Produit scalaire et géométrie vectorielle

📋 Plan du Cours

1. Produit scalaire et angle des vecteurs
2. Produit scalaire en coordonnées orthonormées
3. Produit scalaire et normes via identités
4. Propriétés générales du produit scalaire
5. Projection orthogonale et vecteurs colinéaires
6. Applications géométriques et relations métriques
7. Théorème d’Al-Kashi et loi des sinus
8. Formule de la médiane et vecteur normal
9. Applications du produit scalaire au cercle

📖 1. Produit scalaire et angle des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle de deux vecteurs : L’angle de deux vecteurs est l’angle formé par deux représentants ayant la même origine.
• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est défini comme le produit de leurs normes par le cosinus de l’angle entre eux.
• Produit scalaire via cosinus : Le produit scalaire s’exprime en fonction des normes et du cosinus de l’angle entre les vecteurs.

📝 Points essentiels

• Pour deux vecteurs non nuls, on a $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\vec u;\vec v)$.
• L’angle $\,(\vec u;\vec v)\,$ est défini à partir de représentants ayant la même origine.
• Pour des points $A,B,C$, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})$.
• Si $\vec u\perp\vec v$ alors $\vec u\cdot\vec v=0$ car $\cos(\pi/2)=0$.
• Si $\vec u$ est orthogonal à $\vec v$ alors $\vec u$ est orthogonal à tout vecteur colinéaire à $\vec v$ (même droite).

💡 Astuce mémo