Revision sheet: Introduction aux nombres entiers et divisibilité

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et définition
2. Division euclidienne et quotient reste
3. Diviseurs, multiples et critères de divisibilité
4. Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers
5. PGCD et nombres premiers entre eux
6. Fractions irréductibles et simplification

📖 1. Entiers naturels et définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Un entier naturel est un nombre entier positif ou nul.
• Diviseur : Un diviseur est un entier naturel qui divise un autre entier sans laisser de reste dans la division euclidienne.
• Multiple : Un multiple est un entier naturel obtenu en multipliant un entier par un autre entier naturel.

📝 Points essentiels

• On travaille avec des entiers naturels a et b avec b≠0 pour pouvoir parler de division euclidienne.
• 0 est un entier naturel, mais il ne divise aucun nombre entier.
• Tout entier naturel est divisible par 1 et par lui-même.
• Dire que b divise a revient à dire que a est un multiple de b.
• La notion de diviseur et de multiple dépend du fait que le reste vaut 0.

💡 Astuce mémo

b divise a ⇔ a = b×q (reste 0).

📖 2. Division euclidienne et quotient reste

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b consiste à écrire a=b×q+r avec q et r entiers naturels et un reste r strictement inférieur à b.
• Quotient : Le quotient est l’entier q apparaissant dans l’écriture de la division euclidienne a=b×q+r.
• Reste : Le reste est l’entier r apparaissant dans la division euclidienne, avec r<b.
• Dividende : Le dividende est l’entier a que l’on divise dans la division euclidienne.
• Diviseur : Le diviseur est l’entier b par lequel on divise dans la division euclidienne.

📝 Points essentiels

• Dans a=b×q+r, on a r strictement inférieur à b.
• Dans la division euclidienne de a par b, a est le dividende et b est le diviseur.
• Le quotient q et le reste r sont des entiers naturels.
• Exemple : 278 = 12×23 + 2 avec 2 < 12.
• Pour vérifier une division euclidienne, on contrôle simultanément l’égalité et la condition r<b.

💡 Astuce mémo

Égalité + contrainte : r < b.

📖 3. Diviseurs, multiples et critères de divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur d’un entier naturel : Un diviseur d’un entier naturel est un entier b tel que a=b×q pour un certain entier naturel q.
• Critères de divisibilité : Les critères de divisibilité sont des règles sur les chiffres d’un nombre qui permettent de décider s’il est divisible par un entier donné.
• Divisibilité par 2 : La divisibilité par 2 correspond au fait que le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
• Divisibilité par 5 : La divisibilité par 5 correspond au fait que le chiffre des unités est 0 ou 5.
• Divisibilité par 3 : La divisibilité par 3 correspond au fait que la somme des chiffres est divisible par 3.

📝 Points essentiels

• Si le reste de la division euclidienne de a par b est 0, alors b divise a et a est divisible par b.
• Exemple : 2 est un diviseur de 28 car 28=2×14.
• Exemple : 9 n’est pas un diviseur de 28 car 9×3=27≠28.
• Diviseurs de 28 : 1, 2, 4, 7, 14, 28.
• Critère par 10 : chiffre des unités égal à 0.
• Critère par 4 : les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4.

💡 Astuce mémo

2/5/10 regardent les unités ; 3/9 regardent la somme des chiffres ; 4 regarde les deux derniers chiffres.

📖 4. Nombres premiers et décomposition en facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
• Décomposition en facteurs premiers : La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un entier comme un produit de facteurs tous premiers.
• Facteurs premiers : Les facteurs premiers sont les entiers premiers qui apparaissent dans la décomposition en produit.
• Unicité de la décomposition : L’unicité de la décomposition en facteurs premiers signifie que la décomposition est la même (à l’ordre près) pour un entier donné.

📝 Points essentiels

• 0 n’est pas premier car il est divisible par n’importe quel entier non nul.
• 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, 1.
• 10 n’est pas premier car il admet 4 diviseurs : 1, 2, 5 et 10.
• 2 est le seul nombre premier pair.
• Liste des nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
• Tout entier ≥2 admet une unique décomposition en produit de facteurs premiers.

💡 Astuce mémo

Premier = exactement deux diviseurs (1 et lui-même) ; 0 et 1 sont des exceptions.

📖 5. PGCD et nombres premiers entre eux

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur commun : Un diviseur commun à a et b est un entier qui divise à la fois a et b.
• PGCD : Le PGCD est le plus grand diviseur commun de deux entiers naturels a et b.
• Nombres premiers entre eux : Deux entiers naturels sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1.

📝 Points essentiels

• Un diviseur commun à a et b est à la fois un diviseur de a et un diviseur de b.
• 1 est un diviseur commun à tous les entiers naturels.
• Le PGCD (a ; b) est le plus grand diviseur commun.
• Exemple : diviseurs communs de 45 et 60 sont 1, 3, 5, 15.
• Exemple : PGCD (45 ; 60) = 15.
• Exemple : 8 et 15 sont premiers entre eux car leur PGCD vaut 1.

💡 Astuce mémo

PGCD = plus grand commun ; premiers entre eux ⇔ PGCD=1.

📖 6. Fractions irréductibles et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
• Simplification par le PGCD : Simplifier une fraction consiste à diviser numérateur et dénominateur par leur plus grand diviseur commun.
• Produit de facteurs premiers : Le produit de facteurs premiers est l’écriture d’un entier comme produit de facteurs tous premiers.
• Fraction irréductible de 180/54 : La fraction irréductible associée à 180/54 est obtenue après simplification par le plus grand diviseur commun.

📝 Points essentiels

• Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur sont premiers entre eux.
• Pour rendre une fraction irréductible, on décompose numérateur et dénominateur en facteurs premiers puis on simplifie par le PGCD.
• Exemple : 180 = 2²×3²×5.
• Exemple : 54 = 2×3³.
• Après simplification, 180/54 devient 10/3.
• On dit que 10/3 est la fraction irréductible de 180/54.

💡 Astuce mémo

Irréductible ⇔ pas de facteur commun : on simplifie jusqu’à ce que ça “ne partage plus”.

📊 Tableaux de synthèse

Diviseurs et critères de divisibilité

Cas	Condition	Conclusion
Divisible par 2	Chiffre des unités ∈ {0,2,4,6,8}	Le nombre est divisible par 2
Divisible par 5	Chiffre des unités ∈ {0,5}	Le nombre est divisible par 5
Divisible par 3	Somme des chiffres divisible par 3	Le nombre est divisible par 3
Divisible par 4	Nombre formé par les deux derniers chiffres divisible par 4	Le nombre est divisible par 4

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre division euclidienne et division “classique” : ici il faut r strictement inférieur à b.
2. Croire que 0 est premier : 0 est divisible par tout entier non nul.
3. Penser que 1 est premier : 1 n’a qu’un seul diviseur.
4. Oublier que “b divise a” équivaut à un reste nul dans la division euclidienne.
5. Croire qu’une fraction est irréductible sans vérifier la condition “numérateur et dénominateur premiers entre eux”.
6. Mélanger PGCD et “un diviseur commun” : le PGCD est le plus grand, pas n’importe lequel.

✅ Checklist Examen

1. Définir un entier naturel et identifier le rôle de b≠0 dans la division euclidienne.
2. Écrire et vérifier une division euclidienne a=b×q+r en contrôlant r<b.
3. Déterminer si b divise a en utilisant la condition “reste nul”.
4. Donner tous les diviseurs d’un nombre donné (exemple : 28).
5. Utiliser les critères de divisibilité pour 2, 3, 4, 5, 9 et 10 à partir des chiffres.
6. Définir un nombre premier et traiter les cas particuliers 0, 1 et 2.
7. Énumérer les nombres premiers inférieurs à 30.
8. Effectuer une décomposition en facteurs premiers et utiliser l’unicité pour justifier la forme obtenue.
9. Définir le PGCD, le calculer à partir des diviseurs communs (exemple : 45 et 60).
10. Déterminer si deux entiers sont premiers entre eux en vérifiant PGCD=1.
11. Définir une fraction irréductible et simplifier une fraction en utilisant la décomposition en facteurs premiers et le PGCD (exemple : 180/54).