Revision sheet: Opérations et variations des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les fonctions et variations
2. Courbe d’équation y = f(x
3. Résolution d’équations et inéquations par courbe
4. Somme de deux fonctions et sens de variation
5. Multiplication d’une fonction par une constante

📖 1. Opérations sur les fonctions et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de deux fonctions : Opération qui associe à chaque $x$ la somme des valeurs de deux fonctions $f$ et $g$ sur le même intervalle.
• Multiplication d’une fonction par une constante : Opération qui associe à chaque $x$ le produit de la valeur de $f(x)$ par un réel $k$ sur le même intervalle.
• Sens de variation : Propriété d’une fonction sur un intervalle indiquant si ses valeurs augmentent ou diminuent quand $x$ augmente.

📝 Points essentiels

• Si $f$ et $g$ sont croissantes sur $I$, alors $f+g$ est croissante sur $I$.
• Si $f$ et $g$ sont décroissantes sur $I$, alors $f+g$ est décroissante sur $I$.
• Pour une constante $k$, la fonction $kf$ est définie par $x\mapsto k\times f(x)$ sur $I$.
• Si $k>0$, $f$ et $kf$ ont le même sens de variation sur $I$.
• Si $k<0$, $f$ et $kf$ ont des sens de variation contraires sur $I$.

💡 Astuce mémo

Somme: même sens → même sens; Produit: signe de $k$ décide si on garde ou on inverse.

📖 2. Courbe d’équation y = f(x

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Ensemble des points du plan dont les coordonnées $(x;y)$ vérifient l’équation $y=f(x)$.
• Appartenance à une courbe : Test qui consiste à vérifier si un point $(x_0,y_0)$ satisfait l’égalité $y_0=f(x_0)$.
• Calcul de coordonnées : Méthode qui consiste à déterminer les coordonnées d’un point de la courbe en utilisant l’équation $y=f(x)$.

📝 Points essentiels

• La courbe d’équation $y=f(x)$ est l’ensemble des points $(x;y)$ tels que $y=f(x)$.
• Pour vérifier l’appartenance d’un point, on remplace $x$ par la valeur du point dans $f(x)$ et on compare au $y$ donné.
• Pour calculer un point de la courbe, on utilise l’équation $y=f(x)$ pour obtenir la valeur correspondante de $y$.
• Dans les problèmes, on peut exploiter la courbe pour lire ou déterminer des solutions d’égalités ou d’inégalités de la forme $f(x)=c$ ou $f(x)<c$.

💡 Astuce mémo

Courbe = “tous les $(x,y)$ qui collent à $y=f(x)$”.

📖 3. Résolution d’équations et inéquations par courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution graphique : Méthode qui utilise la courbe pour trouver les valeurs de $x$ qui rendent une égalité ou une inégalité vraie.
• Équation f(x)=c : Problème où l’on cherche les $x$ tels que la valeur de la fonction soit égale à une constante $c$.
• Inéquation f(x)<c : Problème où l’on cherche les $x$ pour lesquels la valeur de la fonction est strictement inférieure à une constante $c$.

📝 Points essentiels

• On peut résoudre algébriquement ou graphiquement une équation $f(x)=c$ quand $f$ est affine ou de type $x\mapsto kx^2$.
• On peut résoudre algébriquement ou graphiquement une inéquation $f(x)<c$ dans les mêmes cas de fonctions (affine ou $kx^2$).
• Pour une équation par courbe, les solutions correspondent aux abscisses des points où la courbe atteint le niveau $y=c$.
• Pour une inéquation par courbe, les solutions correspondent aux abscisses où la courbe est strictement sous la droite horizontale $y=c$.

💡 Astuce mémo

Égalité: “touche le niveau $c$”; Inégalité: “reste en dessous de $c$”.

📖 4. Somme de deux fonctions et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction f+g : Fonction définie sur $I$ par $x\mapsto f(x)+g(x)$ lorsque $f$ et $g$ sont définies sur le même intervalle $I$.
• Croissance : Sens de variation où la fonction augmente quand $x$ augmente sur l’intervalle considéré.
• Décroissance : Sens de variation où la fonction diminue quand $x$ augmente sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• La somme $f+g$ est définie sur $I$ si $f$ et $g$ sont définies sur $I$.
• Si $f$ et $g$ sont croissantes sur $I$, alors $f+g$ est croissante sur $I$.
• Si $f$ et $g$ sont décroissantes sur $I$, alors $f+g$ est décroissante sur $I$.
• Le sens de variation de $f+g$ se déduit directement du sens de variation de $f$ et de $g$ dans ces cas.

💡 Astuce mémo

Même pente (croissante ou décroissante) → même pente pour la somme.

📖 5. Multiplication d’une fonction par une constante

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction kf : Fonction définie sur $I$ par $x\mapsto k\times f(x)$, où $k$ est un réel donné.
• Signe de k : Information sur le réel $k$ qui détermine si la multiplication conserve ou inverse le sens de variation.

📝 Points essentiels

• La fonction $kf$ est définie sur le même intervalle $I$ que $f$.
• Si $k>0$, $f$ et $kf$ ont le même sens de variation sur $I$.
• Si $k<0$, $f$ et $kf$ ont des sens de variation contraires sur $I$.
• Le changement de sens vient du fait que multiplier par un nombre négatif renverse l’évolution verticale de la fonction.

💡 Astuce mémo

$k>0$ : on garde; $k<0$ : on inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du signe de k sur le sens de variation

Signe de k	Fonctions	Sens de variation
k>0	f et kf	Même sens
k<0	f et kf	Sens contraire

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la courbe $y=f(x)$ avec une liste de points: c’est un ensemble de points vérifiant l’équation.
2. Oublier que pour tester un point $(x_0,y_0)$, on doit vérifier $y_0=f(x_0)$.
3. Se tromper sur l’inéquation stricte: $f(x)<c$ correspond à une position strictement sous $y=c$, pas sur la droite.
4. Croire que la somme $f+g$ garde toujours le même sens sans vérifier si $f$ et $g$ sont croissantes ou décroissantes.
5. Inverser la règle liée au signe de $k$ (garder le même sens quand $k<0$).

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir la somme $f+g$ sur un intervalle $I$ et déduire son sens de variation quand $f$ et $g$ sont croissantes ou décroissantes.
2. Savoir définir $kf$ par $x\mapsto k\times f(x)$ et déterminer le sens de variation selon le signe de $k$.
3. Savoir interpréter la courbe $y=f(x)$ comme l’ensemble des points $(x;y)$ tels que $y=f(x)$.
4. Savoir vérifier l’appartenance d’un point à la courbe en testant l’égalité $y_0=f(x_0)$.
5. Savoir calculer les coordonnées d’un point de la courbe à partir de l’équation $y=f(x)$.
6. Savoir résoudre graphiquement ou algébriquement une équation $f(x)=c$ et une inéquation $f(x)<c$ pour $f$ affine ou de type $x\mapsto kx^2$.