Quiz: Produit scalaire et géométrie vectorielle — 18 domande

1. Quelle relation exprime le produit scalaire de deux vecteurs non nuls en fonction de leurs normes et de l’angle entre eux ?

A. Le produit de leurs normes multiplié par le cosinus de leur angle

B. La somme de leurs normes multipliée par le sinus de leur angle

C. Le produit de leurs coordonnées dans un repère orthonormé

D. La différence de leurs normes multipliée par le cosinus de leur angle

Answer: (A)

Spiegazione

Pour deux vecteurs non nuls, le produit scalaire vaut bien le produit des normes multiplié par le cosinus de l’angle entre eux. Les autres propositions mélangent avec des formules de coordonnées ou de trigonométrie inadaptées.

2. Que vaut le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux ?

A. Le produit de leurs normes

B. 0

C. Le cosinus de l’angle droit

D. 1

Answer: (B)

Spiegazione

Deux vecteurs orthogonaux ont un angle de 90°, donc leur cosinus vaut 0 et leur produit scalaire aussi. C’est l’équivalence fondamentale entre orthogonalité et produit scalaire nul.

3. Dans un repère orthonormé, comment calcule-t-on le produit scalaire de deux vecteurs de coordonnées d7(x,y) et d7(x',y') ?

A. x + x' + y + y'

B. xy' + yx'

C. xx' + yy'

D. xx' - yy'

Answer: (C)

Spiegazione

Dans un repère orthonormé, le produit scalaire est la somme des produits des coordonnées correspondantes : xx' + yy'. La formule xx' - yy' serait incorrecte.

4. Que faut-il vérifier avant d’utiliser la formule xx' + yy' pour un produit scalaire ?

A. Que l’angle entre les vecteurs soit droit

B. Que le repère soit orthonormé

C. Que les points aient la même abscisse

D. Que les vecteurs soient colinéaires

Answer: (B)

Spiegazione

La formule xx' + yy' n’est valable que dans un repère orthonormé. Sans cette hypothèse, on ne peut pas l’utiliser directement.

5. Quelle identité permet d’écrire un produit scalaire à partir des normes de d7u + d7v, d7u et d7v ?

A. d7u·d7v = 1/2(‖d7u+d7v‖² - ‖d7u‖² - ‖d7v‖²)

B. d7u·d7v = 1/2(‖d7u‖² + ‖d7v‖²)

C. d7u·d7v = ‖d7u-d7v‖² - ‖d7u+d7v‖²

D. d7u·d7v = ‖d7u+d7v‖² - ‖d7u‖² + ‖d7v‖²

Answer: (A)

Spiegazione

L’identité correcte est d7u·d7v = 1/2(‖u+v‖² - ‖u‖² - ‖v‖²). Elle permet de calculer un produit scalaire sans passer par le cosinus.

6. Que représente le carré scalaire d’un vecteur d7u ?

A. Le produit de d7u par un vecteur colinéaire

B. 2d7u, égal à ‖d7u‖

C. La norme de d7u au carré moins 1

D. d7u·d7u, égal à ‖d7u‖²

Answer: (D)

Spiegazione

Le carré scalaire de d7u est d7u·d7u, et il vaut toujours ‖u‖². Les autres propositions ne correspondent pas à la définition.

7. Quelle propriété du produit scalaire est illustrée par d7u·(d7v+d7w)=d7u·d7v+d7u·d7w ?

A. La commutativité

B. L’homogénéité

C. La distributivité

D. L’orthogonalité

Answer: (C)

Spiegazione

Cette égalité traduit la distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition. La commutativité concerne l’échange de l’ordre des vecteurs.

8. Que peut-on conclure si d7u·d7v=0 ?

A. Leur angle vaut 180°

B. d7u et d7v sont orthogonaux

C. d7u et d7v sont colinéaires

D. L’un des deux vecteurs est nécessairement nul

Answer: (B)

Spiegazione

Dans le cours, d7u·d7v=0 équivaut à d7u ⟂ d7v. Un vecteur peut toutefois être nul, donc la proposition sur la nullité nécessaire est fausse.

9. Si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), quelle égalité est correcte ?

A. d7AB·d7AC = d7AC·d7AH

B. d7AB·d7AC = AB × AC

C. d7AB·d7AC = AB + AH

D. d7AB·d7AC = d7AB·d7AH

Answer: (D)

Spiegazione

Le produit scalaire “passe” par la projection orthogonale : d7AB·d7AC = d7AB·d7AH. C’est la base des calculs avec les projections.

10. Dans le cas d’une projection orthogonale sur (AB), que devient d7AB·d7AC si d7AB et d7AH sont de sens opposés ?

A. 0

B. -AB × AH

C. AB + AH

D. AB × AH

Answer: (B)

Spiegazione

Quand d7AB et d7AH sont de sens opposés, la projection est signée négativement, donc le produit scalaire vaut -AB × AH. Le signe dépend bien du sens des vecteurs.

11. Quelle formule d’Al-Kashi est correcte dans un triangle ABC avec a = BC, b = AC et c = AB ?

A. a² = b² + c² + 2bc cos(Â)

B. a² = b² + c² - 2bc cos(Â)

C. a² = 2b² + 2c² - bc cos(Â)

D. a² = b² - c² - 2bc cos(Â)

Answer: (B)

Spiegazione

La formule d’Al-Kashi s’écrit bien a² = b² + c² - 2bc cos(Â). Elle généralise le théorème de Pythagore quand l’angle  est droit.

12. Quelle égalité correspond à la formule de la médiane, si I est le milieu de [AB] ?

A. MA² - MB² = 2MI² + AB²/2

B. MA + MB = 2MI + AB/2

C. MA² + MB² = MI² + AB²

D. MA² + MB² = 2MI² + AB²/2

Answer: (D)

Spiegazione

La formule de la médiane relie bien la somme des carrés MA² + MB² à 2MI² + AB²/2. Elle sert à remplacer une somme de distances au carré par une expression plus simple.

13. Quelle relation exprime la loi des sinus dans un triangle ?

A. sin(Â)/a = sin(̂B)/b = sin(̂C)/c

B. a/b = sin(Â)/sin(̂B) + sin(̂C)

C. cos(Â)/a = cos(̂B)/b = cos(̂C)/c

D. a²/b² = sin(Â)/sin(̂B)

Answer: (A)

Spiegazione

La loi des sinus relie chaque sinus d’angle au côté opposé : sin(Â)/a = sin(̂B)/b = sin(̂C)/c. C’est une relation métrique fondamentale des triangles.

14. Quel outil est directement associé à la relation donnant a² = b² + c² - 2bc cos(Â) ?

A. Le théorème d’Al-Kashi

B. La formule de la médiane

C. La projection orthogonale

D. La loi des sinus

Answer: (A)

Spiegazione

Cette égalité est précisément la formule d’Al-Kashi. Elle fait intervenir un cosinus et les longueurs des côtés du triangle.

15. Quel est le rôle d’un vecteur normal à une droite ?

A. Il est parallèle à tous les points de la droite

B. Il est orthogonal à un vecteur directeur de cette droite

C. Il mesure la pente de la droite

D. Il relie le milieu de deux points du segment

Answer: (B)

Spiegazione

Un vecteur normal est défini comme étant orthogonal à un vecteur directeur de la droite. Cette propriété sert à écrire ou reconnaître une équation cartésienne.

16. Dans l’équation cartésienne ax + by + c = 0 d’une droite, quel vecteur est normal à cette droite ?

A. (b, a)

B. (-b, a)

C. (a, b)

D. (a, -c)

Answer: (C)

Spiegazione

Pour une droite d’équation ax + by + c = 0, un vecteur normal est (a, b). Les coefficients de x et y donnent directement la normale.

17. Quelle condition caractérise un point M appartenant au cercle de diamètre [AB] ?

A. d7AB·d7AM = 0

B. d7MA = d7MB

C. MA = MB

D. d7MA·d7MB = 0

Answer: (D)

Spiegazione

Un point M appartient au cercle de diamètre [AB] si et seulement si les vecteurs d7MA et d7MB sont orthogonaux, donc si leur produit scalaire est nul. Cela traduit l’angle droit en M.

18. Quelle est l’équation d’un cercle de centre Ω(xΩ, yΩ) et de rayon r dans un repère orthonormé ?

A. (x - xΩ) + (y - yΩ) = r²

B. (x + xΩ)² + (y + yΩ)² = r²

C. (x - xΩ)² + (y - yΩ)² = r²

D. x² + y² = xΩ² + yΩ² + r

Answer: (C)

Spiegazione

L’équation d’un cercle de centre Ω et de rayon r s’écrit (x - xΩ)² + (y - yΩ)² = r². Elle traduit l’ensemble des points situés à distance r du centre.