Lernzettel: Applications linéaires et matrices

📋 Plan du Cours

1. Définition et propriétés fondamentales
2. Image noyau et familles
3. Espace des applications linéaires
4. Isomorphismes et dimensions
5. Applications linéaires en bases
6. Changement de base et matrices

📖 1. Définition et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une application f:E→F est linéaire si, pour tous x,y∈E et α∈K, elle vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et f(αx)=αf(x).
• Endomorphisme : De E est une application linéaire de E dans E.
• Forme linéaire : Sur E est une application linéaire de E dans K.

★ À maîtriser

📌 Une application f est linéaire si et seulement si, pour tous α,β∈K et x,y∈E, f(αx+βy)=αf(x)+βf(y).

Compléments

• Toute application linéaire vérifie f(0_E)=0_F.

📖 2. Image noyau et familles

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : De f:E→F est l’ensemble Im(f)={f(x)∣x∈E} des vecteurs de F obtenus comme images d’éléments de E.
• Noyau : De f:E→F est Ker(f)={x∈E∣f(x)=0_F}, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul.

★ À maîtriser

• L’image par une application linéaire d’un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de F, et Im(f) est donc un sous-espace vectoriel de F.

📌 Une application linéaire f est injective si et seulement si Ker(f)={0_E}.

Compléments

• Une famille liée reste liée par toute application linéaire, tandis qu’une famille libre reste libre seulement si l’application linéaire est injective.

💡 Astuce mémo

Image dans F, noyau dans E

📖 3. Espace des applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace L(E,F) : L(E,F), ensemble des applications linéaires de E dans F, est un sous-espace vectoriel de l’espace des applications de E dans F.

★ À maîtriser

• La composée de deux applications linéaires est une application linéaire.

• L’image d’une famille génératrice de E par une application linéaire f engendre Im(f).

Compléments

• La somme de deux applications linéaires et le produit d’une application linéaire par un scalaire sont linéaires.

• L’image d’une base de E par un isomorphisme de E dans F est une base de F.

📖 4. Isomorphismes et dimensions

🔑 Notions clés & Définitions

• Isomorphisme : De E dans F est une application linéaire bijective de E dans F.
• Automorphisme : De E est un isomorphisme de E dans E.

📝 Points essentiels

• La réciproque d’une application linéaire bijective est linéaire.

• Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement si leurs dimensions sont égales.

📌 Entre deux espaces vectoriels de même dimension finie, une application linéaire est injective si et seulement si elle est surjective, et ces deux propriétés équivalent à la bijectivité.

📖 5. Applications linéaires en bases

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice d’une application linéaire : Pour u:E→F, la matrice M_{B,C}(u) se construit en plaçant dans sa jᵉ colonne les coordonnées de u(eⱼ) dans la base C.

★ À maîtriser

• Si (e₁,…,eₙ) est une base de E et (f₁,…,fₙ) une famille de F, il existe une unique application linéaire f:E→F telle que f(eᵢ)=fᵢ pour tout i.

• Dans cette construction, f est injective si et seulement si (f₁,…,fₙ) est libre, surjective si et seulement si cette famille engendre F, et bijective si et seulement si elle est une base de F.

• L’application u↦M_{B,C}(u) est un isomorphisme de L(E,F) vers M_{n,p}(K), donc dim L(E,F)=np.

Compléments

• Si dim(E)=p et dim(F)=n, alors M_{B,C}(u) appartient à M_{n,p}(K).

📖 6. Changement de base et matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage : P_{B,B’}=M_B(B’) a pour jᵉ colonne les coordonnées dans B du jᵉ vecteur de la base B’.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour u:E→F et v:F→G, la matrice de la composée vérifie $M_{B_1,B_3}(v\circ u)=M_{B_2,B_3}(v)\,M_{B_1,B_2}(u)$.

📐 Formule — Les matrices de passage réciproques vérifient $(P_{B,B’})^{-1}=P_{B’,B}$.

📐 Formule — Si X et X’ sont les coordonnées d’un vecteur dans B et B’, avec P=P_{B,B’}, alors $X=PX’$ et donc $X’=P^{-1}X$.

📐 Formule — Si M et M’ représentent u dans les bases (B,C) et (B’,C’), avec P=P_{B,B’} et Q=P_{C,C’}, alors $M’=Q^{-1}MP$.

Compléments

📐 Formule — Pour un endomorphisme u de E représenté par M dans B et par M’ dans B’, on a $M’=P^{-1}MP$ avec P=P_{B,B’}.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications linéaires

Notion	Espace de départ	Espace d’arrivée	Propriété
Morphisme	E	F	Application linéaire
Endomorphisme	E	E	Application linéaire
Isomorphisme	E	F	Application linéaire bijective
Automorphisme	E	E	Isomorphisme