Lernzettel: Introduction aux suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites
2. Suites croissantes et décroissantes
3. Suites bornées
4. Suites arithmétiques
5. Somme d’une suite arithmétique
6. Suites géométriques
7. Limites des suites
8. Récurrence mathématique

📖 1. Définition des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une liste de nombres réels indexée par un rang (indice).
• Terme d’indice n : Le terme d’indice $n$ d’une suite est noté $U_n$ et correspond à la valeur prise pour ce rang.
• Fonction $U:N\to R$ : Une suite peut être vue comme une fonction qui associe à chaque $n\in\mathbb{N}$ le réel $U_n$.
• Suite définie explicitement : Une suite est dite explicitement définie quand $U_n$ s’écrit directement en fonction de $n$.
• Suite définie récursivement : Une suite est récursive quand on calcule $U_{n+1}$ à partir de $U_n$ à l’aide d’une relation.

📝 Points essentiels

• On note souvent une suite $(U_n)_{n\ge p}$ quand elle commence à un indice $p$.
• On peut définir la suite à partir de $U_0$ ou à partir de $U_p$ selon la relation donnée.
• Un exemple explicite donné est $U_n=2n+3$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Un exemple récursif donné est $U_0=2$ et $U_{n+1}=5U_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, ce qui produit $U_1=10$ et $U_2=50$.
• L’indice $n$ appartient aux entiers naturels, typiquement $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$.
• La notation $U_1, U_2, U_3$ correspond au 1er, 2e, 3e terme de la suite.

💡 Astuce mémo

Suite = valeur par rang : comme une fonction $n\mapsto U_n$.

📖 2. Suites croissantes et décroissantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante si chaque terme suivant est au moins aussi grand que le terme précédent.
• Suite strictement croissante : Une suite est strictement croissante si chaque terme suivant est strictement plus grand que le précédent.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante si chaque terme suivant est au plus égal au terme précédent.
• Suite strictement décroissante : Une suite est strictement décroissante si chaque terme suivant est strictement plus petit que le précédent.
• Suite monotone : Une suite monotone est une suite qui est soit croissante, soit décroissante.

📝 Points essentiels

• Pour tester la croissance/décroissance, on utilise le signe de $U_{n+1}-U_n$.
• Si $U_n=3n-4$, alors $U_{n+1}-U_n=3>0$, donc la suite est strictement croissante.
• Si $U_n=-5n+7$, alors $U_{n+1}-U_n=-5<0$, donc la suite est strictement décroissante.
• Pour des suites positives, on peut comparer le rapport $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ à $1$ pour décider croissance/décroissance.
• Si $U_n=2n$, alors $\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{2n+1}{2n}=2>1$, donc la suite est strictement croissante.

💡 Astuce mémo

Signe de $U_{n+1}-U_n$ : plus que 0 → ça monte, moins que 0 → ça descend.

📖 3. Suites bornées

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée s’il existe une constante $k$ qui majore tous ses termes.
• Suite minorée : Une suite est minorée s’il existe une constante $m$ qui minore tous ses termes.
• Suite bornée : Une suite est bornée s’il existe deux constantes $m$ et $k$ encadrant tous ses termes.

📝 Points essentiels

• Majorée signifie $\exists k$ tel que $U_n\le k$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Minorée signifie $\exists m$ tel que $U_n\ge m$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Bornée signifie $\exists m,k$ tel que $m\le U_n\le k$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Une suite qui est à la fois croissante et majorée admet une limite finie selon le théorème donné plus loin.

💡 Astuce mémo

Bornée = encadrée entre deux bornes fixes $m$ et $k$.

📖 4. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie une relation d’égalité entre deux termes consécutifs séparés par une constante.
• Raison de suite arithmétique : La raison $r$ d’une suite arithmétique est la constante qui ajoute le même écart à chaque passage.
• Formule explicite d’une suite arithmétique : Une suite arithmétique s’exprime aussi sous la forme $U_n=U_0+nr$ ou $U_n=U_p+(n-p)r$.

📝 Points essentiels

• Définition : $U_{n+1}=U_n+r$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, où $r$ est la raison.
• On a aussi $U_n=U_0+nr$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Pour $n,p\in\mathbb{N}$, on a $U_n=U_p+(n-p)r$.
• La somme des termes de rangs $p$ à $n$ vaut $\sum_{k=p}^n U_k=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}$.
• Le nombre de termes entre $p$ et $n$ (inclus) est $n-p+1$.
• La preuve de la somme utilise l’écriture $U_k=U_p+(k-p)r$ puis la somme de $j$ de 0 à $n-p$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : chaque pas ajoute $r$, donc la somme ressemble à (nombre de termes)×(moyenne des extrêmes).

📖 5. Somme d’une suite arithmétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des termes : La somme d’une suite arithmétique additionne les valeurs $U_p+U_{p+1}+\dots+U_n$ sur un intervalle d’indices.
• Somme des termes consécutifs : Pour une suite arithmétique, la somme sur $p\le k\le n$ dépend seulement du nombre de termes et des deux extrêmes.

📝 Points essentiels

• Le résultat général donné est $U_p+U_{p+1}+\dots+U_n=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}$.
• Le cas particulier $U_0+U_1+\dots+U_n=(n+1)\frac{U_0+U_n}{2}$ s’obtient en prenant $p=0$.
• La preuve utilise l’identification $\sum_{k=p}^n (k-p)=\sum_{j=0}^{n-p} j=(n-p)(n-p+1)/2$.
• Pour les entiers $1+2+\dots+n$, la formule fournie est $\frac{n(n+1)}{2}$.
• La somme contient bien $n-p+1$ termes entre $p$ et $n$ inclus.

💡 Astuce mémo

Somme arithmétique = moyenne des deux bouts × nombre de termes.

📖 6. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie qu’un terme suivant est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante.
• Raison de suite géométrique : La raison $q$ est le facteur constant tel que $U_{n+1}=qU_n$ pour tous les indices pertinents.
• Formule explicite d’une suite géométrique : Une suite géométrique s’exprime sous la forme $U_n=q^nU_0$ ou $U_n=q^{n-p}U_p$.
• Somme géométrique : La somme des termes $U_0+U_1+\dots+U_n$ se calcule avec une formule en fonction de $q$ et du nombre de termes.

📝 Points essentiels

• Définition : $U_{n+1}=qU_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$, où $q$ est la raison.
• On a $U_n=q^nU_0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
• Pour $n,p\in\mathbb{N}$, on a $U_n=q^{n-p}U_p$.
• La somme $1+q+\dots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour tout $q\ne 1$.
• La somme $U_0+U_1+\dots+U_n=U_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour $q\ne 1$.
• La preuve donnée multiplie la somme par $(1-q)$ pour faire apparaître un télescopage.

💡 Astuce mémo

Géométrique : on multiplie par $q$, et la somme utilise toujours $1-q$ au dénominateur (si $q\ne1$).

📖 7. Limites des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie d’une suite : Dire que $\lim_{n\to+\infty}U_n=\ell$ signifie que les termes finissent par rester arbitrairement proches de $\ell$.
• Limite infinie : Dire que $\lim_{n\to+\infty}U_n=+\infty$ ou $-\infty$ signifie que la suite dépasse tout seuil positif en valeur absolue avec le rang.
• Suite convergente : Une suite est convergente quand elle admet une limite finie au sens de la définition de $\lim_{n\to+\infty}U_n=\ell$.
• Théorème de la continuité (forme fonctionnelle) : Si $U_{n+1}=f(U_n)$ avec $f$ continue et si $U_n$ tend vers $\ell$, alors $\ell=f(\ell)$.
• Théorème des gendarmes : Le théorème des gendarmes permet de conclure la limite d’une suite encadrée quand les deux suites bornes convergent vers la même valeur.

📝 Points essentiels

• Définition : $\lim_{n\to+\infty}U_n=\ell$ signifie $\forall a>0,\exists k\in\mathbb{N}$ tel que $n\ge k\Rightarrow U_n\in[\ell-a,\ell+a]$.
• On a $\lim_{n\to+\infty}U_n=+\infty$ si $\forall a>0,\exists k$ tel que $n\ge k\Rightarrow U_n\in[a,+\infty[$.
• On a $\lim_{n\to+\infty}U_n=-\infty$ si $\forall a>0,\exists k$ tel que $n\ge k\Rightarrow U_n\in]-\infty,-a]$.
• Exemples fournis : $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$, et $\lim_{n\to+\infty}(-3n)=-\infty$.
• Théorème donné : si $V_n\le U_n\le W_n$ et si $V_n$ et $W_n$ convergent vers $\ell$, alors $U_n$ converge vers $\ell$.
• Pour une suite géométrique, $\lim_{n\to\infty}q^n$ vaut $0$ si $-1<q<1$, vaut $+\infty$ si $q>1$, et n’existe pas si $q\le-1$.

💡 Astuce mémo

Gendarmes : encadrer par deux suites qui convergent vers la même limite force la limite de la suite du milieu.

📖 8. Récurrence mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement par récurrence : Le raisonnement par récurrence prouve une propriété pour tous les rangs en combinant initialisation et étape d’hérédité.
• Propriété $P(n)$ : Une propriété $P(n)$ est l’assertion à vérifier pour chaque entier $n$ du type “pour tout $n$”.
• Initialisation : L’initialisation consiste à vérifier la propriété sur un premier rang de départ, noté $0$ ou $k$.
• Hérédité : L’hérédité consiste à montrer que si la propriété est vraie à l’ordre $n$, elle reste vraie à l’ordre $n+1$.

📝 Points essentiels

• Principe donné : si $P(0)$ est vraie et $P(n)\Rightarrow P(n+1)$, alors $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge0$.
• La structure en 3 étapes inclut initialisation, hérédité, puis conclusion sur tous les rangs.
• Exemple traité : $P(n)$ est “$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}2$ pour tout $n\ge1$”.
• L’initialisation vérifie $P(1)$ via $1=\frac{1\times2}{2}$.
• L’hérédité relie la somme jusqu’à $n+1$ à celle jusqu’à $n$ en ajoutant $n+1$ puis en réécrivant sous la forme $\frac{(n+1)(n+2)}2$.
• La conclusion utilise la chaîne “première marche puis passage à la suivante” pour justifier tous les rangs.

💡 Astuce mémo

Récurrence = base + flèche : $P(0)$ et “$P(n)\Rightarrow P(n+1)$” suffisent.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre croissante et strictement croissante : $U_{n+1}\ge U_n$ n’impose pas la différence positive.
2. Confondre décroissante et strictement décroissante : $U_{n+1}\le U_n$ permet l’égalité.
3. Croire que “bornée” signifie seulement majorée ou seulement minorée : une suite bornée doit être encadrée par deux constantes.
4. Mélanger la raison des suites : en arithmétique on ajoute $r$, en géométrique on multiplie par $q$.
5. Oublier la condition $q\ne1$ dans la formule de somme géométrique fournie : le dénominateur $1-q$ y apparaît.
6. Se tromper dans la somme arithmétique en utilisant le mauvais nombre de termes : il faut $n-p+1$ (inclus).
7. Appliquer la définition de limite sans quantificateurs : il faut “pour tout $a>0$” puis “il existe $k$” et la condition $n\ge k$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une suite et identifier le rôle de l’indice $n$ dans $U_n$.
2. Savoir distinguer une définition explicite (formule en fonction de $n$) d’une définition récursive (relation entre $U_{n+1}$ et $U_n$).
3. Pouvoir classer une suite comme croissante, strictement croissante, décroissante, strictement décroissante à partir de $U_{n+1}-U_n$.
4. Savoir utiliser la borne : majorée ($U_n\le k$), minorée ($U_n\ge m$), bornée ($m\le U_n\le k$).
5. Savoir écrire la définition d’une suite arithmétique $U_{n+1}=U_n+r$ et donner $U_n=U_0+nr$.
6. Savoir donner la formule de somme arithmétique $\sum_{k=p}^n U_k=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}$ et le nombre de termes $n-p+1$.
7. Savoir écrire la définition d’une suite géométrique $U_{n+1}=qU_n$ et donner $U_n=q^nU_0$.
8. Savoir calculer une somme géométrique avec la formule $U_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ quand $q\ne1$.
9. Savoir appliquer la définition de limite finie : encadrement par $[\ell-a,\ell+a]$ avec $\forall a>0$.
10. Savoir caractériser $\lim U_n=+\infty$ et $\lim U_n=-\infty$ via les intervalles $[a,+\infty[$ et $]-\infty,-a]$.
11. Savoir appliquer le théorème des gendarmes quand $V_n\le U_n\le W_n$ et que $V_n$ et $W_n$ convergent vers la même valeur.
12. Savoir utiliser le résultat de limites pour $q^n$ selon la valeur de $q$ : $0$ si $-1<q<1$, $+\infty$ si $q>1$, et pas d’existence si $q\le-1$.
13. Savoir conclure la limite d’une suite géométrique $U_n=U_0q^n$ en combinant $U_0$ et la limite de $q^n$.
14. Maîtriser le principe de récurrence : initialisation $P(0)$ et hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ pour obtenir $P(n)$ pour tout $n\ge0$.