Quiz: Introduction à la mécanique des solides — 20 questions

1. Quel principe cinématique affirme que deux points distincts d’un domaine matériel occupent toujours deux positions distinctes dans l’espace ?

A. Le principe de continuité

B. Le principe d’exclusion

C. Le lemme fondamental des intégrales de volume

D. La convention d’Einstein

Answer: (B)

Explanation

Le principe d’exclusion interdit que deux points matériels distincts se confondent dans l’espace. Le principe de continuité concerne plutôt le fait que deux points voisins restent voisins au cours du temps.

2. Dans la convention d’Einstein, que signifie la répétition d’un indice dans une expression tensorielle ?

A. Une somme implicite sur cet indice

B. Une annulation de la composante associée

C. Une dérivation par rapport à cet indice

D. Une symétrisation automatique du tenseur

Answer: (A)

Explanation

La convention d’Einstein remplace le symbole somme par une sommation implicite dès qu’un indice est répété. Elle sert à alléger l’écriture des produits tensoriels et vectoriels.

3. Quelle est l’écriture du principe des puissances virtuelles pour un champ de vitesses virtuelles admissible ?

A. La puissance virtuelle d’accélération est égale à la somme des puissances virtuelles extérieure et intérieure

B. La puissance interne est toujours nulle quelle que soit la vitesse virtuelle

C. La somme des forces extérieures est égale à la somme des moments intérieurs

D. L’énergie potentielle est égale à la différence entre travail extérieur et travail intérieur

Answer: (A)

Explanation

Le principe des puissances virtuelles s’écrit avec les puissances virtuelles d’accélération, extérieure et intérieure. L’annulation de la puissance interne ne vaut que pour un champ rigidifiant.

4. Que représente l’opérateur gradient lagrangien appliqué à un scalaire ?

A. Une somme des valeurs du scalaire sur tout le domaine

B. Une projection du scalaire sur la normale du bord

C. Un champ vecteur formé des dérivées par rapport aux coordonnées lagrangiennes

D. Une dérivation temporelle du scalaire dans le repère courant

Answer: (C)

Explanation

Le gradient lagrangien d’un scalaire donne un champ de vecteur constitué de ses dérivées spatiales par rapport aux coordonnées lagrangiennes. Ce n’est ni une somme ni une dérivée temporelle.

5. Dans la loi de traction linéaire sans contraintes résiduelles, quelle relation relie la contrainte à la déformation ?

A. La contrainte est égale à la déformation multipliée par le coefficient de Poisson

B. La contrainte est égale à la dérivée seconde du potentiel d’état

C. La contrainte est constante quelle que soit la déformation

D. La contrainte est proportionnelle à la déformation avec le module de Young

Answer: (D)

Explanation

Après linéarisation du potentiel autour de l’état nul et en l’absence de contraintes résiduelles, on obtient σ = Eε. Le module de Young fixe la pente de la loi de traction.

6. Dans un essai de traction unidimensionnel homogène, comment varie la contrainte sur l’éprouvette ?

A. Elle dépend uniquement de la vitesse de chargement

B. Elle varie linéairement avec la position

C. Elle est nulle aux extrémités et maximale au centre

D. Elle reste constante en tout point

Answer: (D)

Explanation

Dans un essai homogène en traction 1D, la contrainte σ(X) est la même partout dans l’éprouvette. Elle ne présente donc pas de variation spatiale dans ce cadre.

7. Quelle est la décomposition du gradient du déplacement en cinématique des petites perturbations ?

A. Une partie plastique et une partie élastique

B. Une partie symétrique appelée déformation et une partie antisymétrique appelée rotation

C. Une partie normale et une partie tangentielle

D. Une partie volumique et une partie thermique

Answer: (B)

Explanation

Sous l’hypothèse des petites perturbations, le gradient du déplacement se décompose en tenseur de déformation linéarisé symétrique et en tenseur de rotation antisymétrique. Cette décomposition sépare allongements et rotations infinitésimales.

8. Quelle expression donne l’allongement relatif suivant une direction unitaire h dans l’approximation des petites perturbations ?

A. δ ≈ trace(ω)

B. δ ≈ trace(ε) + h·u

C. δ ≈ h·ε·h

D. δ ≈ h·ω·h

Answer: (C)

Explanation

L’allongement relatif dans la direction h est donné, au premier ordre, par δ ≈ h·ε·h. Le tenseur de rotation ω ne contribue pas à cet allongement.

9. Quelle condition assure qu’un tenseur de déformation linéarisé provient d’un champ de déplacement continu ?

A. L’égalité de la trace de ε à zéro

B. L’annulation de rotg(rot d(ε))

C. La symétrie de toutes les composantes de ε

D. La nullité de la rotation infinitésimale

Answer: (B)

Explanation

La compatibilité des déformations est assurée si et seulement si rotg(rot d(ε)) = 0. Cette condition garantit l’existence d’un champ de déplacement associé, à une rigidité de corps près.

10. À quoi correspond le champ de déplacement obtenu à partir de déformations compatibles ?

A. À une contrainte moyenne uniforme

B. À une vitesse de translation imposée

C. À une déformation purement volumique

D. À une translation et une rotation de corps rigide près

Answer: (D)

Explanation

Une fois les déformations compatibles intégrées, le déplacement est déterminé modulo une translation et une rotation rigides. Cette indétermination reflète les mouvements de corps rigide.

11. Quelle relation exprime l’équilibre local des efforts dans un domaine matériel soumis à des forces volumiques ?

A. ε = 1/2(∇u + ∇u^t)

B. σ = λ tr(ε) I + 2μ ε

C. T = σ · n

D. div(σ) + f_d = 0

Answer: (D)

Explanation

L’équilibre local s’écrit bien comme l’annulation de la divergence du tenseur des contraintes compensée par les forces volumiques. La relation T = σ·n concerne, elle, la transmission des efforts sur une surface.

12. Dans l’hypothèse de Cauchy, comment s’écrit le vecteur contrainte associé à une normale sortante n ?

A. T = σ · n

B. T = div(σ)

C. T = σ(SPH) + σ(DEV)

D. T = σ : n

Answer: (A)

Explanation

Le vecteur contrainte est l’image de la normale par le tenseur des contraintes, via une contraction simple. La divergence intervient dans l’équilibre volumique, pas dans la définition du vecteur contrainte.

13. Quelle est la forme de la loi de Hooke pour un matériau élastique linéaire isotrope ?

A. σ = 2μ tr(ε) I + λ ε

B. σ = λ tr(ε) I + 2μ ε

C. σ = E ε uniquement

D. σ = K ε + 2μ I

Answer: (B)

Explanation

Pour l’élasticité linéaire isotrope, la contrainte se décompose en une partie sphérique et une partie déviatorique pondérées par λ et μ. Les autres propositions mélangent les coefficients ou confondent les rôles de la trace et du tenseur lui-même.

14. Quelle relation relie le module de compressibilité hydrostatique K aux paramètres de Lamé ?

A. K = 2λ + 3μ

B. K = μ/(λ + 2μ)

C. K = λ + μ

D. K = λ + 2μ/3

Answer: (D)

Explanation

Le module hydrostatique vaut bien K = λ + 2μ/3, ce qui relie la réponse sphérique du matériau aux paramètres de Lamé. Cette relation sert notamment à isoler la partie sphérique de la réponse élastique.

15. Quelle expression donne la contrainte équivalente de von Mises à partir du déviateur des contraintes ?

A. σ_eq = tr(σ)

B. σ_eq = √(3/2) (σ_DEV : σ_DEV)^{1/2}

C. σ_eq = σ_1 - σ_3

D. σ_eq = σ_DEV : I

Answer: (B)

Explanation

La contrainte équivalente de von Mises est construite à partir de la norme du déviateur des contraintes. La trace correspond à la partie hydrostatique, et non au critère de plasticité de von Mises.

16. Quel énoncé correspond au critère de Tresca en contrainte principale ?

A. La plasticité apparaît lorsque σ_1 + σ_2 + σ_3 = 0

B. La plasticité apparaît lorsque σ_DEV = 0

C. La plasticité apparaît lorsque tr(σ) atteint la limite d’écoulement

D. La plasticité apparaît lorsque max(|σ_i - σ_j|) atteint la limite d’écoulement

Answer: (D)

Explanation

Le critère de Tresca compare l’écart maximal entre contraintes principales à une valeur seuil liée à la limite d’écoulement. La trace n’est pas le bon indicateur pour ce critère, car il vise le cisaillement maximal.

17. Quelle fonctionnelle est minimisée dans la méthode de l’énergie potentielle ?

A. E_p(u) = E_int(u) - W_ext(u)

B. E_int(u) = W_ext(u) + W_int(u)

C. E_c(σ) = E'_int(σ) - W'_ext(σ)

D. W_ext(u) = E_int(u) - E_p(u)

Answer: (A)

Explanation

La méthode potentielle consiste à minimiser l’énergie potentielle, égale à l’énergie interne moins le travail des chargements externes. La méthode complémentaire, elle, s’écrit en fonction des contraintes.

18. Dans la méthode de l’énergie complémentaire, quelle grandeur est recherchée par minimisation ?

A. Le champ de rotations infinitésimales

B. Le champ de contraintes statiquement admissible

C. Le champ de forces volumiques

D. Le champ de déplacements cinématiquement admissible

Answer: (B)

Explanation

L’énergie complémentaire est formulée en contraintes et l’on cherche le champ de contraintes admissible statiquement qui minimise la fonctionnelle. Le champ de déplacements est au contraire l’inconnue de la méthode potentielle.

19. Comment s’écrit la trace d’un tenseur d’ordre 2 à l’aide du tenseur identité ?

A. tr(a) = a : I

B. tr(a) = a ⊗ I

C. tr(a) = a_DEV : I + a_SPH

D. tr(a) = a · I + I · a

Answer: (A)

Explanation

La trace d’un tenseur d’ordre 2 se définit par double contraction avec le tenseur identité. Cela revient à sommer ses composantes diagonales.

20. Quelle propriété caractérise la décomposition sphérique-déviatorique d’un tenseur d’ordre 2 ?

A. La partie déviatorique est de trace nulle

B. La partie sphérique est orthogonale à I au sens du produit simple

C. La partie sphérique est de trace nulle

D. La partie déviatorique est toujours antisymétrique

Answer: (A)

Explanation

Dans la décomposition sphérique-déviatorique, la partie déviatorique est précisément sans trace. La partie sphérique, elle, est proportionnelle à l’identité.