formule $c_{0} = e^{-r \Delta t} (q c_{u} + (1 - q) c_{d})$, intégrant la probabilité risque-neutre.
• Estimation u et d (volatilité) : Paramètres de croissance à la hausse et à la baisse, estimés par $u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$ et $d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}$, où…