Revision sheet: Variables aléatoires et produit scalaire

📋 Plan du Cours

1. Variables aléatoires discrètes : définition, exemples et loi de probabilité
2. Espérance mathématique, variance et écart-type des variables aléatoires
3. Application des variables aléatoires aux jeux de hasard
4. Définition géométrique du produit scalaire par le cosinus
5. Calculs de produit scalaire avec angles et normes
6. Formules d'Al-Kashi et applications aux triangles
7. Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
8. Exercices d'application du produit scalaire en géométrie plane

📖 1. Variables aléatoires discrètes : définition, exemples et loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R
• Variables Aléatoires : Fonctions qui attribuent un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire.
• Événement élémentaire : Issue unique de l'univers associé à une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• L'univers Ω est l'ensemble des issues élémentaires de l'expérience.
• Exemple : pour un dé à 6 faces, la variable aléatoire peut associer un gain selon que le résultat est pair ou impair.
• La fonction G est une variable aléatoire.
• 2 Loi de Probabilité

💡 À retenir

Une variable aléatoire discrète modélise un phénomène aléatoire par une fonction numérique, et sa loi de probabilité décrit la distribution des valeurs possibles.

📖 2. Espérance mathématique, variance et écart-type des variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart-type : La racine carrée de la variance d'une variable aléatoire, utilisée pour quantifier la dispersion des valeurs autour de l'espérance.
• Espérance mathématique (E(X)) : La moyenne pondérée des valeurs possibles d'une variable aléatoire par leurs probabilités, représentant la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
• Variance V(X) : La moyenne des carrés des écarts des valeurs d'une variable aléatoire par rapport à son espérance, mesurant la dispersion des valeurs.

📝 Points essentiels

• Un jeu est équitable si son espérance est nulle, c'est-à-dire E(X)=0.
• Un écart-type élevé indique une plus grande dispersion des résultats autour de la moyenne.

💡 À retenir

Un jeu est équitable si son espérance est nulle, c'est-à-dire E(X)=0.

📖 3. Application des variables aléatoires aux jeux de hasard

🔑 Notions clés & Définitions

• 5 Exercice de Synthèse : Comparaison au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et jouent à la roulette (37 numéros).
• Gain net : La différence entre le montant final obtenu par le joueur et sa mise initiale dans un jeu de hasard.

📝 Points essentiels

• Dans un jeu de hasard, la variable aléatoire peut représenter le gain net du joueur.
• Un jeu est équitable si l'espérance du gain net est nulle, signifiant que le joueur ne perd ni ne gagne en moyenne.
• L'espérance négative indique une perte moyenne sur le long terme pour le joueur.
• L'écart-type permet d'évaluer le risque associé à chaque stratégie de jeu.
• L'exemple compare deux stratégies à la roulette avec différentes probabilités de gain et montants misés.
• Un jeu est dit équitable si son espérance est nulle (E(X)=0).
• Dans ce cas, le joueur perd en moyenne 3,80 € par partie.

💡 À retenir

Utiliser les variables aléatoires pour analyser et comparer les stratégies de jeux de hasard en termes d'espérance et de risque.

📖 4. Définition géométrique du produit scalaire par le cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriétés immédiates : 1 Définition Géométrique (Cosinus) Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le nombre réel défini par : AB ⋅ AC
• Trois configurations fondamentales : Vecteurs colinéaires de même sens : θ=0, donc cos(0)=1.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est défini par : u⋅v = ∥u∥ × ∥v∥ × cos(θ), où θ est l'angle entre u et v.
• Le produit scalaire est un scalaire (nombre réel), pas un vecteur.
• Trois cas particuliers : vecteurs colinéaires même sens (cos(0)=1), colinéaires sens contraire (cos(π)=-1), orthogonaux (cos(π/2)=0).

💡 À retenir

Le produit scalaire exprime l'alignement angulaire entre deux vecteurs en utilisant le cosinus de l'angle qui les sépare.

📖 5. Calculs de produit scalaire avec angles et normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Normes et les angles orientés : Les normes mesurent la longueur d'un vecteur, tandis que les angles orientés indiquent la direction entre deux vecteurs, en degrés ou radians.
• Produit scalaire : Xx ′ +yy ′ Propriétés : Norme : ∥ u =0) et isocèle en A (car AB=AC= 5

📝 Points essentiels

• Exemples numériques montrent comment utiliser normes et angles pour obtenir des produits scalaires précis.
• Le signe du produit scalaire dépend de l'angle : positif pour angle aigu, négatif pour angle obtus, nul pour angle droit.

💡 À retenir

Savoir appliquer la formule du produit scalaire avec angles et normes permet de calculer précisément des produits scalaires dans divers cas.

📖 6. Formules d'Al-Kashi et applications aux triangles

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle droit : Une mesure d'angle égale à 90°, caractérisée par un cosinus nul et des vecteurs orthogonaux dont le produit scalaire est nul.
• Triangle quelconque : Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) :

📝 Points essentiels

• Les formules d'Al-Kashi relient les côtés et les angles d'un triangle quelconque par des équations comme a² = b² + c² − 2bc cos(A).
• Ces formules généralisent le théorème de Pythagore à tout triangle, réduisant à ce dernier lorsque l'angle considéré est droit.
• Exemple : calcul de la longueur BC ou de l'angle B dans un triangle donné.
• Si un angle est droit, la formule d'Al-Kashi devient le théorème de Pythagore classique.
• Calcul d'un angle : Soit un triangle avec a=6,b=5,c=7.

💡 À retenir

Utiliser les formules d'Al-Kashi permet de résoudre des triangles quelconques en reliant côtés et angles de manière analytique.

📖 7. Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Système de coordonnées dans lequel les axes sont perpendiculaires et de même unité, permettant d'exprimer les vecteurs par leurs composantes.

📝 Points essentiels

• Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de u(x;y) et v(x';y') s'exprime par u⋅v = xx' + yy'.
• La norme d'un vecteur u est ∥u∥ = √(x² + y²).

💡 À retenir

Exploiter la formule analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé permet de simplifier les calculs vectoriels en géométrie plane.

📖 8. Exercices d'application du produit scalaire en géométrie plane

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : Opération géométrique consistant à déterminer le point H sur une droite tel que la perpendiculaire issue d'un point C intersecte cette droite en H, utilisée pour exprimer le produit scalaire en fonction de la position relative de H.
• Expression : 7×2×cos(180 ∘ ou π)=14×(−1)
• Application : Utilisation du produit scalaire pour analyser des propriétés géométriques dans le plan, notamment pour déterminer l'orthogonalité, calculer des angles et étudier des figures telles que triangles et quadrillages.

📝 Points essentiels

• Le produit scalaire peut s'interpréter via la projection orthogonale d'un point sur une droite.
• Selon la position du projeté H par rapport à A et B, le produit scalaire AB⋅AC peut être positif, négatif ou nul.

💡 À retenir

Le produit scalaire peut s'interpréter via la projection orthogonale d'un point sur une droite.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : : Variables Aléatoires et Produit Scalaire 1. Variables Aléatoires Discrètes 1.1 Définition et Premier Exemple En probabilités, une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expé (Source: ": Variables Aléatoires et Produit Scalaire 1. Variables Aléatoires Discrètes 1.1 Définition et Premier Exemple En probabilités, une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier les résultats d'un phénomène aléatoire (par exemple, un gain ou une perte financière).")
2. Détail source à réviser : Aléatoires Discrètes 1.1 Définition et Premier Exemple En probabilités, une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier les résultat (Source: "Aléatoires Discrètes 1.1 Définition et Premier Exemple En probabilités, une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier les résultats d'un phénomène aléatoire (par exemple, un gain ou une perte financière). Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé")
3. Détail source à réviser : issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier les résultats d'un phénomène aléatoire (par exemple, un gain ou une perte financière). Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 face (Source: "issue d'une expérience aléatoire. Elle permet de quantifier les résultats d'un phénomène aléatoire (par exemple, un gain ou une perte financière). Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. L'univers associé est Ω={1,2,3,4,5,6}. On définit le jeu suivant : Si le résultat est pair, on gagne 10 €. Si le résultat est impair,")
4. Détail source à réviser : Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. L'univers associé est Ω={1,2,3,4,5,6}. On définit le jeu suivant : Si le résultat est pair, on gagne 10 €. Si le résultat est impair, on perd 11 (Source: "Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. L'univers associé est Ω={1,2,3,4,5,6}. On définit le jeu suivant : Si le résultat est pair, on gagne 10 €. Si le résultat est impair, on perd 11 €. Soit G la fonction qui, à tout événement élémentaire e i ​ , associe le gain correspondant. Événement élémentaire e i ​ {1} {2} {3} {4}")
5. Détail source à réviser : résultat est pair, on gagne 10 €. Si le résultat est impair, on perd 11 €. Soit G la fonction qui, à tout événement élémentaire e i ​ , associe le gain correspondant. Événement élémentaire e i ​ {1} {2} {3} {4} {5} {6} G (Source: "résultat est pair, on gagne 10 €. Si le résultat est impair, on perd 11 €. Soit G la fonction qui, à tout événement élémentaire e i ​ , associe le gain correspondant. Événement élémentaire e i ​ {1} {2} {3} {4} {5} {6} Gain g(e i ​ ) −11 € +10 € −11 € +10 € −11 € +10 € La fonction G est une variable aléatoire. Son ensemble de départ est Ω et son ensemble")
6. Détail source à réviser : correspondant. Événement élémentaire e i ​ {1} {2} {3} {4} {5} {6} Gain g(e i ​ ) −11 € +10 € −11 € +10 € −11 € +10 € La fonction G est une variable aléatoire. Son ensemble de départ est Ω et son ensemble d'arrivée est R (Source: "correspondant. Événement élémentaire e i ​ {1} {2} {3} {4} {5} {6} Gain g(e i ​ ) −11 € +10 € −11 € +10 € −11 € +10 € La fonction G est une variable aléatoire. Son ensemble de départ est Ω et son ensemble d'arrivée est R. On note, par exemple, G(5)=−11. 1.2 Loi de Probabilité Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à")
7. Détail source à réviser : aléatoire. Son ensemble de départ est Ω et son ensemble d'arrivée est R. On note, par exemple, G(5)=−11. 1.2 Loi de Probabilité Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à chaque valeur pos (Source: "aléatoire. Son ensemble de départ est Ω et son ensemble d'arrivée est R. On note, par exemple, G(5)=−11. 1.2 Loi de Probabilité Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à chaque valeur possible k prise par G la probabilité de l'événement {G=k}. Exercice d'application : On lance un dé à 6 faces. La mise de départ est de 20")
8. Détail source à réviser : probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à chaque valeur possible k prise par G la probabilité de l'événement {G=k}. Exercice d'application : On lance un dé à 6 faces. La mise de départ est de 20 €. Le joue (Source: "probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à chaque valeur possible k prise par G la probabilité de l'événement {G=k}. Exercice d'application : On lance un dé à 6 faces. La mise de départ est de 20 €. Le joueur reçoit en euros le carré du nombre obtenu sur le dé. Soit G la variable aléatoire représentant le gain final (gain reçu moins la mise).")
9. Détail source à réviser : : On lance un dé à 6 faces. La mise de départ est de 20 €. Le joueur reçoit en euros le carré du nombre obtenu sur le dé. Soit G la variable aléatoire représentant le gain final (gain reçu moins la mise). a) Établir la l (Source: ": On lance un dé à 6 faces. La mise de départ est de 20 €. Le joueur reçoit en euros le carré du nombre obtenu sur le dé. Soit G la variable aléatoire représentant le gain final (gain reçu moins la mise). a) Établir la loi de probabilité de G. b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0). Tableau de la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi :")
10. Détail source à réviser : représentant le gain final (gain reçu moins la mise). a) Établir la loi de probabilité de G. b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0). Tableau de la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R e ˊ sultat 2 (Source: "représentant le gain final (gain reçu moins la mise). a) Établir la loi de probabilité de G. b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0). Tableau de la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R e ˊ sultat 2 )−20. Valeur k −19 −16 −11 −4 +5 +16 P(G=k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Réponses b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ;")
11. Détail source à réviser : la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R e ˊ sultat 2 )−20. Valeur k −19 −16 −11 −4 +5 +16 P(G=k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Réponses b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6 (Source: "la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R e ˊ sultat 2 )−20. Valeur k −19 −16 −11 −4 +5 +16 P(G=k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Réponses b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3. 1.3 Espérance Mathématique E(X) L'espérance représente la valeur moyenne que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions")
12. Détail source à réviser : b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3. 1.3 Espérance Mathématique E(X) L'espérance représente la valeur moyenne que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. El (Source: "b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3. 1.3 Espérance Mathématique E(X) L'espérance représente la valeur moyenne que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Elle correspond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p")
13. Détail source à réviser : que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Elle correspond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Ca (Source: "que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions de l'expérience. Elle correspond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 1 ​ +(−4)× 6 1 ​ +5× 6 1 ​ +16× 6 1 ​ E(G)= 6 −19−16−11−4+5+16")
14. Détail source à réviser : : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 1 ​ +(−4)× 6 1 ​ +5× 6 1 ​ +16× 6 1 ​ E(G)= 6 −19−16−11−4+5+16 ​ =− 6 23 (Source: ": E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 1 ​ +(−4)× 6 1 ​ +5× 6 1 ​ +16× 6 1 ​ E(G)= 6 −19−16−11−4+5+16 ​ =− 6 23 ​ ≈−3,80 € Remarques pédagogiques : Un jeu est dit équitable si son espérance est nulle (E(X)=0). Dans ce cas, le joueur perd en moyenne")
15. Détail source à réviser : 1 ​ +(−4)× 6 1 ​ +5× 6 1 ​ +16× 6 1 ​ E(G)= 6 −19−16−11−4+5+16 ​ =− 6 23 ​ ≈−3,80 € Remarques pédagogiques : Un jeu est dit équitable si son espérance est nulle (E(X)=0). Dans ce cas, le joueur perd en moyenne 3,80 € par (Source: "1 ​ +(−4)× 6 1 ​ +5× 6 1 ​ +16× 6 1 ​ E(G)= 6 −19−16−11−4+5+16 ​ =− 6 23 ​ ≈−3,80 € Remarques pédagogiques : Un jeu est dit équitable si son espérance est nulle (E(X)=0). Dans ce cas, le joueur perd en moyenne 3,80 € par partie. Pour rendre le jeu équitable, la mise devrait être abaissée à 16,20 € (car 20−3,80=16,20). 1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La")
16. Détail source à réviser : est nulle (E(X)=0). Dans ce cas, le joueur perd en moyenne 3,80 € par partie. Pour rendre le jeu équitable, la mise devrait être abaissée à 16,20 € (car 20−3,80=16,20). 1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La variance pe (Source: "est nulle (E(X)=0). Dans ce cas, le joueur perd en moyenne 3,80 € par partie. Pour rendre le jeu équitable, la mise devrait être abaissée à 16,20 € (car 20−3,80=16,20). 1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​")
17. Détail source à réviser : (car 20−3,80=16,20). 1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​ −E(X)) 2 +p 2 ​ (Source: "(car 20−3,80=16,20). 1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance. Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​ −E(X)) 2 +p 2 ​ (x 2 ​ −E(X)) 2 +⋯+p n ​ (x n ​ −E(X)) 2 Application numérique : V(G)= 6 1 ​ [(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2")
18. Détail source à réviser : son espérance. Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​ −E(X)) 2 +p 2 ​ (x 2 ​ −E(X)) 2 +⋯+p n ​ (x n ​ −E(X)) 2 Application numérique : V(G)= 6 1 ​ [(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2 ]≈149,14. Écart-typ (Source: "son espérance. Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​ −E(X)) 2 +p 2 ​ (x 2 ​ −E(X)) 2 +⋯+p n ​ (x n ​ −E(X)) 2 Application numérique : V(G)= 6 1 ​ [(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2 ]≈149,14. Écart-type : L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)= V(X) ​ . σ(G)= 149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est")
19. Détail source à réviser : [(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2 ]≈149,14. Écart-type : L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)= V(X) ​ . σ(G)= 149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est élevé, plus (Source: "[(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2 ]≈149,14. Écart-type : L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)= V(X) ​ . σ(G)= 149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est élevé, plus les gains sont dispersés autour de la moyenne. 1.5 Exercice de Synthèse : Comparaison au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 €")
20. Détail source à réviser : 149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est élevé, plus les gains sont dispersés autour de la moyenne. 1.5 Exercice de Synthèse : Comparaison au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et (Source: "149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est élevé, plus les gains sont dispersés autour de la moyenne. 1.5 Exercice de Synthèse : Comparaison au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et jouent à la roulette (37 numéros). Joueur A (Mise simple) : Il mise tout sur le "Noir". S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec")
21. Détail source à réviser : au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et jouent à la roulette (37 numéros). Joueur A (Mise simple) : Il mise tout sur le "Noir". S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec 2000 € (gain net +1000 (Source: "au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et jouent à la roulette (37 numéros). Joueur A (Mise simple) : Il mise tout sur le "Noir". S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec 2000 € (gain net +1000 €). Sinon, il perd tout (gain net −1000 €). Joueur B (Mise pleine) : Il mise tout sur le numéro 23. S'il gagne (1 chance sur 37),")
22. Détail source à réviser : le "Noir". S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec 2000 € (gain net +1000 €). Sinon, il perd tout (gain net −1000 €). Joueur B (Mise pleine) : Il mise tout sur le numéro 23. S'il gagne (1 chance sur 37), il repart (Source: "le "Noir". S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec 2000 € (gain net +1000 €). Sinon, il perd tout (gain net −1000 €). Joueur B (Mise pleine) : Il mise tout sur le numéro 23. S'il gagne (1 chance sur 37), il repart avec 36000 € (gain net +35000 €). Sinon, il perd tout (gain net −1000 €).")
23. Détail source à réviser : Il mise tout sur le numéro 23. S'il gagne (1 chance sur 37), il repart avec 36000 € (gain net +35000 €). Sinon, il perd tout (gain net −1000 €). --------------------------------------------------------------------------- (Source: "Il mise tout sur le numéro 23. S'il gagne (1 chance sur 37), il repart avec 36000 € (gain net +35000 €). Sinon, il perd tout (gain net −1000 €). -------------------------------------------------------------------------------- 2. Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2.1 Définition Géométrique (Cosinus) Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC")
24. Détail source à réviser : ------------------------------------------------------------------------------ 2. Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2.1 Définition Géométrique (Cosinus) Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le no (Source: "------------------------------------------------------------------------------ 2. Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2.1 Définition Géométrique (Cosinus) Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le nombre réel défini par : AB ⋅ AC =AB×AC×cos( BAC ) Propriétés immédiates : Le produit scalaire est un scalaire (un nombre), pas un vecteur. Si")
25. Détail source à réviser : Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le nombre réel défini par : AB ⋅ AC =AB×AC×cos( BAC ) Propriétés immédiates : Le produit scalaire est un scalaire (un nombre), pas un vecteur. Si u = 0 ou v = 0 (Source: "Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le nombre réel défini par : AB ⋅ AC =AB×AC×cos( BAC ) Propriétés immédiates : Le produit scalaire est un scalaire (un nombre), pas un vecteur. Si u = 0 ou v = 0 , alors u ⋅ v =0. Trois configurations fondamentales : Vecteurs colinéaires de même sens : θ=0, donc cos(0)=1. u ⋅ v =∥ u ∥×∥ v ∥.")
26. Détail source à réviser : scalaire est un scalaire (un nombre), pas un vecteur. Si u = 0 ou v = 0 , alors u ⋅ v =0. Trois configurations fondamentales : Vecteurs colinéaires de même sens : θ=0, donc cos(0)=1. u ⋅ v =∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs colinéai (Source: "scalaire est un scalaire (un nombre), pas un vecteur. Si u = 0 ou v = 0 , alors u ⋅ v =0. Trois configurations fondamentales : Vecteurs colinéaires de même sens : θ=0, donc cos(0)=1. u ⋅ v =∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs colinéaires de sens contraire : θ=π (180°), donc cos(π)=−1. u ⋅ v =−∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs orthogonaux : θ=π/2 (90°), donc cos(π/2)=0. u ⋅ v")
27. Détail source à réviser : de même sens : θ=0, donc cos(0)=1. u ⋅ v =∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs colinéaires de sens contraire : θ=π (180°), donc cos(π)=−1. u ⋅ v =−∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs orthogonaux : θ=π/2 (90°), donc cos(π/2)=0. u ⋅ v =0. 2.2 Exercice (Source: "de même sens : θ=0, donc cos(0)=1. u ⋅ v =∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs colinéaires de sens contraire : θ=π (180°), donc cos(π)=−1. u ⋅ v =−∥ u ∥×∥ v ∥. Vecteurs orthogonaux : θ=π/2 (90°), donc cos(π/2)=0. u ⋅ v =0. 2.2 Exercice d'Entraînement sur le Cercle Trigonométrique En utilisant les normes et les angles orientés, calculons les produits scalaires")
28. Détail source à réviser : Vecteurs orthogonaux : θ=π/2 (90°), donc cos(π/2)=0. u ⋅ v =0. 2.2 Exercice d'Entraînement sur le Cercle Trigonométrique En utilisant les normes et les angles orientés, calculons les produits scalaires suivants : v ⋅ w = (Source: "Vecteurs orthogonaux : θ=π/2 (90°), donc cos(π/2)=0. u ⋅ v =0. 2.2 Exercice d'Entraînement sur le Cercle Trigonométrique En utilisant les normes et les angles orientés, calculons les produits scalaires suivants : v ⋅ w =2×7×cos(45 ∘ ou π/4)=14× 2 2 ​ ​ =7 2 ​ ≈9,9 u ⋅ w =8×7×cos(150 ∘ ou 5π/6)=56×(− 2 3 ​ ​ )=−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​")
29. Détail source à réviser : les angles orientés, calculons les produits scalaires suivants : v ⋅ w =2×7×cos(45 ∘ ou π/4)=14× 2 2 ​ ​ =7 2 ​ ≈9,9 u ⋅ w =8×7×cos(150 ∘ ou 5π/6)=56×(− 2 3 ​ ​ )=−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​ =10 u ⋅ y (Source: "les angles orientés, calculons les produits scalaires suivants : v ⋅ w =2×7×cos(45 ∘ ou π/4)=14× 2 2 ​ ​ =7 2 ​ ≈9,9 u ⋅ w =8×7×cos(150 ∘ ou 5π/6)=56×(− 2 3 ​ ​ )=−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​ =10 u ⋅ y ​ =8×5×cos(−90 ∘ ou −π/2)=40×0=0 x ⋅ w =4×7×cos(45 ∘ ou π/4)=28× 2 2 ​ ​ =14 2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z")
30. Détail source à réviser : 2 3 ​ ​ )=−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​ =10 u ⋅ y ​ =8×5×cos(−90 ∘ ou −π/2)=40×0=0 x ⋅ w =4×7×cos(45 ∘ ou π/4)=28× 2 2 ​ ​ =14 2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z ⋅ v =7×2×cos( (Source: "2 3 ​ ​ )=−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​ =10 u ⋅ y ​ =8×5×cos(−90 ∘ ou −π/2)=40×0=0 x ⋅ w =4×7×cos(45 ∘ ou π/4)=28× 2 2 ​ ​ =14 2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z ⋅ v =7×2×cos(180 ∘ ou π)=14×(−1)=−14 z ⋅ w =7×7×cos(−135 ∘ ou −3π/4)=49×(− 2 2 ​ ​ )=−24,5 2 ​ 2.3 Expression par Projection Orthogonale Soit H le")
31. Détail source à réviser : 2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z ⋅ v =7×2×cos(180 ∘ ou π)=14×(−1)=−14 z ⋅ w =7×7×cos(−135 ∘ ou −3π/4)=49×(− 2 2 ​ ​ )=−24,5 2 ​ 2.3 Expression par Projection Orthogonale Soit H le projeté ort (Source: "2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z ⋅ v =7×2×cos(180 ∘ ou π)=14×(−1)=−14 z ⋅ w =7×7×cos(−135 ∘ ou −3π/4)=49×(− 2 2 ​ ​ )=−24,5 2 ​ 2.3 Expression par Projection Orthogonale Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). Le produit scalaire se simplifie selon la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu :")
32. Détail source à réviser : 2 ​ 2.3 Expression par Projection Orthogonale Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). Le produit scalaire se simplifie selon la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu : H est sur la (Source: "2 ​ 2.3 Expression par Projection Orthogonale Soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB). Le produit scalaire se simplifie selon la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu : H est sur la demi-droite [AB). AB ⋅ AC =AB×AH. Angle obtus : A est entre H et B. AB ⋅ AC =−AB×AH. Angle droit : H et A sont confondus. AB ⋅ AC =0.")
33. Détail source à réviser : la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu : H est sur la demi-droite [AB). AB ⋅ AC =AB×AH. Angle obtus : A est entre H et B. AB ⋅ AC =−AB×AH. Angle droit : H et A sont confondus. AB ⋅ AC =0. Conseil du (Source: "la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu : H est sur la demi-droite [AB). AB ⋅ AC =AB×AH. Angle obtus : A est entre H et B. AB ⋅ AC =−AB×AH. Angle droit : H et A sont confondus. AB ⋅ AC =0. Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est")
34. Détail source à réviser : AC =−AB×AH. Angle droit : H et A sont confondus. AB ⋅ AC =0. Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est forcément n (Source: "AC =−AB×AH. Angle droit : H et A sont confondus. AB ⋅ AC =0. Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est forcément négatif ! Exemple 1 : Carré OBDC (c o ^ t e ˊ =5) avec A milieu de [OB] : AB ⋅ AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25. Triangle ABC isocèle en")
35. Détail source à réviser : non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est forcément négatif ! Exemple 1 : Carré OBDC (c o ^ t e ˊ =5) avec A milieu de [OB] : AB ⋅ AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25. Triangle ABC isocèle en C (AB=4,AC (Source: "non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est forcément négatif ! Exemple 1 : Carré OBDC (c o ^ t e ˊ =5) avec A milieu de [OB] : AB ⋅ AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25. Triangle ABC isocèle en C (AB=4,AC=3) : H est le milieu de [AB] donc AH=2. AB ⋅ AC =AB×AH=4×2=8. Quadrillage : Soit AB un vecteur vertical montant de 4 unités. Si le projeté")
36. Détail source à réviser : AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25. Triangle ABC isocèle en C (AB=4,AC=3) : H est le milieu de [AB] donc AH=2. AB ⋅ AC =AB×AH=4×2=8. Quadrillage : Soit AB un vecteur vertical montant de 4 unités. Si le projeté H de C su (Source: "AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25. Triangle ABC isocèle en C (AB=4,AC=3) : H est le milieu de [AB] donc AH=2. AB ⋅ AC =AB×AH=4×2=8. Quadrillage : Soit AB un vecteur vertical montant de 4 unités. Si le projeté H de C sur (AB) se situe à 1 unité sous A, alors AB ⋅ AC =−AB×AH=−4×1=−4. Exemple 2 : Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le")
37. Détail source à réviser : AB un vecteur vertical montant de 4 unités. Si le projeté H de C sur (AB) se situe à 1 unité sous A, alors AB ⋅ AC =−AB×AH=−4×1=−4. Exemple 2 : Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le projeté de C (Source: "AB un vecteur vertical montant de 4 unités. Si le projeté H de C sur (AB) se situe à 1 unité sous A, alors AB ⋅ AC =−AB×AH=−4×1=−4. Exemple 2 : Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le projeté de C sur (AB) est B). BC ⋅ BA =0 (vecteurs orthogonaux). OC ⋅ OB =0 (les diagonales d'un carré sont perpendiculaires). AC ⋅ AO =AC×AO=(a 2 ​")
38. Détail source à réviser : Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le projeté de C sur (AB) est B). BC ⋅ BA =0 (vecteurs orthogonaux). OC ⋅ OB =0 (les diagonales d'un carré sont perpendiculaires). AC ⋅ AO =AC×AO=(a 2 ​ )×( 2 a (Source: "Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le projeté de C sur (AB) est B). BC ⋅ BA =0 (vecteurs orthogonaux). OC ⋅ OB =0 (les diagonales d'un carré sont perpendiculaires). AC ⋅ AO =AC×AO=(a 2 ​ )×( 2 a 2 ​ ​ )=a 2 . OB ⋅ OD =−OB×OD=− 2 a 2 ​ ​ × 2 a 2 ​ ​ =− 4 2a 2 ​ =−0,5a 2 . AD ⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules")
39. Détail source à réviser : d'un carré sont perpendiculaires). AC ⋅ AO =AC×AO=(a 2 ​ )×( 2 a 2 ​ ​ )=a 2 . OB ⋅ OD =−OB×OD=− 2 a 2 ​ ​ × 2 a 2 ​ ​ =− 4 2a 2 ​ =−0,5a 2 . AD ⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules d'Al-Kashi Égaleme (Source: "d'un carré sont perpendiculaires). AC ⋅ AO =AC×AO=(a 2 ​ )×( 2 a 2 ​ ​ )=a 2 . OB ⋅ OD =−OB×OD=− 2 a 2 ​ ​ × 2 a 2 ​ ​ =− 4 2a 2 ​ =−0,5a 2 . AD ⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où")
40. Détail source à réviser : ⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 (Source: "⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ^ b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ c 2 =a 2 +b 2 −2abcos C ^ Exercices : Calcul de longueur : Soit AB=2,AC=3 et A ^ =60 ∘ .")
41. Détail source à réviser : et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ^ b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ c 2 =a 2 +b 2 −2abcos C ^ Exercices : Calcul de longueur : Soit AB=2,AC=3 et A ^ =60 ∘ . BC 2 =3 2 +2 2 (Source: "et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ^ b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ c 2 =a 2 +b 2 −2abcos C ^ Exercices : Calcul de longueur : Soit AB=2,AC=3 et A ^ =60 ∘ . BC 2 =3 2 +2 2 −2(3)(2)cos(60 ∘ )=9+4−12(0,5)=7⟹BC= 7 ​ . Calcul d'un angle : Soit un triangle avec a=6,b=5,c=7. Cherchons B ^ . b 2 =a 2 +c 2")
42. Détail source à réviser : : Calcul de longueur : Soit AB=2,AC=3 et A ^ =60 ∘ . BC 2 =3 2 +2 2 −2(3)(2)cos(60 ∘ )=9+4−12(0,5)=7⟹BC= 7 ​ . Calcul d'un angle : Soit un triangle avec a=6,b=5,c=7. Cherchons B ^ . b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ ⟹5 2 =6 2 +7 (Source: ": Calcul de longueur : Soit AB=2,AC=3 et A ^ =60 ∘ . BC 2 =3 2 +2 2 −2(3)(2)cos(60 ∘ )=9+4−12(0,5)=7⟹BC= 7 ​ . Calcul d'un angle : Soit un triangle avec a=6,b=5,c=7. Cherchons B ^ . b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ ⟹5 2 =6 2 +7 2 −2(6)(7)cos B ^ 25=36+49−84cos B ^ ⟹84cos B ^ =60⟹cos B ^ = 84 60 ​ = 7 5 ​ . B ^ =arccos(5/7)≈44,4 ∘ . Remarque : Si A ^ =90 ∘")
43. Détail source à réviser : avec a=6,b=5,c=7. Cherchons B ^ . b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ ⟹5 2 =6 2 +7 2 −2(6)(7)cos B ^ 25=36+49−84cos B ^ ⟹84cos B ^ =60⟹cos B ^ = 84 60 ​ = 7 5 ​ . B ^ =arccos(5/7)≈44,4 ∘ . Remarque : Si A ^ =90 ∘ , alors cos A ^ = (Source: "avec a=6,b=5,c=7. Cherchons B ^ . b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ ⟹5 2 =6 2 +7 2 −2(6)(7)cos B ^ 25=36+49−84cos B ^ ⟹84cos B ^ =60⟹cos B ^ = 84 60 ​ = 7 5 ​ . B ^ =arccos(5/7)≈44,4 ∘ . Remarque : Si A ^ =90 ∘ , alors cos A ^ =0 et l'on retrouve a 2 =b 2 +c 2 . 2.5 Expression Analytique dans un Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour")
44. Détail source à réviser : ​ = 7 5 ​ . B ^ =arccos(5/7)≈44,4 ∘ . Remarque : Si A ^ =90 ∘ , alors cos A ^ =0 et l'on retrouve a 2 =b 2 +c 2 . 2.5 Expression Analytique dans un Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour u (x;y) et (Source: "​ = 7 5 ​ . B ^ =arccos(5/7)≈44,4 ∘ . Remarque : Si A ^ =90 ∘ , alors cos A ^ =0 et l'on retrouve a 2 =b 2 +c 2 . 2.5 Expression Analytique dans un Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour u (x;y) et v (x ′ ;y ′ ) : u ⋅ v =xx ′ +yy ′ Propriétés : Norme : ∥ u ∥= x 2 +y 2 ​ . Orthogonalité : u ⊥ v ⟺xx ′ +yy ′ =0. Exercice récapitulatif :")
45. Détail source à réviser : Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour u (x;y) et v (x ′ ;y ′ ) : u ⋅ v =xx ′ +yy ′ Propriétés : Norme : ∥ u ∥= x 2 +y 2 ​ . Orthogonalité : u ⊥ v ⟺xx ′ +yy ′ =0. Exercice récapitulatif : Soient A( (Source: "Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour u (x;y) et v (x ′ ;y ′ ) : u ⋅ v =xx ′ +yy ′ Propriétés : Norme : ∥ u ∥= x 2 +y 2 ​ . Orthogonalité : u ⊥ v ⟺xx ′ +yy ′ =0. Exercice récapitulatif : Soient A(1,2),B(3,1) et C(2,4). a) AB (2;−1), BA (−2;1), AC (1;2). b) AB= 5 ​ , AC= 5 ​ , BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​ . c) BA ⋅ BC")
46. Détail source à réviser : : u ⊥ v ⟺xx ′ +yy ′ =0. Exercice récapitulatif : Soient A(1,2),B(3,1) et C(2,4). a) AB (2;−1), BA (−2;1), AC (1;2). b) AB= 5 ​ , AC= 5 ​ , BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​ . c) BA ⋅ BC =(−2)(−1)+(1)(3)=5. d) BA ⋅ BC =BA×BC× (Source: ": u ⊥ v ⟺xx ′ +yy ′ =0. Exercice récapitulatif : Soient A(1,2),B(3,1) et C(2,4). a) AB (2;−1), BA (−2;1), AC (1;2). b) AB= 5 ​ , AC= 5 ​ , BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​ . c) BA ⋅ BC =(−2)(−1)+(1)(3)=5. d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^ . On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘ . e) AB ⋅ AC")
47. Détail source à réviser : , BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​ . c) BA ⋅ BC =(−2)(−1)+(1)(3)=5. d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^ . On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘ . e) AB ⋅ AC =(2)(1)+(−1)(2) (Source: ", BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​ . c) BA ⋅ BC =(−2)(−1)+(1)(3)=5. d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^ . On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘ . e) AB ⋅ AC =(2)(1)+(−1)(2)=0. f) Le triangle ABC est rectangle en A (car AB ⋅ AC =0) et isocèle en A (car AB=AC= 5 ​ ).")
48. Détail source à réviser : 10 ​ . c) BA ⋅ BC =(−2)(−1)+(1)(3)=5. d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^ . On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘ . e) AB ⋅ AC =(2)(1)+(−1)(2)=0. f) Le triangle ABC est (Source: "10 ​ . c) BA ⋅ BC =(−2)(−1)+(1)(3)=5. d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^ . On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘ . e) AB ⋅ AC =(2)(1)+(−1)(2)=0. f) Le triangle ABC est rectangle en A (car AB ⋅ AC =0) et isocèle en A (car AB=AC= 5 ​ ).")
49. Détail source à réviser : 1. Variables Aléatoires Discrètes 1 (Source: "1. Variables Aléatoires Discrètes 1")
50. Détail source à réviser : Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 faces (Source: "Exemple d'introduction : Considérons le lancer d'un dé équilibré à 6 faces")
51. Détail source à réviser : R. On note, par exemple, G(5)=−11 (Source: "R. On note, par exemple, G(5)=−11")
52. Détail source à réviser : 1.2 Loi de Probabilité Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à chaque valeur possible k prise par G la probabilité de l'événement {G=k} (Source: "1.2 Loi de Probabilité Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire G, c'est associer à chaque valeur possible k prise par G la probabilité de l'événement {G=k}")
53. Détail source à réviser : b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0) (Source: "b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0)")
54. Détail source à réviser : b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3 (Source: "b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3")
55. Détail source à réviser : ond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 1 ​ +(−4)× (Source: "ond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 1 ​ +(−4)×")
56. Détail source à réviser : 1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance (Source: "1.4 Variance V(X) et Écart-type σ(X) La variance permet de mesurer la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance")
57. Détail source à réviser : Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​ −E(X)) 2 +p 2 ​ (x 2 ​ −E(X)) 2 +⋯+p n ​ (x n ​ −E(X)) 2 Application numérique : V(G)= 6 1 ​ [(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2 ]≈149,14 (Source: "Elle est définie par : V(X)=p 1 ​ (x 1 ​ −E(X)) 2 +p 2 ​ (x 2 ​ −E(X)) 2 +⋯+p n ​ (x n ​ −E(X)) 2 Application numérique : V(G)= 6 1 ​ [(−19−(−3,80)) 2 +(−16−(−3,80)) 2 +⋯+(16−(−3,80)) 2 ]≈149,14")
58. Détail source à réviser : σ(G)= 149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est élevé, plus les gains sont dispersés autour de la moyenne (Source: "σ(G)= 149,14 ​ ≈12,2 C'est un indicateur de risque : plus σ(X) est élevé, plus les gains sont dispersés autour de la moyenne")
59. Détail source à réviser : 2000 € (gain net +1000 €) (Source: "2000 € (gain net +1000 €)")
60. Détail source à réviser : 2. Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2 (Source: "2. Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2")
61. Détail source à réviser : Si u = 0 ou v = 0 , alors u ⋅ v =0 (Source: "Si u = 0 ou v = 0 , alors u ⋅ v =0")
62. Détail source à réviser : 2.2 Exercice d'Entraînement sur le Cercle Trigonométrique En utilisant les normes et les angles orientés, calculons les produits scalaires suivants : v ⋅ w =2×7×cos(45 ∘ ou π/4)=14× 2 2 ​ ​ =7 2 ​ ≈9,9 u ⋅ w =8×7×cos(150 (Source: "2.2 Exercice d'Entraînement sur le Cercle Trigonométrique En utilisant les normes et les angles orientés, calculons les produits scalaires suivants : v ⋅ w =2×7×cos(45 ∘ ou π/4)=14× 2 2 ​ ​ =7 2 ​ ≈9,9 u ⋅ w =8×7×cos(150 ∘ ou 5π/6)=56×(− 2 3 ​ ​ )=−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos")
63. Détail source à réviser : −28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​ =10 u ⋅ y ​ =8×5×cos(−90 ∘ ou −π/2)=40×0=0 x ⋅ w =4×7×cos(45 ∘ ou π/4)=28× 2 2 ​ ​ =14 2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z ⋅ v =7×2×cos(180 ∘ ou (Source: "−28 3 ​ x ⋅ y ​ =4×5×cos(60 ∘ ou π/3)=20× 2 1 ​ =10 u ⋅ y ​ =8×5×cos(−90 ∘ ou −π/2)=40×0=0 x ⋅ w =4×7×cos(45 ∘ ou π/4)=28× 2 2 ​ ​ =14 2 ​ u ⋅ x =8×4×cos(−150 ∘ ou −5π/6)=32×(− 2 3 ​ ​ )=−16 3 ​ z ⋅ v =7×2×cos(180 ∘ ou")
64. Détail source à réviser : Le produit scalaire se simplifie selon la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu : H est sur la demi-droite [AB) (Source: "Le produit scalaire se simplifie selon la position relative de H par rapport à A et B : Angle aigu : H est sur la demi-droite [AB)")
65. Détail source à réviser : A sont confondus. AB ⋅ AC =0. Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est forcément négatif ! Exemple 1 : Carré OBDC (Source: "A sont confondus. AB ⋅ AC =0. Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection. Si l'angle est obtus, le résultat est forcément négatif ! Exemple 1 : Carré OBDC (c o ^ t e ˊ =5) avec A milieu de [OB] : AB ⋅ AC = AB")
66. Détail source à réviser : Si le projeté H de C sur (AB) se situe à 1 unité sous A, alors AB ⋅ AC =−AB×AH=−4×1=−4 (Source: "Si le projeté H de C sur (AB) se situe à 1 unité sous A, alors AB ⋅ AC =−AB×AH=−4×1=−4")
67. Détail source à réviser : Exemple 2 : Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le projeté de C sur (AB) est B) (Source: "Exemple 2 : Carré ABCD de centre O et de côté a AB ⋅ AC =AB×AB=a 2 (car le projeté de C sur (AB) est B)")
68. Détail source à réviser : AD ⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : (Source: "AD ⋅ OB = BC ⋅ OB =−BC×BH=−a× 2 a ​ =−0,5a 2 . 2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ^ b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ c 2 =a 2 +b")
69. Détail source à réviser : b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ ⟹5 2 =6 2 +7 2 −2(6)(7)cos B ^ 25=36+49−84cos B ^ ⟹84cos B ^ =60⟹cos B ^ = 84 60 ​ = 7 5 ​ (Source: "b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ ⟹5 2 =6 2 +7 2 −2(6)(7)cos B ^ 25=36+49−84cos B ^ ⟹84cos B ^ =60⟹cos B ^ = 84 60 ​ = 7 5 ​")
70. Détail source à réviser : 2.5 Expression Analytique dans un Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour u (x;y) et v (x ′ ;y ′ ) : u ⋅ v =xx ′ +yy ′ Propriétés : Norme : ∥ u ∥= x 2 +y 2 ​ (Source: "2.5 Expression Analytique dans un Repère Orthonormé Dans une base orthonormée ( i , j ​ ), pour u (x;y) et v (x ′ ;y ′ ) : u ⋅ v =xx ′ +yy ′ Propriétés : Norme : ∥ u ∥= x 2 +y 2 ​")
71. Détail source à réviser : b) AB= 5 ​ , AC= 5 ​ , BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​ (Source: "b) AB= 5 ​ , AC= 5 ​ , BC= (2−3) 2 +(4−1) 2 ​ = 10 ​")
72. Détail source à réviser : f) Le triangle ABC est rectangle en A (car AB ⋅ AC =0) et isocèle en A (car AB=AC= 5 ​ ) (Source: "f) Le triangle ABC est rectangle en A (car AB ⋅ AC =0) et isocèle en A (car AB=AC= 5 ​ )")
73. Détail source à réviser : d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^ (Source: "d) BA ⋅ BC =BA×BC×cos B ^ = 5 ​ × 10 ​ ×cos B ^ =5 2 ​ cos B ^")
74. Détail source à réviser : a) AB (2;−1), BA (−2;1), AC (1;2) (Source: "a) AB (2;−1), BA (−2;1), AC (1;2)")
75. Détail source à réviser : 23. S'il gagne (1 chance sur 37), il repart avec 36000 € (gain net +35000 €) (Source: "23. S'il gagne (1 chance sur 37), il repart avec 36000 € (gain net +35000 €)")
76. Détail source à réviser : Remarque : Si A ^ =90 ∘ , alors cos A ^ =0 et l'on retrouve a 2 =b 2 +c 2 (Source: "Remarque : Si A ^ =90 ∘ , alors cos A ^ =0 et l'on retrouve a 2 =b 2 +c 2")
77. Détail source à réviser : a) Établir la loi de probabilité de G (Source: "a) Établir la loi de probabilité de G")
78. Détail source à réviser : Valeur k −19 −16 −11 −4 +5 +16 P(G=k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Réponses b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3 (Source: "Valeur k −19 −16 −11 −4 +5 +16 P(G=k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Réponses b) : P(G=5)=1/6 ; P(G>5)=P(G=16)=1/6 ; P(G≥0)=P(G=5)+P(G=16)=2/6=1/3")
79. Détail source à réviser : 1.5 Exercice de Synthèse : Comparaison au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et jouent à la roulette (37 numéros) (Source: "1.5 Exercice de Synthèse : Comparaison au Casino Deux joueurs, A et B, disposent de 1000 € chacun et jouent à la roulette (37 numéros)")
80. Détail source à réviser : Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection (Source: "Conseil du Professeur : Visualisez toujours si les vecteurs "vont dans le même sens" ou non après projection")
81. Détail source à réviser : 2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ^ b 2 =a 2 +c 2 −2accos (Source: "2.4 Formules d'Al-Kashi Également appelées "théorème de Pythagore généralisé", ces formules lient les côtés et les angles d'un triangle quelconque ABC (où a=BC,b=AC,c=AB) : a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ^ b 2 =a 2 +c 2 −2accos B ^ c 2 =a 2 +b 2 −2abcos C ^ Exercices : Calcul de")
82. Détail source à réviser : BC 2 =3 2 +2 2 −2(3)(2)cos(60 ∘ )=9+4−12(0,5)=7⟹BC= 7 ​ (Source: "BC 2 =3 2 +2 2 −2(3)(2)cos(60 ∘ )=9+4−12(0,5)=7⟹BC= 7 ​")
83. Détail source à réviser : On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘ (Source: "On a 5 2 ​ cos B ^ =5⟹cos B ^ = 2 ​ 1 ​ = 2 2 ​ ​ ⟹ B ^ =45 ∘")
84. Détail source à réviser : Tableau de la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R e ˊ sultat 2 )−20 (Source: "Tableau de la loi de probabilité : Les valeurs k sont calculées ainsi : k=(R e ˊ sultat 2 )−20")
85. Détail source à réviser : Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2.1 Définition Géométrique (Cosinus) Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le nombre réel défini par : AB ⋅ AC =AB×AC×cos( BAC ) Propriétés immédiates : Le produi (Source: "Le Produit Scalaire de Deux Vecteurs 2.1 Définition Géométrique (Cosinus) Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls AB et AC est le nombre réel défini par : AB ⋅ AC =AB×AC×cos( BAC ) Propriétés immédiates : Le produit scalaire est un scalaire (un nombre), pas un vecteur")
86. Détail source à réviser : Exemple 1 : Carré OBDC (c o ^ t e ˊ =5) avec A milieu de [OB] : AB ⋅ AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25 (Source: "Exemple 1 : Carré OBDC (c o ^ t e ˊ =5) avec A milieu de [OB] : AB ⋅ AC = AB ⋅ AO =−AB×AO=−2,5×2,5=−6,25")
87. Détail source à réviser : OB ⋅ OD =−OB×OD=− 2 a 2 ​ ​ × 2 a 2 ​ ​ =− 4 2a 2 ​ =−0,5a 2 (Source: "OB ⋅ OD =−OB×OD=− 2 a 2 ​ ​ × 2 a 2 ​ ​ =− 4 2a 2 ​ =−0,5a 2")
88. Détail source à réviser : G. b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0) (Source: "G. b) Calculer P(G=5), P(G>5) et P(G≥0)")
89. Détail source à réviser : Elle correspond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 (Source: "Elle correspond à la somme des valeurs pondérées par leurs probabilités : E(X)=p 1 ​ x 1 ​ +p 2 ​ x 2 ​ +⋯+p n ​ x n ​ = i=1 ∑ n ​ p i ​ x i ​ Calcul pour l'exercice précédent : E(G)=(−19)× 6 1 ​ +(−16)× 6 1 ​ +(−11)× 6 1 ​ +(−4)× 6 1 ​ +5× 6 1 ​ +16× 6 1 ​ E(G)= 6 −19−16−11−4+5+16 ​ =− 6 23 ​ ≈−3,80 € Remarques pédagogiques : Un jeu est dit équitable si...")
90. Détail source à réviser : Écart-type : L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)= V(X) ​ (Source: "Écart-type : L'écart-type est la racine carrée de la variance : σ(X)= V(X) ​")
91. Détail source à réviser : S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec 2000 € (gain net +1000 €) (Source: "S'il gagne (18 chances sur 37), il repart avec 2000 € (gain net +1000 €)")
92. Détail source à réviser : OC ⋅ OB =0 (les diagonales d'un carré sont perpendiculaires) (Source: "OC ⋅ OB =0 (les diagonales d'un carré sont perpendiculaires)")
93. Détail source à réviser : Cours : Variables Aléatoires et Produit Scalaire 1 (Source: "Cours : Variables Aléatoires et Produit Scalaire 1")
94. Détail source à réviser : Variables Aléatoires Discrètes 1.1 Définition et Premier Exemple En probabilités, une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire (Source: "Variables Aléatoires Discrètes 1.1 Définition et Premier Exemple En probabilités, une variable aléatoire est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire")
95. La fonction G est une variable aléatoire dont l'ensemble de départ est Ω et l'ensemble d'arrivée est R. (Source: "La fonction G est une variable aléatoire. Son ensemble de départ est Ω et son ensemble d'arrivée est R.")
96. Dans l'exemple du dé, G(5) = -11. (Source: "On note, par exemple, G(5)=−11.")

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des propriétés des variables aléatoires

Propriété	Définition	Exemple
Variable aléatoire	Fonction associant un nombre réel à chaque issue	G d'un dé peut associer un gain selon le résultat
Loi de probabilité	Distribution des valeurs possibles	Probabilités associées à chaque valeur
Espérance	Moyenne pondérée des valeurs	E(X) = somme des valeurs × leurs probabilités
Variance	Mesure de dispersion	V(X) = moyenne des carrés des écarts à l'espérance

Produit scalaire et propriétés géométriques

Concept	Formule ou propriété	Cas particulier
Produit scalaire	u⋅v = ∥u∥×∥v∥×cos(θ)	Vecteurs orthogonaux si u⋅v=0
Angles	Utilisation du cosinus pour calculer l'alignement	Vecteurs colinéaires si cos(θ)=±1
Formules d'Al-Kashi	a² = b² + c² − 2bc cos(A)	Réduction au théorème de Pythagore si angle droit

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre espérance et moyenne empirique dans un échantillon.
2. Oublier que le produit scalaire est un scalaire, pas un vecteur.
3. Confondre vecteurs colinéaires et orthogonaux.
4. Utiliser la formule du produit scalaire sans vérifier si les vecteurs sont non nuls.
5. Mélanger les propriétés du cosinus pour différents angles.
6. Confondre variance et écart-type dans l'interprétation.
7. Calculer la variance sans vérifier la moyenne ou l'espérance.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une variable aléatoire discrète.
2. Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.
3. Comprendre la formule de la variance et de l'écart-type.
4. Utiliser la formule du produit scalaire dans un repère orthonormé.
5. Appliquer la formule d'Al-Kashi pour un triangle quelconque.
6. Interpréter le produit scalaire via la projection orthogonale.
7. Différencier vecteurs colinéaires, orthogonaux et de même sens.
8. Calculer un produit scalaire à partir de normes et angles.
9. Reconnaître les cas particuliers : vecteurs orthogonaux, colinéaires.
10. Utiliser la formule du produit scalaire pour déterminer l'angle entre deux vecteurs.
11. Calculer la norme d'un vecteur dans un repère orthonormé.