Quiz: Cours sur la Continuité et la Dérivée — 20 domande

1. Quand une fonction admet-elle une limite finie en un point ?

A. Quand ses valeurs restent arbitrairement proches d’un réel ℓ près de ce point

B. Quand elle est définie seulement à droite du point

C. Quand ses valeurs deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue près de ce point

D. Quand elle prend la même valeur de part et d’autre du point

Answer: (A)

Spiegazione

Une limite finie signifie que les valeurs de la fonction se rapprochent autant qu’on veut d’un réel ℓ au voisinage du point. L’option « limite infinie » décrit au contraire des valeurs qui deviennent arbitrairement grandes.

2. Dans quel cas la limite en a existe-t-elle ?

A. Quand la limite à gauche existe et la limite à droite existe, avec la même valeur

B. Quand la fonction est définie en a, même sans limite latérale

C. Quand la limite à gauche existe, même si la limite à droite diffère

D. Quand la fonction reste positive au voisinage de a

Answer: (A)

Spiegazione

La limite en a existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent toutes deux et coïncident. Le simple fait d’être définie en a ne suffit pas.

3. Que signifie f(x) ~ g(x) au voisinage d’un point ?

A. Que f(x) et g(x) ont des limites infinies de même signe

B. Que le rapport f(x)/g(x) tend vers 1 lorsque g ne s’annule pas près du point

C. Que f(x) et g(x) ont exactement la même valeur au point

D. Que f(x) est toujours plus petite que g(x) près du point

Answer: (B)

Spiegazione

Deux fonctions sont équivalentes lorsque leur rapport tend vers 1, en particulier si le dénominateur ne s’annule pas près du point. Cela permet aussi de conclure qu’elles ont la même limite lorsqu’elle existe.

4. Si deux fonctions sont équivalentes près d’un point, que peut-on affirmer sur leur signe au voisinage de ce point ?

A. Elles ont nécessairement des signes opposés

B. L’une est forcément nulle et l’autre non

C. Leur signe dépend uniquement de la valeur au point

D. Elles ont le même signe au voisinage du point, sauf éventuellement au point lui-même

Answer: (D)

Spiegazione

Des fonctions équivalentes ont un rapport qui tend vers 1, donc elles finissent par avoir le même signe près du point, hors éventuellement au point lui-même. Les signes opposés sont au contraire incompatibles avec une équivalence.

5. Quelle condition caractérise la continuité d’une fonction en x₀ ?

A. La fonction admet une dérivée en x₀

B. La fonction est bornée au voisinage de x₀

C. Les limites à gauche et à droite sont infinies

D. La fonction est définie en x₀ et sa limite en x₀ vaut f(x₀)

Answer: (D)

Spiegazione

La continuité en x₀ exige à la fois que la fonction soit définie en x₀ et que la limite en ce point soit égale à la valeur de la fonction. La dérivabilité est une propriété plus forte, mais non nécessaire.

6. Quel énoncé décrit correctement un prolongement par continuité en x₀ ?

A. On remplace la limite par une valeur approchée quelconque

B. On dérive la fonction en x₀ pour supprimer la discontinuité

C. On choisit f(x₀) égal à la limite commune pour rendre la fonction continue en x₀

D. On modifie les valeurs de la fonction sur tout l’intervalle

Answer: (C)

Spiegazione

Un prolongement par continuité consiste à définir la valeur en x₀ de façon à égaler la limite commune, lorsque celle-ci existe. Cela rétablit la continuité sans changer le comportement voisin.

7. Que signifie qu’une fonction est continue sur un intervalle ?

A. Elle est constante sur cet intervalle

B. Elle est dérivable en tout point de cet intervalle

C. Elle est continue en tout point de cet intervalle

D. Elle admet une limite finie aux extrémités seulement

Answer: (C)

Spiegazione

La continuité sur un intervalle signifie la continuité en chacun de ses points. La dérivabilité est une propriété différente et plus restrictive.

8. Que garantit une fonction continue sur un segment [a,b] ?

A. Elle admet une tangente en chaque point

B. Elle est bornée et atteint un maximum ainsi qu’un minimum

C. Elle ne prend que des valeurs positives

D. Elle est forcément strictement croissante

Answer: (B)

Spiegazione

Sur un segment, une fonction continue est bornée et atteint ses bornes, donc elle possède un maximum et un minimum. La croissance stricte ou la positivité ne sont pas imposées.

9. Que dit le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur [a,b] ?

A. La fonction admet un inverse sur tout intervalle

B. Toute valeur comprise entre f(a) et f(b) est prise au moins une fois

C. La fonction prend uniquement les valeurs de ses extrémités

D. La fonction est nécessairement monotone

Answer: (B)

Spiegazione

Le théorème des valeurs intermédiaires assure que toute valeur entre f(a) et f(b) est atteinte par la fonction continue. C’est l’idée de “pas de trous” dans l’image.

10. Sous quelles hypothèses une fonction continue et strictement monotone réalise-t-elle une bijection ?

A. Sur un intervalle I et son image J=f(I)

B. Seulement si elle est aussi dérivable partout

C. Uniquement si I est un segment fermé

D. Seulement si elle est constante sur I

Answer: (A)

Spiegazione

Une fonction continue et strictement monotone est bijective de l’intervalle I sur son image J=f(I). Sa réciproque est alors monotone et continue sur J.

11. Comment s’écrit la dérivée de la fonction f en un point x₀ ?

A. Comme la valeur de f en x₀ diminuée de f(x₀−1)

B. Comme la pente de la corde entre x₀ et x₀+1

C. Comme la différence f(x₀+h)−f(x₀) sans division

D. Comme la limite du taux d’accroissement quand x tend vers x₀

Answer: (D)

Spiegazione

La dérivée en x₀ est définie comme la limite du quotient (f(x)−f(x₀))/(x−x₀) lorsque x tend vers x₀. Ce quotient mesure le taux d’accroissement local.

12. Si une fonction est dérivable en x₀, que peut-on conclure sur sa courbe en ce point ?

A. Elle admet une tangente de pente f’(x₀)

B. Elle est forcément constante au voisinage de x₀

C. Elle coupe forcément l’axe des abscisses en x₀

D. Elle possède une tangente verticale

Answer: (A)

Spiegazione

Quand la dérivée existe, elle donne la pente de la tangente à la courbe au point considéré. La tangente verticale correspond au cas d’une dérivée infinie, pas à une dérivée finie.

13. Sous quelles hypothèses la fonction réciproque d’une fonction dérivable est-elle dérivable ?

A. La fonction doit être monotone, même sans bijection

B. La fonction doit être seulement continue sur l’intervalle

C. La fonction doit être dérivable et bijective, avec dérivée non nulle

D. La fonction doit avoir une dérivée nulle partout

Answer: (C)

Spiegazione

Si f est dérivable sur un intervalle, bijective sur son image et vérifie f’≠0, alors sa réciproque est dérivable. Les seules continuité ou monotonie ne suffisent pas à elles seules.

14. Quelle formule donne la dérivée de la réciproque f⁻¹ lorsque les hypothèses sont réunies ?

A. (f⁻¹)’ = 1 / f’

B. (f⁻¹)’ = 1 / (f’ ∘ f⁻¹)

C. (f⁻¹)’ = f’ ∘ f⁻¹

D. (f⁻¹)’ = f⁻¹ ∘ f’

Answer: (B)

Spiegazione

La dérivée de la réciproque s’exprime par l’inverse de la dérivée composée avec f⁻¹. C’est la formule classique d’inversion de la dérivée.

15. Dans le théorème de Rolle, quelle conclusion obtient-on sous les hypothèses usuelles ?

A. La fonction prend toutes les valeurs entre ses bornes

B. La fonction est forcément constante sur tout l’intervalle

C. Il existe un point intérieur où la dérivée s’annule

D. La dérivée est toujours strictement positive

Answer: (C)

Spiegazione

Le théorème de Rolle affirme que si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et vérifie f(a)=f(b), alors il existe c intérieur tel que f’(c)=0. C’est la conclusion caractéristique du résultat.

16. Que garantit le théorème des accroissements finis pour une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ ?

A. Il existe c tel que f’(c)=0

B. Il existe c tel que f soit constante entre a et b

C. Il existe c tel que f(c)=0

D. Il existe c tel que f’(c) égale la pente de la sécante

Answer: (D)

Spiegazione

Les accroissements finis assurent l’existence d’un point intérieur où la dérivée prend exactement la pente moyenne entre a et b. La pente de la sécante vaut (f(b)−f(a))/(b−a).

17. Que permet de conclure le signe de la dérivée sur un intervalle pour une fonction dérivable ?

A. L’existence d’une tangente verticale

B. La présence d’une limite infinie

C. La continuité de la fonction en un point isolé

D. Le sens de variation de la fonction sur l’intervalle

Answer: (D)

Spiegazione

Le signe de f’ contrôle les variations : f’≥0 entraîne une fonction croissante, et f’≤0 une fonction décroissante. C’est le lien central entre dérivée et variations.

18. Pour une fonction dérivable sur un intervalle, que signifie le fait que f’ soit identiquement nulle ?

A. La fonction admet un maximum unique

B. La fonction est strictement croissante

C. La fonction est constante sur l’intervalle

D. La fonction n’est pas dérivable

Answer: (C)

Spiegazione

Si f’=0 sur tout l’intervalle, alors la fonction ne varie pas et est constante. C’est l’équivalence donnée dans le cours.

19. Comment définit-on la dérivée d’ordre n d’une fonction ?

A. Comme une limite de quotients aux bornes

B. Par récurrence en dérivant n fois la fonction

C. Comme la dérivée seconde uniquement

D. Comme une composition répétée de la fonction avec elle-même

Answer: (B)

Spiegazione

On pose f⁽⁰⁾=f puis f⁽ⁿ⁺¹⁾=(f⁽ⁿ⁾)’ ; la dérivée d’ordre n est donc obtenue en dérivant successivement n fois. La définition est récursive.

20. Que faut-il vérifier pour qu’une fonction appartienne à Cⁿ(I) ?

A. Qu’elle soit dérivable n fois et que sa n-ième dérivée soit continue sur I

B. Qu’elle soit strictement monotone sur I

C. Qu’elle ait des dérivées de tout ordre sans condition de continuité

D. Qu’elle soit seulement dérivable une fois sur I

Answer: (A)

Spiegazione

La classe Cⁿ(I) regroupe les fonctions dérivables n fois dont la n-ième dérivée est continue sur I. L’existence seule des dérivées ne suffit pas.