Lernzettel: Analyse des fonctions et suites fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Second degré et forme canonique
2. Dérivation et tangente
3. Fonction exponentielle
4. Suites arithmétiques et géométriques
5. Produit scalaire et Al-Kashi
6. Probabilités conditionnelles

📖 1. Second degré et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Fonction polynomiale de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Discriminant : Expression $\Delta=b^2-4ac$ qui décide du nombre de racines réelles du trinôme.
• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ où $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.

📝 Points essentiels

• Le trinôme a deux racines réelles distinctes si $\Delta>0$, avec $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Le trinôme a une racine double si $\Delta=0$, égale à $x_0=\frac{-b}{2a}$.
• Le trinôme n’a aucune racine réelle si $\Delta<0$.
• Le signe de $f(x)$ est celui de $a$ à l’extérieur des racines.
• Dans la forme canonique, $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$, donc $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.

💡 Astuce mémo

Discriminant : $>0$ deux croix, $=0$ une croix double, $<0$ aucune croix.

📖 2. Dérivation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Valeur $f'(a)$ correspondant à la limite du taux d’accroissement de $f$ en $a$.
• Équation de la tangente : Droite passant par $(a,f(a))$ et de pente $f'(a)$, donnée par $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Lien variations et dérivée : Relation entre le signe de $f'(x)$ et le fait que $f$ soit croissante, décroissante ou ait un extremum.

📝 Points essentiels

• L’équation de la tangente en $x=a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• La dérivation est linéaire : $(u+v)'=u'+v'$ et $(ku)'=ku'$.
• Règle du produit : $(uv)'=u'v+uv'$.
• Règle du quotient : $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Puissances : $(u^n)'=n u' u^{n-1}$.
• Si $f'(x)>0$ alors $f$ est croissante et si $f'(x)<0$ alors $f$ est décroissante ; si $f'(x)=0$ avec changement de signe, il y a un extremum local.

💡 Astuce mémo

Pente : $f'(a)$ ; tangente : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 3. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Exponentielle : Fonction $x\mapsto e^x$ définie sur $\mathbb{R}$, positive en tout point.
• Propriétés algébriques : Règles reliant $e^{a+b}$, $e^{a-b}$ et $(e^a)^n$ entre eux.
• Dérivée de l’exponentielle : Résultat de dérivation montrant que la dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même.

📝 Points essentiels

• Pour tous réels $a$ et $b$, $e^{a+b}=e^a\times e^b$.
• Pour tous réels $a$ et $b$, $e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$.
• Pour tout réel $a$ et tout entier $n$, $(e^a)^n=e^{na}$.
• On a $e^0=1$ et $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
• La dérivée vérifie $(e^x)'=e^x$.
• La fonction $x\mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : même formule en valeur et en dérivée, et toujours $>0$.

📖 4. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite vérifiant $u_{n+1}=u_n+r$, où $r$ est la raison constante.
• Suite géométrique : Suite vérifiant $v_{n+1}=v_n\times q$, où $q$ est le coefficient constant.
• Somme d’une suite : Expression qui regroupe les termes de la suite sur un certain nombre d’indices.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique, $u_n=u_0+nr$ et aussi $u_n=u_p+(n-p)r$.
• Pour une suite arithmétique, la somme vaut $S=\text{nb de termes}\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$.
• Pour une suite géométrique, $v_n=v_0\times q^n$ et aussi $v_n=v_p\times q^{n-p}$.
• Pour une suite géométrique, la somme vaut $S=v_{\text{premier}}\times\frac{1-q^{\text{nb de termes}}}{1-q}$ si $q\neq 1$.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : raison $+$ ; géométrique : raison $\times$ ; mêmes formules de somme mais adaptées au type.

📖 5. Produit scalaire et Al-Kashi

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire (coordonnées) : Produit de deux vecteurs en coordonnées, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$, calculé via les composantes.
• Norme et angle : Formule du produit scalaire reliant $\vec{u}\cdot\vec{v}$ à $\|\vec{u}\|$, $\|\vec{v}\|$ et $\cos(\theta)$.
• Théorème d’Al-Kashi : Relation liant les longueurs d’un triangle et le cosinus de l’angle à l’opposé d’un côté.

📝 Points essentiels

• Pour deux vecteurs de coordonnées, $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ dans le repère indiqué.
• Le produit scalaire s’écrit aussi $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos(\theta)$.
• Pour un triangle, le produit scalaire donne $\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\times AH$ si les segments ont le même sens.
• Dans le triangle $ABC$, $BC^2=AB^2+AC^2-2\,AB\cdot AC\cdot\cos(\widehat{A})$.

💡 Astuce mémo

Al-Kashi : côté au carré = somme des carrés - 2 produit $\times\cos$ de l’angle.

📖 6. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Probabilité de $B$ sachant $A$, notée $P_A(B)$, définie par un rapport de probabilités d’intersection.
• Probabilités totales : Décomposition de $P(B)$ en fonction de deux cas $A$ et $\overline{A}$.
• Indépendance : Condition d’indépendance entre deux événements $A$ et $B$ exprimée avec une égalité sur $P(A\cap B)$.

📝 Points essentiels

• La probabilité conditionnelle est $P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$.
• La formule des probabilités totales donne $P(B)=P(A)P_A(B)+P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)$.
• Les événements $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

💡 Astuce mémo

Conditionnelle : intersection sur $P(A)$ ; indépendance : intersection = produit.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser que $\Delta<0$ donne des racines réelles, alors qu’elles sont inexistantes.
2. Confondre $x_1$ et $x_2$ quand on applique les signes $\mp\sqrt{\Delta}$ au numérateur.
3. Oublier que la tangente en $a$ utilise $f'(a)$ en pente et $f(a)$ comme ordonnée à l’origine.
4. Se tromper de règle en dérivant un quotient, en appliquant le produit au lieu de $\frac{u'v-uv'}{v^2}$.
5. Penser que $e^x$ peut être négatif, alors que $e^x>0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
6. Utiliser une formule de somme de suite géométrique alors que $q=1$ alors que la condition $q\neq 1$ est requise.
7. Appliquer Al-Kashi en utilisant le cosinus du mauvais angle par rapport au côté considéré dans la formule donnée.

✅ Checklist Examen

1. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et conclure sur le nombre de racines selon le signe de $\Delta$.
2. Donner les racines $x_1$ et $x_2$ quand $\Delta>0$ en utilisant $\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.
3. Donner la racine double $x_0=\frac{-b}{2a}$ quand $\Delta=0$.
4. Conclure qu’il n’y a aucune racine réelle quand $\Delta<0$.
5. Écrire la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
6. Écrire l’équation de la tangente en $x=a$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
7. Appliquer correctement les règles de dérivation : somme, produit, quotient et puissance $(u^n)'=n u' u^{n-1}$.
8. Utiliser le lien entre signe de $f'(x)$ et variations : croissante, décroissante, et extremum local par changement de signe.
9. Réaliser des transformations algébriques avec $e^{a+b}$, $e^{a-b}$ et $(e^a)^n$.
10. Savoir appliquer les propriétés $e^0=1$ et $e^x>0$ ainsi que la dérivée $(e^x)'=e^x$.
11. Utiliser que $x\mapsto e^x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
12. Identifier une suite arithmétique et utiliser $u_{n+1}=u_n+r$ puis $u_n=u_0+nr$ pour un terme demandé.
13. Calculer une somme de suite arithmétique avec $S=\text{nb de termes}\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}$.
14. Identifier une suite géométrique et utiliser $v_{n+1}=v_n\times q$ puis $v_n=v_0 q^n$ (ou la version à partir de $v_p$).