Lernzettel: Cours sur la Continuité et la Dérivée

📋 Plan du Cours

1. Notions de limite
2. Comparaison et équivalents
3. Continuité en un point
4. Continuité sur un intervalle
5. Valeurs intermédiaires et bijection
6. Dérivée en un point
7. Dérivabilité et fonction réciproque
8. Rolle et accroissements finis
9. Dérivée et variations
10. Dérivées d'ordre supérieur

📖 1. Notions de limite

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une fonction admet une limite finie en un point si, près de ce point, ses valeurs restent arbitrairement proches d’un nombre réel ℓ.
• Limite infinie : Une fonction admet une limite infinie en un point si, près de ce point, ses valeurs deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue dans un sens donné.
• Limite à droite : La limite à droite en a est la limite des valeurs quand x approche a en restant strictement supérieur à a.
• Limite à gauche : La limite à gauche en a est la limite des valeurs quand x approche a en restant strictement inférieur à a.
• Voisinage d’un point : Un voisinage de a est un intervalle autour de a, choisi assez petit, ou un intervalle du type ]A,+∞[ / ]-∞,A[ aux bornes.

📝 Points essentiels

• La limite, si elle existe, est unique, qu’elle soit finie ou infinie.
• Une limite en a existe si et seulement si la limite à gauche et la limite à droite existent et sont égales.
• Si f(x)→ℓ avec ℓ>0 alors f(x) reste positive au voisinage de a.
• Si au voisinage de a, f(x)≤g(x), alors à la limite on obtient ℓ≤ℓ' quand f(x)→ℓ et g(x)→ℓ'.
• Si f et g ont respectivement des limites infinies, l’inégalité f(x)≤g(x) force la même direction : f(x) ne peut pas “monter” au-dessus de g(x).

📖 2. Comparaison et équivalents

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème d’encadrement : Le théorème d’encadrement dit qu’une fonction est forcée d’avoir la même limite qu’un majorant et un minorant qui convergent tous deux vers ℓ.
• Équivalence en un point : Deux fonctions sont équivalentes au voisinage de a si leur rapport tend vers 1 grâce à un facteur qui converge vers 1.
• Équivalence et quotient : Quand le dénominateur ne s’annule pas près de a, l’équivalence se lit comme un quotient qui tend vers 1.
• Même signe via équivalence : Si deux fonctions sont équivalentes près de a, elles ont le même signe près de a, sauf éventuellement au point a lui-même.
• Chaînes d’équivalences : On peut combiner des équivalences pour obtenir de nouvelles équivalences pour produits, quotients et puissances.

📝 Points essentiels

• Si f(x) ~ₐ g(x) et si g ne s’annule pas près de a, alors f(x)/g(x)→1 et réciproquement.
• Si f(x) ~ₐ g(x), alors f(x) et g(x) sont de même signe au voisinage de a.
• Si f(x) ~ₐ g(x) et si g admet une limite en a, alors f admet la même limite en a.
• f(x) ~ₐ g(x) et g(x) ~ₐ h(x) implique f(x) ~ₐ h(x).
• (1+x)^α-1 ~ₐ αx et ln(1+x) ~₀ x quand x→0, avec des équivalents usuels listés au programme.

💡 Astuce mémo

~ : “rapport→1” et “même limite”.

📖 3. Continuité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en x₀ : Une fonction est continue en x₀ si elle est définie en x₀ et si sa limite quand x→x₀ vaut exactement f(x₀).
• Continuité à droite : Une fonction est continue à droite en x₀ si la limite de f(x) quand x→x₀⁺ vaut f(x₀).
• Continuité à gauche : Une fonction est continue à gauche en x₀ si la limite de f(x) quand x→x₀⁻ vaut f(x₀).
• Caractérisation droite-gauche : La continuité en x₀ équivaut au fait d’être continue à droite et à gauche en ce point.
• Prolongement par continuité : Un prolongement par continuité remplace la valeur en x₀ pour forcer la limite à gauche et à droite à coïncider avec la valeur posée.

📝 Points essentiels

• f est continue en x₀ si et seulement si la limite à droite et la limite à gauche existent et sont égales à f(x₀).
• Une fonction dérivable en x₀ est continue en x₀, mais une fonction continue n’est pas forcément dérivable en x₀.
• Si la limite vaut ℓ et que ℓ n’est pas défini au point, un prolongement par continuité fixe f(x₀)=ℓ pour coïncider avec la limite.
• Pour prolonger par continuité, il faut que lim(x→x₀⁻)f(x) et lim(x→x₀⁺)f(x) soient égales (et finies ou infinies selon le cadre du cours).

📖 4. Continuité sur un intervalle

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité sur un intervalle : Une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle.
• C⁰(I) : C⁰(I) désigne l’ensemble des fonctions continues sur l’intervalle I.
• Continuité sur un segment : La continuité sur un segment [a,b] signifie que la fonction est continue en tout point de ce segment, y compris aux extrémités.
• Bornitude atteinte : Sur un segment, une fonction continue atteint un maximum et un minimum sur tout le segment.
• Extrema sur un segment : Les extrema (max et min) d’une fonction continue sur [a,b] existent et sont atteints pour au moins un point du segment.

📝 Points essentiels

• Toute fonction continue sur un segment [a,b] est bornée et atteint ses bornes, donc possède un maximum et un minimum sur [a,b].
• Sur le cours, la continuité est toujours formulée pour un intervalle précis, car le domaine change l’analyse de la propriété.
• L’ensemble C⁰(I) correspond exactement aux fonctions continues sur I, par définition.
• La continuité sur un segment implique que l’image respecte la borne interne : on n’a pas “d’échappement” hors de [a,b].

📖 5. Valeurs intermédiaires et bijection

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème des valeurs intermédiaires : Le théorème des valeurs intermédiaires garantit qu’une fonction continue prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b).
• Image d’un intervalle par une fonction continue : L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
• Théorème de la bijection : Une fonction continue et strictement monotone réalise une bijection entre un intervalle et son image.
• Bijection réciproque : La réciproque d’une bijection de fonctions strictement monotones est elle aussi monotone et continue sur l’image.

📝 Points essentiels

• Si f est continue sur [a,b], alors pour tout k entre f(a) et f(b), il existe c∈[a,b] tel que f(c)=k.
• Le corollaire affirme que l’image par une fonction continue d’un intervalle est un intervalle.
• Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur J=f(I).
• La réciproque f⁻¹ est monotone de même sens que f et elle est continue sur J.
• Le programme relie la continuité et la bijection pour résoudre des équations comme f(x)=k via l’existence de c tel que f(c)=k.

💡 Astuce mémo

Continuité → “pas de trous” ; monotonie + continuité → “pas de doublons”.

📖 6. Dérivée en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée en x₀ : La dérivée en x₀ est la limite, si elle existe, du taux d’accroissement quand x tend vers x₀.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement mesure la variation relative f(x)−f(x₀) sur l’écart x−x₀.
• Pente de la tangente : Quand f est dérivable en x₀, la dérivée donne la pente de la tangente à la courbe en (x₀,f(x₀)).
• Tangente verticale : Une dérivée “infinie” au sens du taux d’accroissement signale une tangente verticale d’équation x=x₀.
• Tangente cartésienne : L’équation de la tangente s’écrit avec la pente f’(x₀) et l’ordonnée f(x₀) au point de contact.

📝 Points essentiels

• f dérivable en x₀ signifie que (f(x)−f(x₀))/(x−x₀) admet une limite finie en x₀, notée f’(x₀).
• Sous existence, f’(x₀) est la pente de la tangente en x₀ et la tangente vérifie y=f’(x₀)(x−x₀)+f(x₀).
• Si lim(x→x₀)(f(x)−f(x₀))/(x−x₀)=∞, alors la courbe admet une tangente verticale d’équation x=x₀.
• Si f est dérivable en x₀, alors f est continue en x₀, mais la réciproque est fausse (ex. valeur absolue en 0).
• Si f est dérivable en x₀ et f’(x₀)≠0, alors f(x)−f(x₀) ~ f’(x₀)(x−x₀).

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente locale (limite du taux d’accroissement).

📖 7. Dérivabilité et fonction réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur I si elle est dérivable en tout point de I.
• Dérivée à droite : La dérivée à droite en x₀ est la limite finie du taux d’accroissement quand x→x₀⁺.
• Dérivée à gauche : La dérivée à gauche en x₀ est la limite finie du taux d’accroissement quand x→x₀⁻.
• Fonctions C¹ : C¹(I) désigne les fonctions dérivables sur I dont la dérivée est continue sur I.
• Inversion de la dérivée : Pour une réciproque, la dérivée s’exprime par la formule impliquant 1/(f’∘f⁻¹) lorsque f vérifie les hypothèses.

📝 Points essentiels

• La dérivabilité en x₀ équivaut à la dérivabilité à droite et à gauche, avec égalité f’_d(x₀)=f’_g(x₀).
• Si f est dérivable sur I et bijective de I sur J avec f’ non nul, alors f⁻¹ est dérivable sur J.
• Dans ces conditions, la dérivée de la réciproque vérifie (f⁻¹)’ = 1/(f’∘f⁻¹).
• L’arctan est dérivable sur ℝ et sa dérivée vaut 1/(1+x²).
• Pour montrer la dérivabilité en un point, on retombe sur la définition quand les opérations usuelles ne suffisent plus.

💡 Astuce mémo

Inversion : dérivée inverse = “1 sur dérivée composée”.

📖 8. Rolle et accroissements finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Rolle : Sous des hypothèses de continuité, dérivabilité et égalité des valeurs aux bornes, il existe un point intérieur où la dérivée s’annule.
• Théorème des accroissements finis : Sous continuité et dérivabilité entre deux bornes, il existe un point intérieur où la dérivée vaut la pente de la sécante.
• Condition de dérivée nulle : Le résultat de Rolle assure l’existence d’un point intérieur où la pente instantanée est nulle.
• Pente de la sécante : La pente (f(b)−f(a))/(b−a) est la dérivée moyenne entre a et b, et les accroissements finis identifient un point où elle est atteinte.

📝 Points essentiels

• Rolle : si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors il existe c∈]a,b[ tel que f’(c)=0.
• Accroissements finis : si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors il existe c∈]a,b[ tel que f’(c)=(f(b)−f(a))/(b−a).
• Interprétation graphique : les accroissements finis relient la dérivée en un point à la pente d’une sécante entre deux points de la courbe.
• Dans l’exercice avec arctan, on utilise la borne issue de l’inégalité des accroissements pour comparer arctan(b)−arctan(a) et b−a.

📖 9. Dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions constantes : Une fonction est constante sur un intervalle si toutes ses valeurs y sont identiques.
• Croissance et décroissance : Une fonction est croissante si ses valeurs augmentent avec la variable sur l’intervalle, décroissante si elles diminuent.
• Strictement monotone : Une fonction est strictement croissante ou décroissante si l’inégalité sur les valeurs est stricte dès qu’on compare deux points distincts de l’intervalle.
• Signe de la dérivée : Les variations d’une fonction dérivable sont déterminées par le signe de sa dérivée sur l’intervalle.

📝 Points essentiels

• Pour f dérivable sur I, f’=0 sur I si et seulement si f est constante sur I.
• Pour f dérivable sur I, f’≥0 sur I si et seulement si f est croissante sur I, et f’≤0 sur I si et seulement si f est décroissante.
• Si f’>0 sauf en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I (et analogue pour f’<0).
• La dérivée permet aussi de localiser les extrema via la condition f’(x₀)=0 au point d’extremum local non-borne.

💡 Astuce mémo

Signe de f’ → variation : + croît, − décroît, 0 constant.

📖 10. Dérivées d'ordre supérieur

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée n fois : La dérivée d’ordre n est définie par récurrence : on dérive n fois la fonction pour obtenir f⁽ⁿ⁾.
• Notation f⁽ⁿ⁾ : La notation f⁽ⁿ⁾ désigne la dérivée d’ordre n obtenue à partir de la définition par récurrence.
• Classe Cⁿ : Une fonction est de classe Cⁿ sur I si elle est dérivable n fois et si sa n-ième dérivée est continue sur I.
• Classe C∞ : Une fonction est de classe C∞ sur I si elle possède des dérivées d’ordre n pour tout n et que ces dérivées existent sur I.

📝 Points essentiels

• On pose f⁽⁰⁾=f et on définit f⁽ⁿ⁺¹⁾=(f⁽ⁿ⁾)’ pour obtenir la dérivée d’ordre supérieur par récurrence.
• Cⁿ(I) est l’ensemble des fonctions dérivables n fois dont la dérivée d’ordre n est continue sur I.
• On a l’inclusion C∞(I) ⊂ … ⊂ C²(I) ⊂ C¹(I) ⊂ C⁰(I).
• Si f et g appartiennent à Cⁿ(I), alors f+g, f×g et λf sont aussi dans Cⁿ(I.
• Si f est Cⁿ(I) et ne s’annule pas sur I, alors 1/f est aussi Cⁿ(I) et si f(I)⊂J alors g∘f est Cⁿ(I).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre limite à droite et limite à gauche : elles peuvent exister mais donner des valeurs différentes, empêchant la limite en a d’exister.
2. Croire que continuité implique dérivabilité : une fonction peut être continue sans être dérivable (contre-exemple fourni : |x| en 0).
3. Oublier que le théorème des valeurs intermédiaires nécessite la continuité sur [a,b] : sans continuité, une valeur entre f(a) et f(b) peut ne jamais être prise.
4. Se tromper dans la dérivée : la tangente a pour pente f’(x₀) et non une valeur approchée ou une pente de sécante.
5. Penser que le signe de f’ au point suffit : le théorème de variation utilise le signe sur tout l’intervalle (avec la règle “sauf un nombre fini de points”).
6. Confondre dérivable en x₀ et dérivable sur I : la première notion est locale, la seconde exige la dérivabilité en tout point de l’intervalle.
7. Mélanger les classes Cⁿ : Cⁿ demande la continuité de la n-ième dérivée, pas seulement l’existence des dérivées jusqu’à l’ordre n.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la définition de f(x)→ℓ dans les cas ℓ∈ℝ, ℓ=+∞ et ℓ=−∞, ainsi que les cas a=+∞ et a=−∞.
2. Expliquer l’unicité de la limite et la caractérisation via limites à gauche et à droite en a.
3. Définir un voisinage de a et utiliser la logique “au voisinage de a” pour interpréter des inégalités et signes.
4. Reconnaître quand on applique encadrement (gendarmes) avec trois fonctions et une limite commune ℓ.
5. Utiliser les équivalents : critère f~ₐg ⇔ f/g→1 si g ne s’annule pas, puis conclure même signe et même limite.
6. Énoncer et utiliser la continuité en x₀ : définition avec limite et valeur f(x₀).
7. Utiliser la caractérisation : continuité en x₀ ⇔ continuité à droite et à gauche en x₀.
8. Définir le prolongement par continuité en x₀ et préciser la condition lim à gauche = lim à droite.
9. Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue sur [a,b] et déduire l’existence d’un point c tel que f(c)=k.
10. Énoncer le théorème de la bijection : continuité + stricte monotonie ⇒ bijection sur J=f(I, avec réciproque monotone et continue).
11. Écrire la définition de la dérivée en un point via la limite du taux d’accroissement et donner l’équation de la tangente.
12. Savoir que dérivable ⇒ continue et donner un contre-exemple à la réciproque (fourni au cours).
13. Appliquer Rolle et les accroissements finis pour conclure à l’existence d’un c où f’(c)=0 ou f’(c) vaut une pente moyenne.
14. Utiliser le théorème de variations à partir du signe de f’ et la condition d’extremum local non-borne : f’(x₀)=0.