Ficha de revisão: Introduction aux probabilités et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Probabilités et événements
2. Probabilités conditionnelles et indépendance
3. Fonction exponentielle
4. Dérivation et tangente
5. Règles de dérivation et variations
6. Droites et cercles
7. Trigonométrie du cercle
8. Produit scalaire et géométrie
9. Suites numériques et variations

📖 1. Probabilités et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Union A et B : L’union A ∪ B est l’évènement qui se produit si A ou B se réalise.
• Intersection A et B : L’intersection A ∩ B est l’évènement qui se produit si A et B se réalisent en même temps.
• Complément d A : Le complément Ā est l’évènement correspondant à la non-réalisation de A.

📝 Points essentiels

• La probabilité vérifie 0 ≤ P(A) ≤ 1 et pour des évènements complémentaires, la somme vaut 1.
• La formule d’inclusion-exclusion donne P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Le complément Ā correspond à l’opposé de A (même logique pour B̅).

💡 Astuce mémo

A ∪ B = A ou B ; A ∩ B = A et B ; Ā = pas A.

📖 2. Probabilités conditionnelles et indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité conditionnelle P_B(A) mesure la probabilité de A sachant que B est réalisé.
• Indépendance de A et B : Deux évènements sont indépendants quand la réalisation de l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré représente des issues avec leurs probabilités le long des branches.

📝 Points essentiels

• P_B(A) = P(A ∩ B) / P(B) quand B est considéré dans le conditionnement.
• On a P(A ∩ B) = P(A) × P(B) dans le schéma où les probabilités se combinent par produit.
• La formule P(A ∩ B) = P(A) × P(B) caractérise l’indépendance.
• Un arbre pondéré permet d’obtenir des intersections via un produit de probabilités le long d’un chemin.
• Dans l’exemple, P(A ∩ B) = 0,6 × 0,1 = 0,06 et P_A(B) = 0,1.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = fraction d’une intersection : P_B(A) = P(A∩B)/P(B).

📖 3. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle associe à chaque réel x le nombre e^x.
• Dérivée de e^x : La dérivée de la fonction exponentielle e^x est elle-même.
• Asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite que la courbe approche quand x tend vers une valeur (ici −∞).

📝 Points essentiels

• e^x > 0 pour tout x réel.
• e^x est dérivable sur ℝ et (e^x)' = e^x.
• La droite y = 0 est une asymptote horizontale à la courbe de y = e^x quand x → −∞.
• e^x est strictement croissante sur ℝ d’après le tableau de variations (valeurs : 0, 1, +∞).

💡 Astuce mémo

Tout change… sauf la pente : (e^x)' = e^x.

📖 4. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation entre a et a+h mesure la variation de f rapportée à h.
• Dérivabilité en un point : Une fonction est dérivable en A si le taux de variation admet une limite finie unique quand h tend vers 0.
• Tangente à la courbe : La tangente en A est la droite qui utilise le coefficient directeur f'(a) pour décrire localement la courbe.

📝 Points essentiels

• La dérivée s’obtient par la limite : lim_{h→0} (f(a+h) − f(a))/h = f'(a).
• Si f est dérivable au point (a ; f(a)), alors f'(a) est le coefficient directeur de la tangente en A.
• Équation de la tangente à Cf en A : y = f'(a)(x − a) + f(a).
• Dans le tableau, pour f(a)=a, on a f'(a)=1, et pour f(a)=b, on a f'(a)=0.

💡 Astuce mémo

Limite du taux de variation → f'(a) ; ensuite tangente via y = f'(a)(x−a)+f(a).

📖 5. Règles de dérivation et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Règle de linéarité : La dérivation de la somme suit u' + v' et celle d’un multiple k×u suit k×u'.
• Dérivée d’un produit : La dérivée de u×v combine deux termes : u'v + uv'.
• Tableau de variations : Un tableau de variations indique croissance/décroissance en fonction du signe de la dérivée.
• Extremum et signe de f' : Le type d’extrémum dépend du changement de signe de la dérivée autour du point.

📝 Points essentiels

• Règles : (1/u)' = −u'/u² et (u/v)' = (u'v − uv')/v².
• Pour f(x)=g(ax+b), on a f'(x)=a×g'(ax+b).
• Si f'(a)>0 alors f est strictement croissante sur I ; si f'(a)=0 alors f est constante sur I ; si f'(a)<0 alors f est strictement décroissante sur I.
• Méthode : calculer f'(a), étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
• Si f' change de + à − en a alors f atteint un maximum en a ; si f' change de − à + alors f atteint un minimum en a.

💡 Astuce mémo

Signe de f' : + → monte ; − → descend ; changement +→− = maximum, −→+ = minimum.

📖 6. Droites et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation réduite d’une droite : Une droite admet une équation réduite de la forme y = ax + b quand a et b sont présents.
• Équation cartésienne d’une droite : Une droite peut s’écrire sous la forme ax + by + c = 0.
• Vecteur directeur : Le vecteur directeur d’une droite est un vecteur qui indique sa direction.
• Vecteur normal : Le vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à la droite.
• Équation de cercle : L’équation d’un cercle décrit l’ensemble des points à distance fixée du centre.

📝 Points essentiels

• Équation cartésienne : ax + by + c = 0 et le vecteur directeur vaut →u(−b/a).
• Vecteur normal : →v(a/b) selon la forme donnée.
• Forme de cercle avec centre et rayon : (x − xr)² + (y − yr)² = r² (quand Ω(xr ; yr) est donné).
• Formule de cercle avec diamètre : (x − xA)(x − xB) + (y − yA)(y − yB) = 0 (si le diamètre est connu).
• La forme produit nul utilise deux termes mis à zéro : (x − xA)(y − yA).(x − xB)(y − yB) = 0.

💡 Astuce mémo

Droite : directeur donne la direction ; normal donne la perpendicularité ; cercle : distance au centre → (x−xr)²+(y−yr)²=r².

📖 7. Trigonométrie du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 dans un repère orthonormé (O ; →i ; →j).
• Mesure en degrés : La mesure en degrés associe à un angle une valeur numérique en degrés.
• Mesure en radians : La mesure en radians associe à un angle une valeur liée à la longueur d’arc sur le cercle trigonométrique.
• Sens trigonométrique : Le sens trigonométrique indique le parcours + vers − dans le sens direct du cercle.

📝 Points essentiels

• Sur le cercle trigonométrique, la longueur de l’arc IM vaut (π×ÎOM (en degrés))/180.
• La mesure en radians correspond exactement à la longueur de l’arc IM.
• Conversion : rad = (π/180)×deg et deg = (180/π)×rad.
• Le tableau donne notamment : deg 180 → rad π, deg 90 → rad π/2, deg 0 → rad 0 et valeurs cos/sin correspondantes.

💡 Astuce mémo

Degrés ↔ radians : ×(π/180) pour passer en rad, ×(180/π) pour revenir.

📖 8. Produit scalaire et géométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : La projection orthogonale d’un point B sur (OA) est le point H tel que (BH) soit perpendiculaire à (OA).
• Produit scalaire : Le produit scalaire u·v relie la norme des vecteurs et le cosinus de l’angle entre eux.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires quand l’aire orientée formée par leurs composantes est nulle (déterminant nul).
• Théorème d’Al Kashi : Le théorème d’Al Kashi exprime le carré d’un côté d’un triangle avec deux autres côtés et le cosinus de l’angle opposé.
• Théorème de la médiane : Le théorème de la médiane relie le produit scalaire de deux vecteurs issus d’un point aux distances au milieu du segment.

📝 Points essentiels

• Si H est le projeté orthogonal de B sur (OA) et H ∈ [OA], alors →OA·→OB = ||OA||×||OH|| = OA×OH.
• Si H ∉ [OA], alors →OA·→OB = −||OA||×||OH|| = −OA×OH.
• Si OA ⟂ OB, alors OA·OB = 0.
• Formule avec angle : u·v = ||u||×||v||×cos(u,v) et u·v = xx' + yy' pour u(x,y), v(x',y').
• Al Kashi : a² = b² + c² − 2bc×cos A et médiane : MA·MB = MI² − IA².

💡 Astuce mémo

Produit scalaire = normes × cos(angle ; signe positif/ négatif suit l’orientation projection).

📖 9. Suites numériques et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique associe à chaque entier n un réel noté (Un), appelé terme de rang n.
• Formule explicite : La formule explicite donne Un directement en fonction de n.
• Formule par récurrence : La formule par récurrence définit Un+1 à partir de Un avec une relation g(Un) et une valeur initiale.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie V_{n+1}=V_n×q, donc V_n=V_0×q^n.
• Variation d’une suite géométrique : Le sens de variation d’une suite géométrique dépend de q et du signe de V0.

📝 Points essentiels

• Exemple explicite : Un = 3n + 7.
• Exemple récurrent : U0 = 2 et Un+1 = 3Un + 7 (pour la même suite).
• Suite géométrique : V_{n+1}=V_n×q et V_n=V_0×q^n.
• Variations si V0>0 : q>1 croissante, 0<q<1 décroissante, q=1 constante, q<0 pas monotone.
• Étudier une suite : calculer Un+1−Un, puis interpréter son signe ; pour Un = n^3 − 2n^2 + n − 2, on obtient Un+1−Un = n(n−1) et donc croissance sur ]−∞,0] et [1,+∞[ et décroissance sur [0,1].

💡 Astuce mémo

Différence Un+1−Un : signe >0 monte, <0 descend.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre union et intersection : A ∪ B prend “ou”, alors que A ∩ B exige “et”.
2. Utiliser une formule de produit P(A∩B)=P(A)×P(B) alors que l’indépendance n’est pas garantie par l’énoncé.
3. Oublier la limite de dérivabilité : f'(a) n’est pas le taux de variation pour un h fixe mais la limite quand h→0.
4. Se tromper d’équation de tangente : la bonne forme est y = f'(a)(x−a)+f(a), pas y = f'(a)x + f(a).
5. Mauvaise lecture du signe de f' : un changement de + à − donne un maximum, et − à + donne un minimum.
6. Confondre degrés et radians : la conversion utilise bien π/180 dans le sens deg→rad.
7. Interpréter la variation d’une suite géométrique sans tenir compte du signe de V0 (les sens s’inversent si V0<0).

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner l’expression de Ā et d’effectuer les règles sur A ∪ B et A ∩ B.
2. Appliquer P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
3. Calculer une probabilité conditionnelle via P_B(A)=P(A∩B)/P(B) quand P(B) est disponible.
4. Savoir reconnaître l’indépendance et appliquer P(A∩B)=P(A)×P(B).
5. Produire P(A∩B) à partir d’un arbre pondéré en multipliant les probabilités le long d’un chemin.
6. Rappeler les propriétés de e^x : positivité, dérivée (e^x)'=e^x, asymptote y=0 en −∞.
7. Utiliser la définition de la dérivée comme limite du taux de variation.
8. Écrire l’équation de la tangente en A : y = f'(a)(x−a)+f(a).
9. Appliquer les règles de dérivation : somme, multiple, produit, quotient et la forme g(ax+b).
10. Interpréter le signe de f'(x) pour déduire croissance/décroissance et le type d’extrémum via changement de signe.
11. Écrire une droite en équation réduite ou cartésienne et donner directeur/normal avec les formules fournies.
12. Savoir convertir deg↔rad et relier angle et longueur d’arc sur le cercle trigonométrique.
13. Calculer un produit scalaire avec angle ou avec projection et déterminer le cas orthogonal.
14. Utiliser colinéarité via déterminant nul et exploiter les identités sur les carrés (u−v)² ou (u+v)².