Quiz: Introduction aux fonctions et suites mathématiques — 18 questions

1. Pour un trinôme A(x)=ax²+bx+c avec a≠0, quelle expression donne son discriminant ?

A. b²−4ac

B. 4a²−bc

C. b²+4ac

D. a²−4bc

Answer: (A)

Explanation

Le discriminant d’un trinôme est bien Δ=b²−4ac. Il sert à déterminer le nombre de solutions de l’équation A(x)=0.

2. Lorsque le discriminant d’un trinôme est strictement négatif, quelle propriété est vraie ?

A. L’équation a deux solutions réelles distinctes

B. Le trinôme s’annule pour tout réel

C. L’équation a une solution double

D. L’équation n’a aucune solution réelle

Answer: (D)

Explanation

Si Δ<0, l’équation A(x)=0 n’a aucune solution réelle. Dans ce cas, le trinôme garde toujours le signe de son coefficient a.

3. Quelle écriture décrit le terme général d’une suite arithmétique de raison r ?

A. u_n=u_p imes q^{n-p}

B. u_n=u_0+r^n

C. u_n=u_{n-1} imes r

D. u_n=u_p+(n-p)r

Answer: (D)

Explanation

Une suite arithmétique vérifie une augmentation constante r, donc son terme général s’écrit u_n=u_p+(n-p)r. L’écriture avec une puissance correspond à une suite géométrique.

4. Comment reconnaît-on qu’une suite est croissante à partir d’un indice p ?

A. Quand u_n<0 pour tout n>p

B. Quand u_{n+1}=u_n pour tout n>p

C. Quand u_{n+1}<u_n pour tout n>p

D. Quand u_{n+1}>u_n pour tout n>p

Answer: (D)

Explanation

Une suite est croissante à partir de p si, pour tout n>p, on a u_{n+1}>u_n. Si l’inégalité est inversée, la suite est décroissante.

5. Quelle relation définit une suite géométrique de raison q ?

A. u_{n+1}=u_n+q

B. u_{n+1}=q/u_n

C. u_{n+1}=u_n-q

D. u_{n+1}=q imes u_n

Answer: (D)

Explanation

Une suite géométrique est obtenue en multipliant chaque terme par une même constante q. La relation de récurrence est donc u_{n+1}=q imes u_n.

6. Si q≠1, quelle formule donne la somme 1+q+q²+…+q^n ?

A. q^{n+1}-1

B. (1-q^{n+1})/(1-q)

C. (1-q)/(1-q^{n+1})

D. (q^{n+1}+1)/(q-1)

Answer: (B)

Explanation

La somme des n+1 premiers termes d’une suite géométrique vaut (1-q^{n+1})/(1-q) lorsque q≠1. C’est la formule classique de somme géométrique.

7. Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a ?

A. y=f(a)(x-a)+f'(a)

B. y=f'(a)(x-a)+f(a)

C. y=f'(x)(x-a)+f(a)

D. y=f(a)+f'(a)

Answer: (B)

Explanation

La tangente en a a pour pente f'(a) et passe par le point (a;f(a)), d’où y=f'(a)(x-a)+f(a). Les autres propositions ne respectent pas la forme affine correcte.

8. Si f est constante, quelle est sa dérivée ?

A. f'(x)=f(x)

B. f'(x)=x

C. f'(x)=1

D. f'(x)=0

Answer: (D)

Explanation

La dérivée d’une constante est nulle en tout point. Cela traduit l’absence de variation de la fonction.

9. Si P(A)≠0, quelle formule donne la probabilité conditionnelle de B sachant A ?

A. P_A(B)=P(A)×P(B)

B. P_A(B)=P(A∪B)/P(A)

C. P_A(B)=P(A∩B)/P(A)

D. P_A(B)=P(B)/P(A∩B)

Answer: (C)

Explanation

La probabilité conditionnelle est définie par P_A(B)=P(A∩B)/P(A), à condition que P(A) soit non nul. C’est la probabilité de B dans le cas où A est réalisé.

10. Que vaut P(A∩B) lorsque A et B sont indépendants ?

A. P(A)−P(B)

B. P(A)×P(B)

C. P(A∩B)/P(A)

D. P(A)+P(B)

Answer: (B)

Explanation

Deux événements indépendants vérifient P(A∩B)=P(A)×P(B). L’indépendance signifie que la réalisation de l’un ne modifie pas la probabilité de l’autre.

11. Quelle formule donne la probabilité conditionnelle de B sachant A, lorsque la probabilité de A est non nulle ?

A. P(A∩B) = P(A) × P(B)

B. P_A(B) = P(A∩B) / P(A)

C. P(A∩B) = P_A(B) / P(A)

D. P_A(B) = P(B) / P(A)

Answer: (B)

Explanation

La probabilité conditionnelle de B sachant A est définie par le rapport entre la probabilité de l’intersection et celle de A. La multiplication par P(A) redonne ensuite P(A∩B).

12. Comment se calcule l’espérance d’une variable aléatoire discrète prenant les valeurs x_i avec probabilités p_i ?

A. En faisant la somme de p_i × x_i

B. En prenant la moyenne des probabilités p_i

C. En additionnant seulement les valeurs possibles x_i

D. En calculant la racine carrée de la variance

Answer: (A)

Explanation

L’espérance est une moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par sa probabilité avant d’être additionnée. La racine carrée de la variance correspond à l’écart-type, pas à l’espérance.

13. Quel critère permet d’affirmer qu’une fonction est strictement croissante sur un intervalle ?

A. Sa dérivée est positive sur l’intervalle, sauf éventuellement en quelques points isolés

B. Sa dérivée est nulle en un point de l’intervalle

C. Sa dérivée est négative sur l’intervalle, sauf éventuellement en quelques points isolés

D. Sa courbe coupe l’axe des abscisses une seule fois

Answer: (A)

Explanation

Si la dérivée est positive sur un intervalle, la fonction y est strictement croissante. Une dérivée négative correspond au sens décroissant, et le nombre de zéros n’est pas un critère direct.

14. Dans l’étude des extrema, que signifie un passage de la dérivée de + vers − au voisinage d’un point ?

A. Un minimum local

B. Un maximum local

C. Une fonction constante

D. Une asymptote verticale

Answer: (B)

Explanation

Quand la dérivée passe de positive à négative, la fonction passe de croissante à décroissante : cela correspond à un maximum. Le passage de − vers + donnerait un minimum.

15. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle s’annule en 0 et en 1

B. Elle est périodique de période 1

C. Sa dérivée est égale à elle-même et elle vaut 1 en 0

D. Sa dérivée est constante et égale à 0

Answer: (C)

Explanation

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0) = 1. C’est cette propriété qui la distingue des autres fonctions usuelles.

16. Que vaut e^{x+y} pour deux réels x et y ?

A. e^x + e^y

B. e^x / e^y

C. e^{x-y}

D. e^x × e^y

Answer: (D)

Explanation

Les exponentielles transforment les sommes en produits : e^{x+y} = e^x × e^y. La division correspond plutôt à e^{x-y}.

17. Quelle est l’équation cartésienne d’un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon R ?

A. x² + y² = R

B. (x + a)² + (y + b)² = R²

C. ax + by + c = 0

D. (x − a)² + (y − b)² = R²

Answer: (D)

Explanation

Un cercle de centre (a ; b) s’écrit avec des carrés centrés sur ce point : (x − a)² + (y − b)² = R². L’équation ax + by + c = 0 correspond à une droite.

18. Quelle est la relation d’Al-Kashi dans un triangle ABC, si a est le côté opposé à l’angle  ?

A. a² = b² + c² + 2bc cos(Â)

B. a² = b² − c² − 2bc cos(Â)

C. a = b + c − 2 cos(Â)

D. a² = b² + c² − 2bc cos(Â)

Answer: (D)

Explanation

La relation d’Al-Kashi s’écrit a² = b² + c² − 2bc cos(Â). Elle généralise le théorème de Pythagore lorsque l’angle  vaut 90°.