Hoja de repaso: Introduction à la trigonométrie sur cercle unité

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et radian
2. Conversion radians-degrés
3. Enroulement de la droite réelle
4. Points-images remarquables
5. Cosinus et sinus d’un réel
6. Propriétés et valeurs remarquables
7. Angles associés

📖 1. Cercle trigonométrique et radian

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens trigonométrique : Le sens trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d’une montre, utilisé pour orienter le plan et le cercle.
• Cercle trigonométrique : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 orienté dans le sens positif, de centre O.
• radian : Le radian est une unité de mesure d’angles définie sur un cercle trigonométrique : 1 rad correspond à un arc de longueur 1.

📝 Points essentiels

• Sur un cercle trigonométrique de rayon 1, la longueur du cercle vaut 2π, celle du demi-cercle vaut π et celle du quart de cercle vaut π/2.
• Sur le cercle trigonométrique, un angle interceptant un arc de longueur 1 a une mesure égale à 1 radian.
• Si un arc AB a pour longueur α, alors l’angle AÔB a pour mesure α radians.

💡 Astuce mémo

Arc long 1 ⇒ angle vaut 1 rad.

📖 2. Conversion radians-degrés

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesures proportionnelles : Les mesures en radians et en degrés d’un même angle sont proportionnelles, car elles se déduisent d’un même tour complet.
• Angle plat π rad : L’angle plat correspond à π radians sur le cercle trigonométrique, soit 180° en degrés.

📝 Points essentiels

• Le tour complet correspond à 360° et à 2π radians, donc π rad correspondent à 180°.
• Pour une conversion, on utilise les valeurs du tableau : 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 1° = π/180.

💡 Astuce mémo

180° ⇔ π rad.

📖 3. Enroulement de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Point-image d’un réel : Le point-image d’un réel est le point unique du cercle trigonométrique obtenu en enroulant la droite réelle autour du cercle.
• Enroulement : L’enroulement consiste à faire correspondre à chaque réel un point du cercle en parcourant le cercle dans le même sens pour chaque tour.
• Réalités congruentes modulo 2π : Deux réels congruents modulo 2π correspondent au même point-image sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

• En enroulant la droite des réels, à tout réel α on associe un unique point M du cercle, et à un point M correspond une infinité de réels.
• Les réels associés à un même point sont de la forme α + k×2π avec k entier relatif, ce qui correspond à des tours complets en plus ou en moins.
• Les nombres π/2, 5π/2 et -3π/2 coïncident sur le cercle car ils sont distants de 2π les uns des autres.

💡 Astuce mémo

Même point ⇔ même angle “modulo 2π”.

📖 4. Points-images remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Point-image 0 : Le réel 0 correspond au point I du cercle trigonométrique, avec cos(0)=1 et sin(0)=0.
• Point-image π/2 : Le réel π/2 correspond au point J du cercle trigonométrique, situé sur l’axe des ordonnées positives.
• Forme des réels en un point : Les réels associés à un point particulier du cercle s’obtiennent en ajoutant 2kπ au réel repère indiqué.

📝 Points essentiels

• On associe : I↔0, A↔π/6, B↔π/4, C↔π/3, J↔π/2, K↔π, L↔3π/2.
• Les réels associés au point I sont de la forme 2kπ avec k entier relatif, par exemple 0, π et -π.

💡 Astuce mémo

I : 0 + 2kπ ; J : π/2 + 2kπ.

📖 5. Cosinus et sinus d’un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• cosinus cos(α) : Le cosinus d’un réel α est l’abscisse du point-image de α sur le repère orthonormé du cercle trigonométrique.
• sinus sin(α) : Le sinus d’un réel α est l’ordonnée du point-image de α sur le repère orthonormé du cercle trigonométrique.
• Coordonnées du point-image : Pour un réel α, le point-image M a pour coordonnées (cos(α) ; sin(α)) dans le repère (O ; I, J).

📝 Points essentiels

• Le point-image M correspondant à α vérifie : M (cos(α) ; sin(α)).
• Pour α = π/2, le point est de coordonnées (0 ; 1), donc cos(π/2)=0 et sin(π/2)=1.

💡 Astuce mémo

Coordonnées = (cos ; sin).

📖 6. Propriétés et valeurs remarquables

🔑 Notions clés & Définitions

• Identité fondamentale : L’identité fondamentale relie sin et cos sur le cercle trigonométrique : leur carré somme toujours 1.
• Périodicité de cos et sin : La valeur de cosinus et sinus se répète quand on ajoute un multiple de 2π à l’angle.
• Valeurs remarquables : Les valeurs remarquables regroupent les cos et sin de certains angles fréquents comme 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et π.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel α, on a cos²(α) + sin²(α) = 1, et aussi -1 ≤ cos(α) ≤ 1 et -1 ≤ sin(α) ≤ 1.
• Pour tout entier relatif k, cos(α)=cos(α+2kπ) et sin(α)=sin(α+2kπ).
• Les valeurs remarquables sont : cos(0)=1, cos(π/6)=√3/2, cos(π/4)=√2/2, cos(π/3)=1/2, cos(π/2)=0, cos(π)=-1, et sin(0)=0, sin(π/6)=1/2, sin(π/4)=√2/2, sin(π/3)=√3/2, sin(π/2)=1, sin(π) = 0.

💡 Astuce mémo

Cercle unitaire : cos²+sin²=1.

📖 7. Angles associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Angles associés : Des angles associés sont des angles reliés par des transformations qui permettent de retrouver directement les mêmes valeurs de sinus et cosinus.

📝 Points essentiels

• On retrouve des valeurs connues avec la périodicité : sin(13π/6)=sin(π/6)=1/2 et cos(13π/6)=cos(π/6)=√3/2.
• On traite aussi les angles négatifs avec des valeurs connues : sin(-π/4)=-√2/2 et cos(-π/4)=√2/2.
• On utilise les valeurs de référence : sin(4π/3)=-√3/2, cos(4π/3)=-1/2, sin(3π/2)=-1 et cos(3π/2)=0.

💡 Astuce mémo

Ramener en mod 2π puis lire les valeurs.

📊 Tableaux de synthèse

Conversion radians-degrés

Degré	Radian	Exemple angle
180°	π	angle plat
90°	π/2	quart de cercle
45°	π/4	valeur remarquable
30°	π/6	valeur remarquable
1°	π/180	petit pas

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le sens : l’orientation du cercle trigonométrique impose le sens direct pour associer correctement les points aux réels.
2. Oublier que 1 rad correspond à un arc de longueur 1 sur le cercle de rayon 1, pas à une fraction du diamètre.
3. Se tromper dans la conversion : π rad correspondent à 180°, donc 1° correspond à π/180 et non à π/360.
4. Croire que les angles donnent toujours des points uniques : les réels associés à un même point diffèrent de 2π.
5. Mélanger cosinus et sinus : cos(α) est l’abscisse et sin(α) l’ordonnée du point-image.
6. Appliquer une périodicité avec un mauvais multiple : cos et sin se répètent avec 2π, pas avec π.

✅ Checklist Examen

1. Définir le cercle trigonométrique et donner les longueurs 2π, π et π/2 pour cercle, demi-cercle et quart de cercle.
2. Définir le radian via la longueur d’arc 1 et relier un arc de longueur α à un angle α radians.
3. Converter des angles entre degrés et radians à l’aide des correspondances π rad ↔ 180° et des valeurs du tableau (π/6, π/4, π/3, π/2, π, π/180).
4. Expliquer l’enroulement : à un réel α correspond un point unique du cercle et à un point correspond une infinité de réels.
5. Écrire la forme générale des réels associés à un même point : α + k×2π avec k entier relatif.
6. Donner les points-images remarquables I, A, B, C, J, K, L et leurs réels associés (0, π/6, π/4, π/3, π/2, π, 3π/2).
7. Associer coordonnées et fonctions : M (cos(α) ; sin(α)) pour tout réel α.
8. Utiliser les bornes et l’identité fondamentale : -1 ≤ cos(α), sin(α) ≤ 1 et cos²(α)+sin²(α)=1.
9. Appliquer la périodicité correcte : cos(α)=cos(α+2kπ) et sin(α)=sin(α+2kπ) pour tout k entier relatif.
10. Connaître et utiliser les valeurs remarquables de cos et sin pour 0, π/6, π/4, π/3, π/2 et π.
11. Calculer des sinus/cosinus d’angles associés en ramenant à un angle de référence, y compris pour un angle négatif ou du type 13π/6, 4π/3, 3π/2.