Lernzettel: Introduction aux probabilités et événements

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire des probabilités : Ω et issues
2. Événements : élémentaires, certains et impossibles
3. Loi de probabilité et équiprobabilité
4. Intersection, réunion et événement contraire
5. Probabilité d’un événement et propriétés
6. Événements incompatibles et formule d’union
7. Calculs par diagramme, tableau et arbre

📖 1. Vocabulaire des probabilités : Ω et issues

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut pas être prédit à l’avance.
• Issue : Une issue est un résultat possible de l’expérience aléatoire.
• Univers Ω : L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles de l’expérience.

📝 Points essentiels

• Un résultat possible s’appelle une issue, et l’ensemble de toutes les issues forme Ω.
• Ω doit être défini pour décrire une expérience aléatoire.
• Pour un dé équilibré, Ω contient 6 issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• Pour une urne avec 3 boules blanches, 1 noire, 2 rouges, Ω = {R ; N ; B}.
• Pour deux lancers de pièces, si l’ordre compte, Ω a 4 issues : (P;P), (P;F), (F;P), (F;F).
• Si l’ordre ne compte pas, pour deux pièces on obtient 3 issues : (P;P), (P;F), (F;F).

💡 Astuce mémo

Ω = « toutes les issues possibles » : pense à l’« univers » de résultats.

📖 2. Événements : élémentaires, certains et impossibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Événement : Un événement est un ensemble d’issues.
• Événement élémentaire : Un événement élémentaire contient exactement une seule issue.
• Événement certain : Un événement certain est l’événement qui contient toutes les issues, donc Ω.
• Événement impossible : Un événement impossible est l’événement qui ne contient aucune issue, noté ∅.

📝 Points essentiels

• Un événement est toujours défini comme un ensemble d’issues, pas comme une phrase.
• Un événement élémentaire correspond à une issue précise (ex. « obtenir 2 »).
• L’événement certain correspond à Ω (ex. « obtenir un nombre inférieur à 7 » pour un dé).
• L’événement impossible correspond à ∅ (ex. « obtenir 7 » pour un dé).
• Pour l’urne, « tirer une boule verte » est impossible car cette couleur n’apparaît pas dans Ω.
• Pour deux pièces, « obtenir trois fois pile » est impossible car l’expérience ne comporte que deux lancers.

💡 Astuce mémo

Certain = tout (Ω), Impossible = rien (∅), Élémentaire = une seule issue.

📖 3. Loi de probabilité et équiprobabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : Une loi de probabilité associe à chaque issue une valeur positive ou nulle.
• Probabilité d’une issue : La probabilité d’une issue est la valeur attribuée à cette issue par la loi de probabilité.
• Équiprobabilité : L’équiprobabilité signifie que toutes les issues ont la même probabilité.

📝 Points essentiels

• Définir une loi de probabilité sur Ω consiste à attribuer à chaque issue une probabilité ≥ 0.
• La somme des probabilités de toutes les issues de Ω vaut 1.
• Pour un dé équilibré, chaque face a probabilité 1/6.
• Pour l’urne (3 blanches, 1 noire, 2 rouges), les probabilités sont 3/6 pour Blanche, 1/6 pour Noire, 2/6 pour Rouge.
• Dans le cas équiprobable, la probabilité d’une issue est identique pour toutes les issues.
• L’équiprobabilité est utilisée pour calculer rapidement des probabilités via le comptage des issues.

💡 Astuce mémo

Loi de probabilité = « nombres qui s’additionnent à 1 » sur toutes les issues.

📖 4. Intersection, réunion et événement contraire

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection A ∩ B : L’intersection A ∩ B est l’événement formé des issues appartenant à la fois à A et à B.
• Réunion A ∪ B : La réunion A ∪ B est l’événement formé des issues appartenant à A ou à B (ou aux deux).
• Événement contraire Ā : Le contraire Ā d’un événement A est l’événement formé des issues qui ne sont pas dans A.

📝 Points essentiels

• A ∩ B contient uniquement les issues communes à A et à B.
• A ∪ B contient toutes les issues de A et toutes celles de B, avec recouvrement possible.
• Le contraire Ā regroupe les issues de Ω qui ne réalisent pas A.
• Pour un dé : A = « pair » = {2;4;6} et B = « ≥ 3 » = {3;4;5;6}.
• Alors A ∩ B = {4;6} et A ∪ B = {2;3;4;5;6}.
• Pour un dé : si A = « pair », alors Ā = « impair » = {1;3;5}.

💡 Astuce mémo

∩ = « et » (commun), ∪ = « ou » (ensemble), Ā = « pas A ».

📖 5. Probabilité d’un événement et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité P(A) : La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui réalisent A.

📝 Points essentiels

• P(A) se calcule en additionnant les probabilités des issues de A.
• On a toujours P(Ω) = 1.
• On a toujours P(∅) = 0.
• Pour tout événement A, la probabilité vérifie 0 ≤ P(A) ≤ 1.
• En loi équiprobable, P(A) = (nombre d’issues dans A) / (nombre d’issues dans Ω).
• Pour un dé : « pair » a P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2.

💡 Astuce mémo

P(A) = somme des issues de A ; et Ω vaut 1, ∅ vaut 0.

📖 6. Événements incompatibles et formule d’union

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements incompatibles : Deux événements A et B sont incompatibles quand ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
• Formule d’union : La formule d’union relie P(A ∪ B) à P(A), P(B) et P(A ∩ B).
• Probabilité du contraire : La probabilité du contraire relie P(Ā) à la probabilité de A.

📝 Points essentiels

• A et B sont incompatibles si A ∩ B = ∅.
• Si A et B sont incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
• Pour une pièce équilibrée, « pile » et « face » sont incompatibles.
• La probabilité du contraire vérifie P(Ā) = 1 − P(A).
• Pour l’urne : si A = « blanche », alors P(A) = 3/6 = 1/2 et P(Ā) = 1 − 1/2 = 1/2.
• Pour tout A et B : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

💡 Astuce mémo

Union = addition moins le double-compte : +P(A)+P(B)−P(A∩B).

📖 7. Calculs par diagramme, tableau et arbre

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme en arbre pondéré : Un arbre de probabilité (ou arbre pondéré) représente des choix successifs avec des probabilités sur les branches.
• Tableau de répartition : Un tableau de répartition organise les effectifs par catégories (ex. hommes/femmes et cadres/ouvriers) pour calculer des probabilités.
• Tableau à double entrée : Un tableau à double entrée liste les issues possibles de deux variables et permet d’en déduire Ω et des probabilités.

📝 Points essentiels

• Pour l’exemple natation/volley : 13 ne pratiquent ni natation ni volley, donc 15 pratiquent au moins un des deux et P(A ∪ B) = 15/28.
• Dans le même exemple : P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 12/28 + 7/28 − 15/28 = 1/7.
• Pour l’exemple usine : si toutes les personnes sont équiprobables, Ω correspond à l’ensemble des 500 personnes.
• Dans l’exemple usine : P(H) = 300/500 = 3/5 et P(C) = 150/500 = 3/10.
• Pour l’arbre (urne 3 rouges, 2 verts) : la probabilité d’un chemin se calcule comme le produit des probabilités des branches.
• Pour « deux rouges » : P = 3/5 × 1/2 = 3/10 (produit des probabilités).

💡 Astuce mémo

Diagramme/tableau = comptage ; arbre = produit le long d’un chemin puis somme des chemins.

📊 Tableaux de synthèse

Incompatibles vs union générale

Situation	Condition	Formule de P(A ∪ B)
Incompatibles	A ∩ B = ∅	P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Union générale	A ∩ B peut être non vide	P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre Ω (ensemble des issues) et un événement (sous-ensemble de Ω).
2. Oublier que l’intersection A ∩ B correspond à « et » (issues communes), pas à « ou ».
3. Se tromper de formule : utiliser P(A)+P(B) alors que A et B ne sont pas incompatibles.
4. Calculer P(Ā) sans passer par P(Ā)=1−P(A).
5. En équiprobabilité, compter des issues au lieu de compter des cas favorables sur le bon Ω.
6. Dans un arbre, additionner des probabilités de branches au lieu de multiplier sur un même chemin, puis sommer entre chemins.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir Ω, une issue, et reconnaître un univers correctement construit à partir de l’expérience.
2. Savoir distinguer événement élémentaire, certain (Ω) et impossible (∅) et donner des exemples.
3. Savoir définir une loi de probabilité sur Ω et vérifier que la somme vaut 1.
4. Savoir calculer des probabilités en équiprobabilité via le rapport (issues favorables)/(issues possibles).
5. Savoir déterminer A ∩ B et A ∪ B à partir d’ensembles d’issues donnés.
6. Savoir calculer P(A) comme somme des probabilités des issues de A.
7. Savoir appliquer P(Ā)=1−P(A) et la formule d’union P(A ∪ B)=P(A)+P(B)−P(A ∩ B).
8. Savoir reconnaître le cas d’incompatibilité (A ∩ B = ∅) et utiliser P(A ∪ B)=P(A)+P(B).
9. Savoir résoudre un problème par diagramme/tableau (comptage) et par arbre (produit sur un chemin, somme sur plusieurs chemins).