Lernzettel: Introduction aux suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Relation de récurrence
3. Formule explicite
4. Variations et représentation graphique
5. Suites géométriques

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite numérique est arithmétique s’il existe un réel r tel que chaque terme suivant s’obtienne en ajoutant la même valeur r.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison d’une suite arithmétique est le réel r qui représente l’incrément constant entre deux termes consécutifs.
• Premier terme u0 : Le premier terme d’une suite est le terme de rang 0, noté u0, utilisé comme point de départ des calculs.

📝 Points essentiels

• Si u_{n+1}=u_n+r pour tout n, alors la suite est arithmétique et r est sa raison.
• Pour la suite u0=17 et u_{n+1}=u_n-3, la raison vaut -3 et u0=17.
• Le terme de rang 1 est u1=u0+r et le terme de rang 2 est u2=u0+2r.
• Pour u0=-7 et u_{n+1}=u_n+4, la raison vaut 4 et u1=-3, u2=1, u4=9.

💡 Astuce mémo

Raison arithmétique = “+ r à chaque pas” (marche régulière).

📖 2. Relation de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une relation de récurrence donne le lien entre un terme u_{n+1} et le terme précédent u_n.
• Relation de récurrence arithmétique : La relation de récurrence d’une suite arithmétique impose u_{n+1}=u_n+r pour une raison r constante.
• Relation de récurrence géométrique : La relation de récurrence d’une suite géométrique impose u_{n+1}=q×u_n avec q constant.

📝 Points essentiels

• En arithmétique, u_{n+1}=u_n+r signifie que la différence u_{n+1}-u_n reste égale à r.
• Dans l’exemple u0=-7 et u_{n+1}=u_n+4, la relation de récurrence identifie directement la raison r=4.
• En géométrie, la relation u_{n+1}=q×u_n décrit un passage d’un terme au suivant par multiplication par q.
• Pour la suite géométrique avec u0=4 et q=2, on obtient u1=8, u2=16, u3=32.

💡 Astuce mémo

Récurrence = “u_{n+1} se calcule à partir de u_n” : +r (arithmétique) ou ×q (géométrique).

📖 3. Formule explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite : La forme explicite donne u_n directement en fonction de n, sans calculer tous les termes précédents.
• Formule explicite arithmétique : Pour une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r, on a u_n=u0+n×r pour tout n.
• Formule explicite géométrique : Pour une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q, on a u_n=u0×q^n pour tout n.

📝 Points essentiels

• Si (u_n) est arithmétique de raison r, alors u_n=u0+n r.
• Pour u0=7 et u_{n+1}=u_n-4, la formule explicite devient u_n=7-4n.
• Pour u1=5 et u_{n+1}=u_n+3, on recule d’un pas pour trouver u0=u1-3=2 puis u_n=2+3n.
• Si (u_n) est géométrique avec u0=3 et u_{n+1}=4u_n, alors u_n=3×4^n.
• Si u1=5 et u_{n+1}=2u_n, alors u0=5/2=2,5 et u_n=2,5×2^n.

💡 Astuce mémo

Explicite = “u0 + n×r” (arithmétique) ou “u0×q^n” (géométrique).

📖 4. Variations et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Sens de variation : Le sens de variation indique si une suite augmente, reste constante ou diminue quand le rang n grandit.
• Suite arithmétique croissante : Une suite arithmétique est croissante lorsque sa raison r est strictement positive.
• Suite géométrique croissance exponentielle : Une suite géométrique se caractérise par une évolution de type exponentiel, visible sur son nuage de points.
• Représentation graphique d’une suite arithmétique : La représentation graphique d’une suite arithmétique forme des points alignés dans le plan.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r : si r>0 elle est croissante, si r=0 elle est constante, si r<0 elle est décroissante.
• La suite u_n=3+5n est croissante car sa raison vaut 5.
• Pour v0=-3 et v_{n+1}=v_n-4, la suite est décroissante car la raison vaut -4.
• Les points d’une suite arithmétique sont alignés et la croissance est linéaire.
• Pour une suite géométrique de raison q : si q>1 elle est croissante, si q=1 elle est constante, si 0<q<1 elle est décroissante.
• La représentation graphique d’une suite géométrique se fait par un nuage de points (n ; u_n) et correspond à une croissance exponentielle.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : droite (aligné) ; Géométrique : courbe exponentielle (nuage).

📖 5. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite numérique est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant par une constante q.
• Raison q d’une suite géométrique : La raison q d’une suite géométrique est le facteur constant qui multiplie le terme précédent pour obtenir le suivant.
• Premier terme u0 positif : Le premier terme u0 est la valeur de départ (au rang 0) utilisée dans la formule u_n=u0×q^n.
• Croissance exponentielle : La croissance exponentielle décrit l’allure des valeurs d’une suite géométrique quand n augmente.

📝 Points essentiels

• Une suite géométrique vérifie u_{n+1}=q×u_n pour tout n, avec q strictement positif.
• La formule explicite géométrique est u_n=u0×q^n pour tout n.
• Si q>1 alors la suite est croissante, si q=1 elle est constante, et si 0<q<1 elle est décroissante.
• Pour u_n=4×2^n, la suite est croissante car la raison vaut 2.
• Pour v0=2 et v_{n+1}=0,5v_n, la suite est décroissante car la raison vaut 0,5.
• Pour u0=3 et q=0,5, on a u1=1,5 et u2=0,75, ce qui illustre la décroissance.

💡 Astuce mémo

Géométrique = “×q” : l’écart n’est pas constant, c’est le multiplicateur qui l’est.

📊 Tableaux de synthèse

Arithmétique vs géométrique

Type	Relation	Terme général
Arithmétique	u_{n+1}=u_n+r	u_n=u0+n r
Géométrique	u_{n+1}=q u_n	u_n=u0 q^n

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la raison arithmétique r avec la multiplication : en arithmétique on additionne r, en géométrie on multiplie par q.
2. Se tromper de rang lors de l’application : u1 n’est pas u2, et u0 doit être utilisé comme point de départ.
3. Utiliser la mauvaise formule explicite : “u0+n×r” uniquement pour une suite arithmétique, “u0×q^n” uniquement pour une suite géométrique.
4. En géométrie, oublier que q est positif dans le cours pour les résultats de variations : 0<q<1 donne décroissance.
5. Oublier le cas q=1 en géométrie : la suite est alors constante et non décroissante ni croissante.
6. Croire que “aligné” signifie géométrique : l’alignement des points correspond aux suites arithmétiques, tandis que la géométrique correspond à un nuage exponentiel.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une suite est arithmétique à partir d’une relation du type u_{n+1}=u_n+r.
2. Déterminer la raison r et le premier terme u0 dans des exemples numériques.
3. Calculer u1, u2 et un terme de rang donné en arithmétique à l’aide de la récurrence.
4. Écrire la relation de récurrence d’une suite arithmétique donnée par sa raison et son premier terme.
5. Donner la formule explicite d’une suite arithmétique u_n=u0+n×r.
6. Transformer une suite arithmétique pour obtenir u_n quand le problème donne u1 au lieu de u0.
7. Décrire le sens de variation d’une suite arithmétique à partir du signe de r (r>0, r=0, r<0).
8. Reconnaître la forme de la représentation graphique d’une suite arithmétique : points alignés et croissance linéaire.
9. Identifier une suite géométrique et sa raison q à partir d’une relation u_{n+1}=q×u_n.
10. Écrire la formule explicite d’une suite géométrique u_n=u0×q^n.
11. Calculer des termes en géométrie à partir de la récurrence en effectuant les multiplications successives.
12. Déterminer le sens de variation d’une suite géométrique avec q : q>1, q=1, 0<q<1.
13. Décrire le lien représentation graphique géométrique : nuage de points (n ; u_n) et croissance exponentielle.