Lernzettel: Les Fondements des Appuis et Réactions

📋 Plan du Cours

1. Appuis, blocages et réactions d’appui
2. Principe de la coupe pour extérioriser les réactions
3. Appui à rouleau et réaction perpendiculaire
4. Articulation et réactions composées
5. Encastrement et moment d’encastrement
6. Isostaticité et hyperstaticité des appuis
7. Mécanismes dus à un appui insuffisant
8. Isostaticité intérieure et extérieure des structures

📖 1. Appuis, blocages et réactions d’appui

🔑 Notions clés & Définitions

• Appareils d’appui : Dispositifs qui assurent la liaison entre la structure et son environnement extérieur via les fondations ou le sol.
• Blocage : Composante du déplacement d’un point de la structure empêchée par un appui.
• Réaction d’appui : Forces internes engendrées par les appuis, qui apparaissent quand on coupe la structure au niveau des appuis.
• Déplacement global : Mouvement d’ensemble possible d’une structure libre dans l’espace, que les appuis cherchent à empêcher.
• Principe de la liaison : Principe selon lequel les actions extérieures sont transmises aux fondations à travers l’ensemble des appuis.

📝 Points essentiels

• Les appuis relient la structure au sol ou aux fondations par l’intermédiaire d’appareils d’appui.
• Chaque appui empêche certaines composantes du déplacement d’un point, et ces composantes sont appelées blocages.
• L’ensemble des blocages est choisi pour s’opposer à tout grand déplacement en bloc de la structure.
• Les actions extérieures sont transmises aux fondations via les appuis, ce qui crée des forces internes appelées réactions d’appui.
• Pour extérioriser les réactions d’appui, on coupe la structure au niveau des appuis pour la détacher des fondations.
• Le système forces (actions extérieures + réactions d’appui) doit satisfaire l’équilibre, et tout fragment en équilibre l’est aussi.

💡 Astuce mémo

Appui = Blocage → Réaction : couper au niveau de l’appui fait apparaître la force.

📖 2. Principe de la coupe pour extérioriser les réactions

🔑 Notions clés & Définitions

• Coupe au niveau des appuis : Opération consistant à sectionner la structure à l’endroit des appuis pour détacher la structure des fondations.
• Extériorisation des réactions : Mise en évidence des forces d’appui sous forme de forces agissant sur la structure coupée.
• Action et réaction : Principe imposant que les forces appliquées à la structure par les appuis ont des forces opposées appliquées aux appuis.
• Équilibre du fragment : Propriété statique : tout morceau de structure en équilibre vérifie aussi l’équilibre des forces.

📝 Points essentiels

• La coupe au niveau des appuis sert à détacher la structure de ses fondations pour faire apparaître les réactions d’appui.
• Après la coupe, la nature des réactions dépend de la construction physique de l’appui et des blocages associés.
• Les réactions d’appui sont des forces à appliquer sur la structure coupée pour retrouver l’équilibre.
• En vertu de l’action-réaction, on applique aussi ces mêmes forces en sens opposé sur les appareils d’appui.
• Le calcul des réactions d’appui s’appuie sur l’équilibre du système forces (actions extérieures + réactions).
• Tout fragment d’une structure en équilibre est lui-même en équilibre, ce qui justifie la méthode de coupe.

💡 Astuce mémo

Coupe = “décolle” la structure : les forces d’appui deviennent visibles sur le schéma statique.

📖 3. Appui à rouleau et réaction perpendiculaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Appui à rouleau : Appui imposant un seul blocage de translation dans le plan (deux dans l’espace) et laissant libres les autres composantes.
• Contact lisse : Modélisation équivalente à l’appui à rouleau, sans frottement.
• Réaction perpendiculaire : Propriété géométrique : la réaction d’un appui à rouleau est dirigée perpendiculairement à la ligne ou au plan d’appui.
• Bielle d’appui : Modèle de petite barre rigide représentant l’appui à rouleau et imposant la direction de la réaction.

📝 Points essentiels

• L’appui à rouleau impose un seul blocage de translation dans le plan (deux dans l’espace).
• Il est identique à un contact lisse, donc sans frottement.
• La réaction d’appui est une force de ligne d’action connue, perpendiculaire à la ligne d’appui en cas plan.
• En cas spatial, la réaction est perpendiculaire au plan d’appui.
• On schématise l’appui au point A, B, C… de l’élément appuyé, comme appui ponctuel.
• Le blocage fonctionne dans les deux sens, contrairement à l’interprétation parfois suggérée par la représentation conventionnelle.

💡 Astuce mémo

Rouleau = sans frottement : la force sort “à 90°” du support.

📖 4. Articulation et réactions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Appui articulé : Appui qui s’oppose à toute translation du point d’appui tout en laissant la rotation libre autour de ce point.
• Rotule : Nom de l’articulation dans l’espace, modélisant un appui autorisant la rotation au point.
• Réactions composées : Ensemble des composantes de forces d’appui associées aux blocages imposés par l’articulation.
• Bielle d’appui (cas plan) : Modèle possible de l’articulation en cas plan par deux bielles d’appui.

📝 Points essentiels

• L’appui articulé empêche toute translation du point d’appui mais laisse la rotation autour de ce point.
• Dans le plan, l’articulation impose deux blocages de translation et fait naître deux réactions d’appui.
• Dans l’espace, l’articulation impose trois blocages de translation et fait naître trois réactions d’appui.
• Les réactions d’appui sont des composantes d’une force passant à travers le point d’appui.
• Dans le cas plan, l’articulation peut s’esquisser par deux bielles d’appui.
• La représentation (α, RD) est correcte mais peu pratique d’emploi.

💡 Astuce mémo

Articulation = “pas de translation, oui rotation” → réactions = composantes au point.

📖 5. Encastrement et moment d’encastrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Encastrement : Appui qui bloque totalement un point de la structure en translation et en rotation.
• Moment d’encastrement : Moment transmis par l’encastrement au point d’appui, en plus des composantes de force.
• Blocage total : Ensemble des blocages en translation et en rotation imposés par l’encastrement.
• Réactions d’encastrement : Forces et moment produits par l’encastrement pour maintenir l’équilibre de la structure coupée.

📝 Points essentiels

• L’encastrement réalise le blocage total d’un point : en translation et en rotation.
• Dans le plan, il impose ux = 0, uy = 0 et ϑ = 0.
• Dans le plan, l’encastrement produit trois réactions d’appui : deux composantes de force et le moment d’encastrement.
• Dans l’espace, l’encastrement produit six réactions d’appui.
• Le moment d’encastrement MA est représenté par une flèche tournante dans le plan et par ses trois composantes (Mx, My, Mz) dans l’espace.
• L’encastrement est symbolisé selon la figure, avec une représentation adaptée au nombre de blocages.

💡 Astuce mémo

Encastrement = “tout bloqué” : 2 translations + 1 rotation (plan), 6 réactions (espace).

📖 6. Isostaticité et hyperstaticité des appuis

🔑 Notions clés & Définitions

• Isostaticité des appuis : Propriété d’un système d’appuis où le nombre de blocages nécessaires suffit pour calculer les réactions par les seules équations d’équilibre.
• Hyperstaticité des appuis : Propriété d’un système d’appuis où le nombre de blocages dépasse le strict nécessaire.
• Mécanisme : Situation où l’appui est insuffisant ou mal conçu, laissant la structure se déplacer sans être complètement immobilisée.
• Équations d’équilibre : Équations de statique utilisées pour déterminer les réactions d’appui quand le système est isostatique.

📝 Points essentiels

• Dans le plan, il faut au moins 3 blocages pour immobiliser complètement une structure.
• Dans l’espace, il faut au moins 6 blocages pour immobiliser complètement une structure.
• Le nombre minimal de blocages coïncide avec le nombre d’équations d’équilibre disponibles.
• Si le nombre de blocages est égal au strict nécessaire, les réactions d’appui se calculent par les seules équations d’équilibre.
• Si le nombre de blocages est supérieur, le système est hyperstatique et la structure est hyperstatique dans ses appuis.
• Si l’appui est insuffisant ou mal conçu, la structure devient un mécanisme, situation généralement défavorable en architecture et génie civil.

💡 Astuce mémo

3 (plan) / 6 (espace) : égalité avec l’équilibre = isostatique ; au-dessus = hyperstatique ; en dessous = mécanisme.

📖 7. Mécanismes dus à un appui insuffisant

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation horizontale non bloquée : Déplacement possible quand certains blocages manquent, même si le nombre total de blocages annoncé semble suffisant.
• Déplacement horizontal possible : Mouvement global autorisé par une configuration d’appuis incorrecte malgré la présence de blocages.
• Rotation libre : Petit mouvement de rotation non empêché quand les blocages sont mal répartis ou insuffisants.
• Système de blocages incorrect : Configuration où les blocages ne correspondent pas aux immobilisations nécessaires, créant un mécanisme.

📝 Points essentiels

• Un mécanisme peut apparaître même si le nombre de blocages est “compté”, car leur répartition peut rester insuffisante.
• Dans le plan, un mécanisme de translation horizontale non bloquée correspond à seulement 2 blocages effectifs.
• Une autre configuration montre un déplacement horizontal possible malgré 3 blocages, ce qui indique une mauvaise conception du système d’appuis.
• Une petite rotation autour de A peut rester libre avec un système de 3 blocages incorrect.
• Le mécanisme traduit l’existence d’un mouvement compatible avec les blocages imposés.
• En architecture et génie civil, cette situation ne convient généralement pas car elle empêche l’immobilisation de la structure.

💡 Astuce mémo

Le piège : “3 blocages” ne suffit pas si la géométrie des blocages laisse une translation ou une rotation libre.

📖 8. Isostaticité intérieure et extérieure des structures

🔑 Notions clés & Définitions

• Isostaticité intérieure : Vérification de l’isostaticité propre de la structure elle-même, indépendamment du système d’appuis.
• Isostaticité extérieure : Vérification de l’isostaticité du système formé par les appuis et les liaisons avant d’étudier chaque composant.
• Structure composée : Ensemble formé de plusieurs composants, nécessitant des vérifications d’isostaticité à plusieurs niveaux.
• Vérification en cascade : Démarche consistant à tester d’abord l’isostaticité extérieure puis l’isostaticité intérieure de chaque composant.

📝 Points essentiels

• L’isostaticité des appuis ne garantit pas que la structure soit isostatique au sens global.
• Il faut vérifier l’isostaticité propre de la structure : c’est l’isostaticité intérieure.
• Si la structure est composée, on commence par vérifier l’isostaticité du système appuis + liaisons : isostaticité extérieure.
• Ensuite, on vérifie l’isostaticité intérieure de chaque composant.
• La démarche sépare les effets des appuis (extérieur) et de la structure (intérieur).
• Cette séparation évite de conclure trop vite à partir du seul nombre de blocages des appuis.

💡 Astuce mémo

Appuis isostatiques ≠ structure isostatique : penser “extérieur puis intérieur”.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
1884	Viaduc du Garabit (Cantal) : articulation à la naissance de l’arc, M. Koechlin (Ateliers Eiffel).
1936	Pont sur l’Arve à Vessy (Genève) : articulation au faîtage et à la naissance de l’arc, R. Maillart.
1889	Palais des Machines, Exposition Universelle : schéma statique d’un arc à trois articulations, F. Dutert et V. Contamin.

📊 Tableaux de synthèse

Blocages et réactions selon le type d’appui

Appui	Blocages (plan)	Réactions (plan)
Appui à rouleau	1 translation	1 composante de force
Articulation	2 translations	2 composantes de force
Encastrement	2 translations + 1 rotation	2 forces + 1 moment

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre blocage et réaction : le blocage est une composante de déplacement empêchée, la réaction est la force associée extériorisée après coupe.
2. Penser qu’un appui à rouleau peut transmettre un effort tangent : la modélisation est un contact lisse sans frottement.
3. Croire que l’articulation bloque aussi la rotation : elle bloque les translations mais laisse la rotation libre.
4. Conclure que “isostatique des appuis” implique “structure isostatique” : il faut aussi vérifier l’isostaticité intérieure.
5. Penser que le nombre de blocages suffit toujours : un système de blocages incorrect peut créer un mécanisme (translation ou rotation libre).
6. Interpréter la représentation conventionnelle d’un appui à rouleau comme un blocage unidirectionnel : le blocage fonctionne dans les deux sens.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir appuis, blocages et réactions d’appui, et expliquer comment les actions extérieures se transmettent aux fondations via les appuis.
2. Savoir appliquer le principe de la coupe : couper au niveau des appuis pour extérioriser les réactions et utiliser l’équilibre du système forces.
3. Savoir caractériser l’appui à rouleau : nombre de blocages, absence de frottement, direction perpendiculaire de la réaction et fonctionnement dans les deux sens.
4. Savoir caractériser l’articulation : blocage des translations, rotation libre, nombre de blocages et nombre de composantes de réactions en plan et en espace.
5. Savoir caractériser l’encastrement : blocage total, conditions (ux, uy, ϑ) en plan, nombre de réactions en plan et en espace, et rôle du moment d’encastrement.
6. Savoir déterminer l’isostaticité des appuis : 3 blocages (plan) ou 6 (espace) pour immobiliser, calcul des réactions par équilibre, et définition de l’hyperstaticité.
7. Savoir reconnaître un mécanisme dû à un appui insuffisant : translation horizontale non bloquée, déplacement horizontal malgré 3 blocages, ou rotation libre autour d’un point.
8. Savoir distinguer isostaticité extérieure et intérieure : vérifier d’abord appuis+liaisons, puis la structure (et chaque composant si structure composée).