Quiz: Analyse des fonctions et suites fondamentales — 12 questions

1. Dans l’étude d’un trinôme du second degré, que permet de déterminer le discriminant Δ ?

A. La somme de ses coefficients

B. Le coefficient directeur de sa tangente

C. Le nombre de racines réelles du trinôme

D. La valeur de son sommet uniquement

Answer: (C)

Explanation

Le discriminant Δ = b² - 4ac permet de savoir combien de racines réelles possède le trinôme. S’il est positif, nul ou négatif, on conclut respectivement à deux, une ou aucune racine réelle.

2. Dans la forme canonique f(x)=a(x-α)²+β d’un trinôme, quelle expression donne α ?

A. α = -c/a

B. α = b² - 4ac

C. α = f(α)

D. α = -b/(2a)

Answer: (D)

Explanation

Le paramètre α de la forme canonique vaut bien -b/(2a). La quantité β correspond, elle, à la valeur f(α).

3. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y = f'(a)(x-a)+f(a)

B. y = f(a)(x-a)+f'(a)

C. y = f'(a)x+f(a)

D. y = f'(x)(a-x)+f(a)

Answer: (A)

Explanation

La tangente en x = a passe par le point (a,f(a)) et a pour pente f'(a), d’où y = f'(a)(x-a)+f(a). Les autres propositions confondent la pente et l’ordonnée du point de contact.

4. Que peut-on conclure si f'(x) est positif sur un intervalle ?

A. La fonction f est constante sur cet intervalle

B. La fonction f admet forcément une racine

C. La fonction f est croissante sur cet intervalle

D. La fonction f est décroissante sur cet intervalle

Answer: (C)

Explanation

Un signe positif de la dérivée traduit une fonction croissante. À l’inverse, une dérivée négative indique une fonction décroissante.

5. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle x ↦ e^x ?

A. Elle est décroissante sur ℝ

B. Elle est paire sur ℝ

C. Elle peut être nulle pour certaines valeurs de x

D. Elle est strictement positive pour tout réel x

Answer: (D)

Explanation

On a e^x > 0 pour tout réel x, donc la fonction exponentielle ne s’annule jamais. Elle est en plus strictement croissante sur ℝ.

6. Quelle est la dérivée de la fonction exponentielle x ↦ e^x ?

A. x e^{x-1}

B. 1

C. e^x

D. e^{x-1}

Answer: (C)

Explanation

La dérivée de e^x est elle-même : (e^x)' = e^x. C’est une propriété fondamentale de l’exponentielle.

7. Comment s’écrit le terme général d’une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r ?

A. u_n = u0 + r^n

B. u_n = u0 × r^n

C. u_n = u0 - nr

D. u_n = u0 + nr

Answer: (D)

Explanation

Dans une suite arithmétique, on ajoute la même raison à chaque étape, d’où u_n = u0 + nr. La forme avec une puissance correspond au contraire à une suite géométrique.

8. Quelle formule donne la somme d’une suite arithmétique de n termes ?

A. n × (premier + dernier) / 2

B. premier + dernier × n

C. n × premier × dernier

D. premier × (1 - q^n) / (1 - q)

Answer: (A)

Explanation

La somme d’une suite arithmétique vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme. La formule avec une puissance est celle d’une suite géométrique.

9. Quelle expression donne le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées (x,y) et (x',y') ?

A. x + x' + y + y'

B. (x+x')(y+y')

C. xx' - yy'

D. xx' + yy'

Answer: (D)

Explanation

Dans un repère, le produit scalaire se calcule par xx' + yy'. Cette expression est spécifique aux coordonnées des deux vecteurs.

10. Dans un triangle ABC, quelle relation correspond au théorème d’Al-Kashi ?

A. BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cos(Â)

B. BC = AB + AC - 2·cos(Â)

C. BC² = AB² + AC² + 2·AB·AC·cos(Â)

D. BC² = AB² - AC² - 2·AB·AC·cos(Â)

Answer: (A)

Explanation

Le théorème d’Al-Kashi relie un côté au carré aux deux autres côtés et au cosinus de l’angle opposé. Le signe devant le terme en cosinus est négatif.

11. Dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées x, ya0a0et x', y'a0a0?

A. \|u\| \times \|v\|

B. x x' - y y'

C. x + x' + y + y'

D. x x' + y y'

Answer: (D)

Explanation

Le produit scalaire de deux vecteurs donnés par leurs coordonnées se calcule en multipliant les composantes de même rang puis en additionnant : x x' + y y'. La norme n’intervient pas dans cette formule de coordonnées.

12. Dans le triangle ABC, quelle relation correspond au théorème d’Al-Kashi ?

A. BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\cdot AC\cdot \cos(\widehat{A})

B. BC = AB + AC - 2\cos(\widehat{A})

C. AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2\,BC\cdot AC\cdot \cos(\widehat{B})

D. BC^2 = AB^2 + AC^2 + 2\,AB\cdot AC\cdot \cos(\widehat{A})

Answer: (A)

Explanation

Le théorème d’Al-Kashi relie le carré d’un côté à la somme des carrés des deux autres côtés moins deux fois leur produit, multiplié par le cosinus de l’angle opposé. Le signe est donc négatif devant le terme en cosinus.