Lernzettel: Introduction aux variables aléatoires et à la probabilité

📋 Plan du Cours

1. Variable aléatoire et gain du jeu
2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire
3. Espérance mathématique
4. Variance et écart-type
5. Jeu équitable et interprétation
6. Calculatrice et exercices d’application

📖 1. Variable aléatoire et gain du jeu

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers Ω : L’univers Ω est l’ensemble de toutes les issues possibles d’une expérience aléatoire.
• Variable aléatoire X : Une variable aléatoire X définie sur Ω est une fonction qui associe à chaque issue un nombre réel.
• Gain du joueur : Le gain du joueur est la somme des gains et pertes obtenus sur les réalisations successives définies par les règles du jeu.
• Événement {X = xi} : L’événement {X = xi} est l’ensemble des issues pour lesquelles la variable aléatoire X prend la valeur xi.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple pièce deux lancers, Ω = {PP, PF, FP, FF} et chaque issue a une probabilité 1/4.
• Le gain total correspond à la somme des gains associés à chaque lancer selon les règles (Pile: +5, Face: −2).
• Dans l’exemple, X prend les valeurs −4, 3 et 10 selon l’issue (FF, PF/FP, PP).
• L’événement {X = 3} correspond aux issues PF et FP, donc à deux issues parmi quatre.

📖 2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité de X : La loi de probabilité de X associe à chaque valeur xi prise par X la probabilité pi = P(X = xi).
• Probabilité pi : La probabilité pi est la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur xi.
• Table de loi : Une table de loi de probabilité réunit les valeurs xi de X et leurs probabilités P(X = xi).

📝 Points essentiels

• Pour une variable aléatoire discrète, les probabilités de toutes les valeurs possibles vérifient p1 + p2 + … + pn = 1.
• Dans l’exemple, on obtient P(X = 3) = 2/4 = 1/2, P(X = −4) = 1/4 et P(X = 10) = 1/4.
• La valeur xi désigne les valeurs prises par X, ici les gains possibles du joueur.
• Déterminer la loi de X consiste à relier chaque valeur de gain xi aux issues qui la produisent puis à sommer leurs probabilités.

📖 3. Espérance mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Espérance mathématique E(X) : L’espérance mathématique E(X) est la moyenne pondérée des valeurs xi par leurs probabilités pi, notée E(X) = ∑ pi xi.
• Interprétation de E(X) : L’espérance E(X) représente la valeur moyenne observée sur un très grand nombre de répétitions de l’expérience.

📝 Points essentiels

• On calcule E(X) par E(X) = p1 x1 + p2 x2 + … + pn xn.
• Dans l’exemple, E(X) = (1/4)(−4) + (1/2)·3 + (1/4)·10 = 3.
• Si E(X) = 0, la valeur moyenne du gain est nulle.
• Le signe de E(X) donne le sens du jeu pour le joueur (favorable, neutre ou défavorable).

📖 4. Variance et écart-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance V(X) : La variance V(X) mesure la dispersion des valeurs de X autour de l’espérance E(X) et s’écrit V(X) = ∑ pi (xi − E(X))².
• Écart-type σ(X) : L’écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance, σ(X) = √(V(X)).
• Dispersion autour de E(X) : La variance et l’écart-type quantifient à quel point les valeurs de X s’éloignent de l’espérance.

📝 Points essentiels

• On calcule V(X) avec V(X) = p1(x1 − E(X))² + … + pn(xn − E(X))².
• Dans l’exemple, V(X) = (1/4)(−4 − 3)² + (1/2)(3 − 3)² + (1/4)(10 − 3)² = 24,5.
• On calcule ensuite σ(X) par σ(X) = √V(X), donc σ(X) = √24,5 ≈ 4,95.
• Plus V(X) et σ(X) sont proches de zéro, plus les valeurs de X sont regroupées autour de E(X).

📖 5. Jeu équitable et interprétation

🔑 Notions clés & Définitions

• Jeu équitable : Un jeu est équitable lorsque l’espérance du gain vaut 0.
• Jeu favorable : Un jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance du gain est positive.
• Jeu défavorable : Un jeu est défavorable au joueur lorsque l’espérance du gain est négative.

📝 Points essentiels

• Le jeu est équitable si E(X) = 0.
• Le jeu est favorable si E(X) > 0.
• Le jeu est défavorable si E(X) < 0.
• L’interprétation “risque” se relie à la dispersion via la variance et l’écart-type dans les exercices (moins volatile = moins dispersé).

📖 6. Calculatrice et exercices d’application

🔑 Notions clés & Définitions

• Calcul à la main : Les exercices demandent de construire la loi, puis de calculer E(X), V(X) et σ(X) avec les formules fournies.
• Vérification à la calculatrice : La calculatrice sert à confirmer les résultats obtenus à la main pour E(X), V(X) et σ(X).
• Choix du moins volatile : Investir sur l’action moins volatile revient à choisir celle dont la dispersion (variance/écart-type) est la plus faible d’après les résultats.

📝 Points essentiels

• Exercice dé à 6 faces: construire la loi de X en associant à chaque face un gain (2, 3, ou −4) puis déterminer P(X = xi).
• Exercice carte de 32: déterminer la loi de X, calculer E(X) puis interpréter le signe de l’espérance.
• Pour carte de 32, calculer ensuite V(X) et σ(X) puis interpréter la dispersion autour de E(X).
• Pour trader, calculer E(X), E(Y), puis V(X), V(Y) et choisir l’action la moins volatile en se basant sur la variance ou l’écart-type.
• La vidéo “calculatrice” illustre l’usage pour obtenir espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire.

📊 Tableaux de synthèse

Interprétation du jeu via E(X)

Condition sur E(X)	Statut du jeu	Sens pour le joueur
E(X) = 0	Jeu équitable	Gain moyen nul
E(X) > 0	Jeu favorable	Gain moyen positif
E(X) < 0	Jeu défavorable	Gain moyen négatif

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’univers Ω (ensemble des issues) et la variable aléatoire X (fonction donnant un nombre).
2. Oublier que {X = xi} est réalisé par plusieurs issues possibles, donc P(X = xi) peut être la somme de leurs probabilités.
3. Prendre la formule de la variance sans re-calculer l’espérance E(X) auparavant, ce qui fausse tous les écarts (xi − E(X)).
4. Multiplier par les probabilités au hasard pour E(X) sans vérifier que les probabilités totalisent bien 1.
5. Interpréter un jeu favorable/défavorable avec la variance au lieu de l’espérance E(X).
6. Dire que “moins volatile” signifie forcément “meilleur espérance”, alors que cela dépend d’une mesure de dispersion (V ou σ).

✅ Checklist Examen

1. Construire l’univers Ω pour une expérience aléatoire et lister ses issues.
2. Définir une variable aléatoire X comme une fonction qui associe un nombre à chaque issue.
3. Associer correctement les valeurs xi à X et écrire l’événement {X = xi} (quelles issues donnent la valeur).
4. Déterminer la loi de probabilité: lister les xi, calculer pi = P(X = xi) et vérifier p1 + … + pn = 1.
5. Calculer E(X) à partir de E(X) = p1 x1 + … + pn xn.
6. Interpréter le signe de E(X): jeu équitable, favorable ou défavorable.
7. Calculer V(X) via V(X) = ∑ pi (xi − E(X))² en utilisant la bonne E(X).
8. Calculer l’écart-type σ(X) = √(V(X)) et interpréter la dispersion.
9. Sur un exercice, construire la loi de X à partir des règles de gain (gains et pertes).
10. Utiliser l’interprétation variance/écart-type pour choisir le moins volatile dans une comparaison d’actions.
11. Savoir vérifier à la calculatrice les résultats de E(X), V(X) et σ(X) obtenus à la main.