Quiz: Analyse des racines et de la parabole du second degré — 12 domande

1. Quelle expression correspond à la forme canonique d’un trinôme du second degré p(x)=ax²+bx+c ?

A. a(x²+b/a)+c

B. a(x+b/2a)²−(b²−4ac)/(4a²)

C. (ax+b)²−4ac

D. a(x−b/2a)²+(b²−4ac)/(4a²)

Answer: (B)

Spiegazione

La forme canonique s’écrit bien sous la forme d’un carré complété, avec le terme constant lié au discriminant. Les autres propositions modifient le signe ou la structure de la formule.

2. Que permet de déterminer le discriminant Δ=b²−4ac pour un trinôme du second degré ?

A. Le sommet de la parabole uniquement

B. Le degré du polynôme

C. Le nombre et la nature des racines réelles

D. La pente de la droite tangente

Answer: (C)

Spiegazione

Le discriminant sert à savoir s’il existe zéro, une ou deux racines réelles, et s’il y a racine double ou non. Il ne donne pas seulement le sommet, même s’il intervient aussi dans la forme canonique.

3. Que représente la résolution de p(x)=0 pour une fonction trinôme ?

A. Les valeurs de p(x) toujours positives

B. Les abscisses des points d’intersection avec l’axe des abscisses

C. Les points d’intersection avec l’axe des ordonnées

D. Les ordonnées du sommet de la parabole

Answer: (B)

Spiegazione

Résoudre p(x)=0 revient à trouver les abscisses où la parabole coupe l’axe des abscisses. Ce ne sont ni les ordonnées du sommet ni les intersections avec l’axe des ordonnées.

4. Dans quel cas l’équation p(x)=0 admet-elle une racine double ?

A. Lorsque a=0

B. Lorsque Δ<0

C. Lorsque Δ=0

D. Lorsque Δ>0

Answer: (C)

Spiegazione

Quand le discriminant est nul, les deux solutions se confondent en une racine unique, dite double. Si Δ>0, il y a deux racines distinctes ; si Δ<0, il n’y a pas de racine réelle.

5. Sous quelle forme factorise-t-on un trinôme lorsque Δ>0 ?

A. (x−x₁)+(x−x₂)

B. a(x−x₁)(x−x₂)

C. a(x+x₁)(x+x₂)

D. a(x−x₀)²

Answer: (B)

Spiegazione

Quand le discriminant est positif, le trinôme se met en produit de deux facteurs linéaires correspondant aux deux racines réelles. La forme a(x−x₀)² est réservée au cas Δ=0.

6. Si Δ>0 et qu’une racine x₁ est connue, comment obtient-on l’autre racine x₂ ?

A. x₂=x₁+P

B. x₂=P/x₁

C. x₂=S−x₁

D. x₂=−x₁

Answer: (B)

Spiegazione

Le produit des racines vaut P, donc x₁x₂=P et on en déduit x₂=P/x₁. Les autres relations ne correspondent pas à la formule donnée pour le trinôme.

7. Quelle est la somme des deux racines d’un trinôme lorsque Δ>0 ?

A. c/a

B. −c/a

C. b/a

D. −b/a

Answer: (D)

Spiegazione

Pour deux racines réelles distinctes, la somme S vaut −b/a. Le rapport c/a correspond au produit des racines, pas à leur somme.

8. Quel est le produit des deux racines d’un trinôme lorsque Δ>0 ?

A. −c/b

B. −b/a

C. a/c

D. c/a

Answer: (D)

Spiegazione

Le produit P des racines est égal à c/a quand les deux racines sont réelles et distinctes. La quantité −b/a correspond, elle, à leur somme.

9. Lorsque Δ>0, quel est le signe de p(x) à l’extérieur des deux racines ?

A. Le signe de a

B. Le signe de −a

C. Toujours nul

D. Toujours positif

Answer: (A)

Spiegazione

Pour un trinôme à deux racines réelles, p(x) prend le signe de a à l’extérieur des racines et le signe opposé à l’intérieur. Ce n’est donc pas toujours positif.

10. Quel est le signe de p(x) sur ℝ lorsque Δ<0 ?

A. Le signe de −a sur tout ℝ

B. Nul en une racine double

C. Positif seulement entre deux points

D. Le signe de a sur tout ℝ

Answer: (D)

Spiegazione

Quand le discriminant est négatif, il n’y a pas de racines réelles et le trinôme garde le même signe que a sur tout l’ensemble des réels. La racine double correspond au cas Δ=0, pas Δ<0.

11. Lorsque le coefficient a est positif, quelle est la forme générale de la variation de la parabole ?

A. Elle est tournée vers le bas et admet un maximum

B. Elle change de sens de courbure au sommet

C. Elle est tournée vers le haut et admet un minimum

D. Elle est horizontale et garde une valeur constante

Answer: (C)

Spiegazione

Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut. Elle admet donc une valeur minimale au sommet, et non un maximum.

12. Quand le coefficient a est négatif, quelle affirmation décrit correctement le comportement de la parabole à l’infini et la nature de son extremum ?

A. Elle tend vers moins l’infini aux deux extrémités et admet un maximum

B. Elle coupe l’axe des abscisses une seule fois et admet un minimum

C. Elle tend vers une valeur finie aux deux extrémités et n’a pas d’extrémum

D. Elle tend vers plus l’infini aux deux extrémités et admet un minimum

Answer: (A)

Spiegazione

Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas, donc p(x) tend vers -∞ quand x tend vers ±∞ et la valeur au sommet est un maximum. L’option du minimum correspond au cas a > 0.