Revision sheet: Le second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction et parabole
2. Forme canonique et variations
3. Discriminant et factorisation
4. Signe et résolution
5. Racines, sommet et optimisation

📖 1. Fonction et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Fonction de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$, avec $a\ne0$ et $a,b,c\in\mathbb{R}$.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction du second degré est une parabole.

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum, tandis que si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut et minimum ; a < 0 : parabole vers le bas et maximum

📖 2. Forme canonique et variations

📝 Points essentiels

📐 Formule — La forme canonique d’une fonction du second degré est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)=-\frac{\Delta}{4a}$.

• Le sommet de la parabole est le point $S(\alpha;\beta)$.

📌 Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $x=\alpha$ puis croît, tandis que si $a<0$, elle croît jusqu’à $x=\alpha$ puis décroît.

💡 Astuce mémo

Visualiser le sommet S(α ; β) au point le plus bas ou le plus haut de la parabole

📖 3. Discriminant et factorisation

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, on calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, l’équation possède deux solutions réelles distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

📌 Si $\Delta=0$, l’équation possède une racine réelle double $x_0=-\frac{b}{2a}$, tandis que si $\Delta<0$, elle ne possède aucune solution réelle.

📌 Si $\Delta>0$, alors $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ ; si $\Delta=0$, alors $ax^2+bx+c=a(x-x_0)^2$ ; si $\Delta<0$, le polynôme ne se factorise pas sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Calculer Δ → compter les racines → factoriser si possible

📖 4. Signe et résolution

📝 Points essentiels

📌 Si $\Delta>0$ et $x_1<x_2$, le polynôme a le signe de $a$ sur $]-\infty;x_1[$ et $]x_2;+\infty[$, et le signe opposé à $a$ sur $]x_1;x_2[$.

📌 Si $\Delta=0$, le polynôme garde le signe de $a$ sauf en $x_0$, où il vaut zéro.

📌 Si $\Delta<0$, le polynôme garde toujours le signe de $a$ : il est positif partout si $a>0$ et négatif partout si $a<0$.

• Pour résoudre une inéquation du second degré, on calcule $\Delta$, on trouve les racines, on construit le tableau de signes, puis on lit l’ensemble solution.

💡 Astuce mémo

Δ → racines → tableau de signes → ensemble solution

📖 5. Racines, sommet et optimisation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet et l’axe de symétrie sont donnés par $x_s=-\frac{b}{2a}$ et $x=-\frac{b}{2a}$.

• Pour résoudre $f(x)=k$, on transforme l’équation en $f(x)-k=0$ puis on utilise le discriminant.

📌 L’extremum de $f(x)=ax^2+bx+c$ est atteint en $x_s=-\frac{b}{2a}$ ; si $a>0$, il s’agit du minimum $f(x_s)$, et si $a<0$, du maximum $f(x_s)$.

Compléments

📐 Formule — Si les racines existent, l’abscisse du sommet vérifie $x_s=\frac{x_1+x_2}{2}$.

• Pour $f(x)=-2x^2+8x+3$, on a $x_s=2$ et $f(2)=11$ ; la fonction possède donc un maximum égal à $11$ atteint pour $x=2$.

💡 Astuce mémo

Le sommet donne l’extremum, donc il permet de résoudre f(x)=k et d’optimiser

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant

Valeur de Δ	Racines réelles	Signe et factorisation
> 0	Deux racines distinctes	Signe variable ; factorisation par deux facteurs
= 0	Une racine double	Signe de a sauf en x₀ ; carré parfait
< 0	Aucune racine réelle	Signe constant de a ; pas de factorisation sur ℝ