Lernzettel: Analyse des racines et de la parabole du second degré

📋 Plan du Cours

1. Forme canonique et discriminant
2. Racines du trinôme
3. Factorisation et racines
4. Somme et produit des racines
5. Signe du trinôme
6. Variation de la parabole

📖 1. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme du second degré exprime le polynôme comme un carré complété plus ou moins une constante associée à Δ.
• Discriminant : Le discriminant Δ est l’expression Δ = b² − 4ac qui détermine le nombre et la nature des racines de l’équation p(x)=0.
• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est un polynôme p(x)=ax²+bx+c avec a≠0, possédant une représentation par une parabole.

📝 Points essentiels

• On considère p(x)=ax²+bx+c avec a≠0 et sa forme canonique est p(x)=a(x+b/2a)²−(b²−4ac)/(4a²).
• On pose le discriminant Δ=b²−4ac et il contrôle directement la présence de racines réelles ou non.
• Le terme constant de la forme canonique vaut −Δ/(4a²), ce qui relie Δ au minimum ou maximum de p selon le signe de a.

📖 2. Racines du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation p(x)=0 : Résoudre p(x)=0 revient à trouver les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.
• Racines distinctes : Des racines distinctes correspondent au cas où le discriminant est strictement positif, donnant deux solutions réelles différentes.
• Racine double : Une racine double correspond au cas où le discriminant est nul, et la même abscisse remplit les solutions de p(x)=0.
• Absence de racines réelles : Quand le discriminant est négatif, l’équation p(x)=0 n’admet pas de solution réelle.

📝 Points essentiels

• Si Δ>0, les racines sont $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si Δ=0, l’équation p(x)=0 admet une racine unique $x_0=\frac{-b}{2a}$ qui est double.
• Si Δ<0, p(x)=0 n’a pas de racines réelles.

📖 3. Factorisation et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : La factorisation consiste à écrire p(x) sous la forme produit de facteurs linéaires quand le discriminant permet des racines réelles.
• Somme des racines : La somme S désigne l’addition de deux racines distinctes et s’exprime en fonction des coefficients via S=−b/a quand Δ>0.
• Produit des racines : Le produit P désigne la multiplication de deux racines distinctes et s’exprime en fonction des coefficients via P=c/a quand Δ>0.
• Racine évidente : Une racine évidente est une racine connue d’avance, utilisée pour déterminer l’autre à l’aide du produit P/x₁.

📝 Points essentiels

• Si Δ>0, on factorise $p(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si Δ>0, la somme des racines vaut $S=-b/a$ et le produit vaut $P=c/a$.
• Si on connaît une racine $x_1$ avec Δ>0, alors l’autre racine est $x_2=P/x_1$.
• Si Δ=0, on a $p(x)=a(x-x_0)^2$.
• Si Δ<0, le trinôme ne se factorise pas dans le cadre des racines réelles.

📖 4. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• S : S représente la somme des deux racines lorsque Δ>0 et vaut S=−b/a.
• P : P représente le produit des deux racines lorsque Δ>0 et vaut P=c/a.
• Relation via x₁ : La relation via x₁ exprime l’autre racine par $x_2=P/x_1$ quand une racine est déjà identifiée.

📝 Points essentiels

• Pour Δ>0, $S=x_1+x_2=-b/a$ relie directement b et a aux racines.
• Pour Δ>0, $P=x_1x_2=c/a$ relie directement c et a aux racines.
• Si une racine $x_1$ est donnée, alors $x_2$ se calcule uniquement avec $x_2=P/x_1$.

📖 5. Signe du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe de p(x) : Le signe de p(x) indique si p(x) est positif, négatif ou nul selon la valeur de x.
• Extérieur des racines : L’extérieur des racines est l’ensemble des x situés avant la plus petite racine et après la plus grande racine, où le signe se fixe pour Δ>0.
• Intérieur des racines : L’intérieur des racines est l’intervalle entre les deux racines, où le signe s’inverse par rapport à l’extérieur quand Δ>0.
• Nul en x₀ : Quand Δ=0, p(x) s’annule en $x_0=-b/2a$ et garde ensuite le même signe.

📝 Points essentiels

• Si Δ>0, p(x) a le signe de a à l’extérieur des racines et le signe de −a à l’intérieur.
• Avec Δ>0, le tableau indique p(x) positif quand a>0 sur les zones $(-\infty,x_2)$ et $(x_1,+\infty)$, et négatif sur $(x_2,x_1)$ si a>0.
• Si Δ=0, p(x) est nul en $x_0=-b/2a$ et de signe a ailleurs.
• Si Δ<0, p(x) garde le signe de a sur ℝ.

📖 6. Variation de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet S : Le sommet S est l’abscisse b/2a qui correspond au point extrémal de la parabole.
• Orientation de la parabole : L’orientation de la parabole dépend du signe de a : tournée vers le haut si a>0 et vers le bas si a<0.
• Valeur en b/2a : La valeur de p au point d’abscisse b/2a vaut ±Δ/(4a) selon que la parabole est ouverte vers le haut ou vers le bas.

📝 Points essentiels

• Si a>0, la parabole est tournée vers le haut et admet p(b/2a)=Δ/(4a).
• Si a>0, on a $p(x)\to +\infty$ quand $x\to\pm\infty$ et la valeur minimale est Δ/(4a).
• Si a<0, la parabole est tournée vers le bas et admet $p(b/2a)=-\Delta/(4a)$.
• Si a<0, on a $p(x)\to -\infty$ quand $x\to\pm\infty$ et la valeur maximale est −Δ/(4a).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la formule du discriminant Δ=b²−4ac avec d’autres expressions : Δ décide du nombre de racines via son signe.
2. Se tromper de dénominateur dans les racines : le numérateur contient ±√Δ mais la division se fait toujours par 2a.
3. Inverser les intervalles de signe quand Δ>0 : le signe de a vaut à l’extérieur et celui de −a vaut à l’intérieur.
4. Oublier le cas Δ=0 : on obtient une racine double $x_0=-b/2a$ et le trinôme est nul en ce point.
5. Confondre la valeur en b/2a : elle vaut Δ/(4a) si a>0 et −Δ/(4a) si a<0.
6. Croire que Δ<0 permet une factorisation réelle : le cours indique explicitement que le trinôme ne se factorise pas dans ce cas.

✅ Checklist Examen

1. Donner la forme canonique de p(x)=ax²+bx+c avec a≠0 sous la forme $p(x)=a(x+b/2a)^2-\Delta/(4a^2)$.
2. Calculer le discriminant Δ à partir de b²−4ac et expliquer comment son signe intervient.
3. Résoudre p(x)=0 pour Δ>0 en donnant les deux racines $(-b±\sqrt{\Delta})/(2a)$.
4. Résoudre p(x)=0 pour Δ=0 en donnant la racine double $-b/(2a)$.
5. Conclure pour Δ<0 sur l’absence de racines réelles.
6. Factoriser p(x) quand Δ>0 sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
7. Énoncer les formules $S=-b/a$ et $P=c/a$ pour Δ>0.
8. Déduire $x_2$ à partir d’une racine connue $x_1$ via $x_2=P/x_1$.
9. Factoriser p(x) pour Δ=0 sous la forme $a(x-x_0)^2$.
10. Décrire le signe de p(x) pour Δ>0 à l’extérieur et à l’intérieur des racines.
11. Décrire le signe de p(x) pour Δ=0 : nul en $x_0$ et signe a ailleurs.
12. Décrire le signe de p(x) pour Δ<0 : signe constant égal à a sur ℝ.
13. Donner l’abscisse du sommet b/2a et son rôle dans les variations.
14. Énoncer les variations pour a>0 : parabole ouverte vers le haut et minimum égal à Δ/(4a).